数学建模之初等模型详解
以下針對數學建模中的一些常用的初等模型進行詳細介紹，希望對初入數學建模的小伙伴能夠起到點金之用，通過建模舉例對數學建模的基本思想和步驟有一個初步的了解。好了，話不多說，進入正文，小葵花課堂開課了，趕緊搬好等著做好了。。。。
目錄
分蛋糕問題
出租車收費問題
螞蟻逃跑問題?
極限、最值、積分問題的初等模型
極限問題中的初等模型
細菌繁殖問題
最值問題中的初等模型
海報設計問題
?工人上班效率問題
最大利潤問題
積分問題中的初等模型
商品的貯存費問題
車輛平均行駛速度問題?
經濟問題中的初等模型
經濟問題中的基本函數
示例說明
線性代數模型
人、狗、雞、米過河問題
常染色體遺傳模型
分蛋糕問題
問題：
妹妹過生日，媽媽做了一塊邊界形狀任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指著蛋糕上的一點 對哥哥說，你能過這一點切一刀，使得切下 的兩塊蛋糕面積相等，就把其中的一塊送給 你。哥哥利用高等數學知識解決了這個問題， 你知道他用的是什么辦法嗎？
問題歸結為如證明題：
已知平面上一條沒有交叉點的封閉曲線，P是曲線所圍圖形上任一點，求證：一定存在一條過P的直線，將這圖形的面積二等分。
若S1≠ S2 ?不妨設S1＞S2 (此時l與x軸正向的夾角記為)，以點P為旋轉中心，將l按逆時針方向旋轉，面積S1，S2就連續依賴于角的變化，記為
?
?由零點定理得證。
出租車收費問題
問題：
某城市出租汽車收費情況如下：起價10元（4km以內），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里車費1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里車費2.4元。計程器每0.5km記 一次價。
例如，當行駛路程x（km）滿足 12≤x<12.5時，按12.5km計價；當 12.5 ≤x<13時，按13km計價； 例如，等候時間t(min)滿足 2.5≤t<5時，按2.5min計價收費0.8元； 當5≤t<25 ，按5min計價
請回答下列問題
- 假設行程都是整數公里，停車時間都是2.5min的整數倍，請建立車費與行程的數學模型。
- 若行駛12km，停車等候5min,應付多少車費？
- 若行駛23.7km,停車等候7min，應付多少車費？
模型建立：
設車費為y元，其中行程車費為y1元，停車費為y2元，行程為x km，x∈z+,停車時間為t min，t ∈z+,則
?數學模型為
螞蟻逃跑問題?
問題：
一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標分別是（1，1）， （5，1），（1，3），（5，3），在坐標原點處有一個火 焰，它使金屬板受熱，假設板上任意一點處的溫度與該點到 原點的距離成反比，在（3，2）處有一只螞蟻，問這只螞蟻 應沿什么方向爬行才能最快到達較涼的地點？
模型建立：
假設板上任一點（x,y）處的溫度為
?那么
極限、最值、積分問題的初等模型
極限問題中的初等模型
細菌繁殖問題
問題：
某種細菌繁殖的速度在培養基充足等條件滿足時，與當時已有的數量成正比，即，V=KA0(K>0為比例常數)。
1.建立細菌繁殖的數學模型。
2.假設一種細菌的個數按指數方式增長，下表是收集到的近似數據。
求：開始時細菌個數可能是多少？若繼續以現在的速度增長下去，假定細菌無死亡，60天后細菌的個數大概是多少？
模型建立：
由于細菌的繁殖時連續變化的，在很短的時間內數量變化得很小，繁殖速度可近似看做不變。
將時間間隔t分成n等分，在第一段時間內，細菌繁殖的數量為，在第一段時間末細菌的數量為，同樣，第二段時間末細菌的數量為 ?；以此類推，最后一段時間末細菌的數量為 ，經過時間t后，細菌的總數是
?
?設細菌的總數為y，則所求的數學模型為：
?
最值問題中的初等模型
海報設計問題
問題：
現在要求設計一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為128平方分米，上下空白個2分米，兩邊空白個1分米，如何確定海報尺寸可使四周空白面積為最小？
模型建立：
這個問題可用求一元函數最值的方法解決
使得以下式子達到最小
?
