2015高教杯全国大学生数学建模竞赛论文
賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)填寫）：
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2015高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽
承??諾??書
我們仔細(xì)閱讀了《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程》和《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則》（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。
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我們參賽選擇的題號(hào)（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：????????A????????????
我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)（12位數(shù)字全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)）：???201510052007?????????
參賽學(xué)校（完整的學(xué)校全稱，不含院系名）：????南京師范大學(xué)???????????
參賽隊(duì)員?(打印并簽名)?：1.???葉鋮陽(yáng)????????????????????????????????
???????????????????????2.???周麗陽(yáng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
???????????????????????3.???陳勇君????????????????????????????????????
指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人??(打印并簽名)：?????????????????????????????
??????????????????????????????????????????日期：?2015?年?9?月?13?日
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太陽(yáng)影子定位問(wèn)題研究
摘要
本文主要研究影長(zhǎng)與日期、時(shí)間及地點(diǎn)的關(guān)系。通過(guò)其中某組數(shù)值，去刻畫出其他變量的大致范圍。
對(duì)于第一問(wèn)，由于日地距離隨公轉(zhuǎn)而改變，故我們需要尋找出一個(gè)合適的方程去描述不同日期下的日地距離，從而建立合理的空間坐標(biāo)系，確定當(dāng)下太陽(yáng)在坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)。又根據(jù)給定地點(diǎn)的經(jīng)緯度，我們可以建立影長(zhǎng)方程，從而用MATLAB繪畫出影長(zhǎng)圖像。
對(duì)于第二問(wèn)，所給數(shù)據(jù)的影長(zhǎng)變化，可以推測(cè)出測(cè)量地處于下半天（正午12時(shí)至凌晨0時(shí)），由此可以推算出不符合要求的地區(qū)，從而縮小數(shù)據(jù)量。利用第一問(wèn)所推導(dǎo)的影長(zhǎng)公式，使用MATLAB算出符合上述條件的各地區(qū)影長(zhǎng)，與所給數(shù)據(jù)的影長(zhǎng)作標(biāo)準(zhǔn)差，來(lái)看出不同地區(qū)的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)的偏離程度。從而確定出更為合理的測(cè)量地。同時(shí)可以根據(jù)給定的影長(zhǎng)坐標(biāo)，繪畫出影長(zhǎng)變化曲線，并用二次函數(shù)進(jìn)行擬合，求出影長(zhǎng)最短的時(shí)刻，通過(guò)所給數(shù)據(jù)的時(shí)刻，來(lái)估測(cè)出測(cè)量地的時(shí)區(qū)或經(jīng)度，并與我們推理的測(cè)量地進(jìn)行比較。經(jīng)過(guò)推算，得知測(cè)量地位于東經(jīng)108.67°，北緯19.26°，也就是我國(guó)的海南省東方市附近。
對(duì)于第三問(wèn)，與第二問(wèn)比較起來(lái)缺少變量日期。與第二問(wèn)類似，我們先推測(cè)出可行的經(jīng)緯度及日期范圍，再對(duì)此經(jīng)緯度、日期所對(duì)應(yīng)的影長(zhǎng)進(jìn)行求解，并與實(shí)際觀測(cè)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比。由于相對(duì)多了一個(gè)自由量，所以相應(yīng)解的個(gè)數(shù)會(huì)增加，對(duì)所有可能解我們?cè)倮脠D像進(jìn)行進(jìn)一步檢驗(yàn)。根據(jù)模型構(gòu)建我們得到第一組數(shù)據(jù)測(cè)量地位于東經(jīng)79°，北緯39°，此地為新疆喀什附近，日期為5月12日或7月31日。對(duì)于第二組數(shù)據(jù)測(cè)量地位于東經(jīng)110°，北緯34°，此地為陜西省商洛市附近，日期為10月26日。
