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• • • 傳染病模型
    • • SI模型
      • SIS模型
      • SIR模型

傳染病模型

SI模型

假設考察地區的總人數N基本保持不變，時刻t(單位：天)的易感染者(susceptible)和已感染者(infective)的比例分別為s(t)和i(t)。設易感者每天被感染的幾率，即感染率，為𝝀。
$$\begin{gathered} ?\begin{array}{r}\frac{di}{dt}=\lambda si\\ s+i=1\\ i(0)=i_0\end{array} \\ i(t)=\frac{1}{1+\frac{1?i_0}{i_0}{e}^{?rt}} \end{gathered}$$

SIS模型

有些傳染病，如傷風、痢疾等，治愈后基本上沒有免疫力，于是患者愈合后又變成易感染者。假設每天被治愈的人數比例，即治愈率，為𝝁。
$$\begin{gathered} ?\begin{array}{r}\frac{di}{dt}=\lambda si?\mu i\\ s+i=1\\ i(0)=i_0\end{array} \\ i(t)=\frac{\lambda ?\mu }{\lambda +\frac{\lambda ?\mu ?\lambda i_0}{i_0}{e}^{?(\lambda ?\mu )t}} \end{gathered}$$

SIR模型

然而，天花、麻疹等傳染病的患者治愈后免疫力很強，這類患者治愈后不會成為易感染者。將治愈者和因感染死亡的人稱為移除者(removed)。設時刻t的移除比例為r(t)。
$$?\begin{array}{r}\frac{di}{dt}=\lambda si?\mu i\\ \frac{ds}{dt}=?\lambda si\\ \frac{dr}{dt}=\mu i\\ s+i+r=1\\ i(0)=i_0\end{array}$$

• 參數時變時的SIR模型
  $$?\begin{array}{r}\frac{di(t)}{dt}=\lambda (t)s(t)i(t)?\mu (t)i(t)\\ \frac{ds(t)}{dt}=?\lambda (t)s(t)i(t)\\ \frac{dr(t)}{dt}=\mu (t)i(t)\\ s(t)+i(t)+r(t)=1\\ i(0)=i_0\\ s(0)=s_0\\ \lambda (0)={\lambda }_0\\ \mu (0)={\mu }_0\end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模：传染病模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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