其中
?令此式對x的導數為0，解得： x=16，此時y=8，可使空白面積最小。
?工人上班效率問題
問題：
對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個中等水平的工人早上8：00開始工作，在t小時之后，生產出 Q(t)=-t^3+9t^2+12t 個晶體管收音機。 問：在早上幾點鐘這個工人的工作效率最高？
模型建立：
工作效率最高，即生產率最大，此題中，工人在t時刻的生產率為產量Q關于時間t的變化率：Q’(t)，則問題轉化為求Q’(t)的最大值
工人的生產率為
?
?比較R(0)=12，R(3)=39，R(4)=36，知t=3時，即上午11：00，工人的工作效率最高。
最大利潤問題
問題：
一個小鄉村里的唯一商店有兩種牌子的凍果汁，當地牌子進價每聽30美分，外地牌子的進價每聽40美分。店主估計，如果當地牌子的每聽賣x美分，外地牌子賣y美分，則每天可賣出70-5x+4y聽當地牌子的果汁，80+6x-7y聽外地牌子的果汁。問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？
模型建立：
每天的總收益為二元函數：
令??，，則有駐點x=53，y=55 判斷可知（53，55）為最大值點。
積分問題中的初等模型
商品的貯存費問題
問題：
一零售商收到一船共10000公斤大米，這批大米以常量每月2000公斤運走，要用5個月 時間，如果貯存費是每月每公斤0.01元，5個月之后這位零售商需支付貯存費多少元？
模型建立：
令Q(t)表示t個月后貯存大米的公斤數，則Q(t)=10000-2000t
將區間0≤t≤5分為n個等距的小區間，任取第j個小區間，區間長度為，在這個小區間中，每公斤貯存費用=0.01△t
?第j個小區間的貯存費=0.01Q(tj)△t
?總的貯存費=
由定積分定義：
總貯存費=
車輛平均行駛速度問題?
?問題：
某公路管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個星期內平均車連行駛速度，數據統計表明：一個普通工作日的下午1：00至6：00之間，次口在t時刻的平均車輛行駛速度為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S(t)=2t^3-21t^2+60t+40(km/h) 左右，試計算下午1：00至6：00內的平均車輛行駛速度？
模型建立：
此題是求函數s(t)在區間[1, 6]內的平均值
一般地，連續函數在區間上的平均值，等于函數在此區間上的定積分除以區間長度。
平均車輛行駛速度為
經濟問題中的初等模型
經濟問題中的基本函數
設產品產量為q，產品價格為p，固定成本c0，可變成本為c1.
（1）總成本函數：
（2）供給函數：
（3）需求函數：
（4）價格函數：
（5）收益函數：
（6）利潤函數：
（7）邊際成本函數：
（8）邊際收益函數：
（9）邊際利潤函數：
示例說明
示例1：
某品牌收音機每臺售價90元，成本為60元，廠家為鼓勵 銷售商大量采購，決定凡是訂購量超過100臺以上的，每多 訂購一臺，售價就降低1分（例如某商行訂購300臺，訂購量 比100臺多200臺，于是每臺就降價0.01×200=2元，商行可 按每臺88元的價格購進300臺）。但最低價格為75元/臺。
（1）建立訂購量x與每臺的實際售價p的數學模型。
將售價與訂購量歸納為如下的數學模型： ?
（2）建立利潤L與訂購量x的數學模型。
每臺利潤是實際售價p與成本60元之差，所以 L=(p-60)x
（3）當一商行訂購了1000臺時，廠家可獲利潤多少？
當x≤100時，每臺售價90元；當訂購量超過1600臺時，每臺售價75元；當訂購量在100到1600臺之間時，每臺售價為90-(x-100) ×0.01
示例2：
一房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180 元時，公寓會全部租出去，當租金每月增加10元時，就有一 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維 護費。
（1）建立總收入R與租金x之間的數學模型。
總收入R等于租出的公寓數 50-((x-180) /10)乘以每套公寓的純利潤x-20
（2）當房租定為多少時可獲得最大收入？
?得x=350(元/月)
示例3：
某不動產商行能以5%的年利率借得貸款，然后它又把 此款貸給顧客。若他能貸出的款額與他貸出的利率的平方成 反比（利率太高無人借貸）。
(1)建立年利率x與利潤p間的數學模型。
貸出的款額為k/x^2,k>0為常數，商行可獲得利潤：
(2)當以多大的年利率貸出時，能使商行獲得利潤最大？
求當x取何值時，p最大。
?得x=0.1，即貸出年利率為10%時，商行獲得利潤最大。
線性代數模型
所謂狀態轉移問題討論的是在一定的條件下，系統由一狀態逐步轉移到另一狀態是否可能，如果可以轉移的話，應如何具體實現？
人、狗、雞、米過河問題
問題：
這是一個人所共知而又十分簡單的智力游戲。某人要帶狗、雞、米過河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過河，而當人不在場時，狗要咬雞、雞要吃米，問此人應如何過河。
模型建立：
在本問題中，可采取如下方法：一物在此岸時相應分量為1，而在彼岸時則取 為0，例如（1,0,1,0）表示人和雞在此岸，而狗和米則在對岸。
- （i）可取狀態
根據題意，并非所有狀態都是允許的，例如（0,1,1,0）就是一個不可取的狀態。本題中可取狀態（即系統允許的狀態）可以用窮舉法列出來，它們是：
- ?（ii）可取運算：狀態轉移需經狀態運算來實現。
在實際問題中，擺一次渡即可改變現有狀態。為此也引入一個四維向量（轉移向量），用它來反映擺渡情況。例如 （1，1，0，0）表示人帶狗擺渡過河。根據題意，允許使用的轉移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、 （1，0，1，0）、（1，0，0，1）四個。
規定一個狀態向量與轉移向量之間的運算。規定狀態向量與 轉移向量之和為一新的狀態向量，其運算為對應分量相加， ? 且規定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。
在具體轉移時，只考慮由可取狀態到可取狀態的轉移。問題化為：
由初始狀態（1，1，1，1）出發，經奇數次上述運算轉化為（0，0，0，0）的轉移過程。
可以如下進行分析 ?：
（第一次渡河）
?（第二次渡河）
以下可繼續進行下去，直至轉移目的實現。上述分析實際 上采用的是窮舉法，對于規模較大的問題是不宜采用的。
常染色體遺傳模型
在常染色體遺傳中，后代從每個親體的基因對中各繼承一個基因，形成自己的基因時，基因對也稱為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個基 ?因A和a控制的，（A、a為表示兩類基因的符號）那么就有三種基因對，記為AA，Aa，aa。
下面給出雙親體基因型的所有可能的結合，以及其后代形成每種基因型的概率
?示例：
農場的植物園中某種植物的基因型 ?為AA,Aa和aa。農場計劃采用 AA型的植物與每種基因型植物相結合的方案培育植物后代。那么經過若干年后， ?這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？
假設令n=0,1,2,…
（i）設,和分別表示第n代植物中，基因型 為AA,Aa和aa的植物占植物總數的百分比 ?。令為第n代植物的基因型分布：（表示植物基因型的初始分布（即培育開始時的分布））
?顯然有
?（ii）第n代的分布與 第n－1代的分布之間的關系是通過表確定的。
建模
根據假設(ii)，先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結合。后代全部是AA型；第n-1代的Aa型與AA型結合，后代是AA型的可能性為 1/2，而 第n-1代的aa型與AA型結合，后代不可能 是AA型。因此當n=1,2…時
將（2）、（3）、（4）式相加，得?
?根據假設(I)，可遞推得出：
?對于(2)式、(3)式和(4)式，采用矩陣形式簡記為
?其中（這里M為轉移矩陣的位置）
?由（5）式遞推，得
（6）式給出第n代基因型的分布與初始分布的關系。 為了計算出，我們將M對角化，即求出可逆矩 陣P和對角庫D，使，因而有
其中
?這里， ，是矩 陣M的三個特征值。對于 (5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：
因此
?所以 ?
?
通過計算，，因此有
即
?所以有
?
?
?即在極限的情況下，培育的植物都是AA型。 若在上述問題中，不選用基因AA型的植物與每一植物結合，而是將具有相同基因型植物相結合，那么后代具有三種基因型的概率如下
?并且，其中
?M的特征值為
?通過計算，可以解出與，相對應的兩個線性無關的特征向量e1和e2，及與相對應的特征向量e3：
?因此
?
?
?解得：
?
?
?所以
?
?全文共4945個字，碼字總結不易，老鐵們來個三連：點贊、關注、評論
作者：左手の明天
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学建模之初等模型详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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