對(duì)于第四問(wèn)，視頻信息每間隔3min進(jìn)行截圖，根據(jù)圖片使用Digimizer軟件測(cè)量出影長(zhǎng)。與第二問(wèn)比較起來(lái)，增加了桿長(zhǎng)。也就是說(shuō)，可以求出不同時(shí)刻的太陽(yáng)入射角。根據(jù)第一問(wèn)的太陽(yáng)入射角與地點(diǎn)經(jīng)緯度的關(guān)系式，通過(guò)所測(cè)數(shù)據(jù)的非線性擬合，確定出測(cè)量地為東經(jīng)111°，北緯43°，在內(nèi)蒙古烏蘭察布市附近。
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關(guān)鍵詞：?空間坐標(biāo)系?二次函數(shù)擬合?標(biāo)準(zhǔn)差?非線性擬合
1、問(wèn)題重述
如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽(yáng)影子定位技術(shù)就是通過(guò)分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。
1.建立影子長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用你們建立的模型畫出2015年10月22日北京時(shí)間9:00-15:00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線。
2.根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)。將你們的模型應(yīng)用于附件1的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)。
3.?根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將你們的模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。
4．附件4為一根直桿在太陽(yáng)下的影子變化的視頻，并且已通過(guò)某種方式估計(jì)出直桿的高度為2米。請(qǐng)建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)。
如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)視頻確定出拍攝地點(diǎn)與日期？
?附件一：影長(zhǎng)數(shù)據(jù)（含3個(gè)表格）
?附件二：視頻
2、問(wèn)題假設(shè)
1、同一天中不考慮地球公轉(zhuǎn)所引起的太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度變化
2、不考慮各地的海拔、高地等引起的高度變化
3、照射到地球表面的太陽(yáng)光線為平行光
4、題中所給的所有數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無(wú)誤
5、視頻所截取的數(shù)據(jù)能夠具有代表性
3、符號(hào)說(shuō)明
| 符號(hào) | 表示的意義 |
| R | 地球半徑 |
| r | 日地距離 |
| 太陽(yáng)入射角 | |
| 桿長(zhǎng) | |
| 影長(zhǎng) | |
| 測(cè)量地 | |
| 太陽(yáng) | |
| 時(shí)間 |
4、模型建立與求解
4.1模型一的建立與求解
??4.1.1?模型一的建立
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?以地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，指向赤道上東經(jīng)0°點(diǎn)方向?yàn)閤軸正方向，指向北極點(diǎn)方向?yàn)閦軸正方向，垂直于x軸、z軸的方向?yàn)閥軸正方向，構(gòu)建右手直角坐標(biāo)系。記測(cè)量地點(diǎn)的經(jīng)緯度為,地球半徑為R，那么測(cè)量地的位置坐標(biāo)為，那么直桿的方向向量可以取為，日地距離記為，
直桿長(zhǎng)度為，影子長(zhǎng)度為，太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度為。
其中，??即
太陽(yáng)直射點(diǎn)：
經(jīng)度，是測(cè)量地點(diǎn)的時(shí)間，是地球的自轉(zhuǎn)角速度，。
緯度，是從春分日開始經(jīng)過(guò)的天數(shù)，???????????????????????????????????????????????[1]
記日地平均距離為，又稱為天文單位，其中1天文單位
可以精確至。
由于日地距離對(duì)于任何一年的任何一天都是精確已知的，所以這個(gè)距離可用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表述。為了避免日地距離用具體長(zhǎng)度計(jì)量單位表示過(guò)于冗長(zhǎng)，一般均以其與日地平均距離比值的平方表示，即。???????????????[2]
我們得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：???
式中稱日角，即，這里又由兩部分組成，即，
其中為積日，所謂積日，就是日期在年內(nèi)的順序號(hào)，例如，1月1日其積日為1，平年12月31日的積日為365，閏年則為366，等等。
又有，
其中為數(shù)值向下取整為最接近的整數(shù)的函數(shù)。
因此我們可以得到了觀測(cè)點(diǎn)所在地的日地距離,.
記太陽(yáng)入射角，太陽(yáng)的坐標(biāo)為，其中
?
所以太陽(yáng)入射角為與的夾角的余角，即，此時(shí)，若則舍去。
故可以得到影子長(zhǎng)度:
。
??4.1.2?模型一的求解：
由于觀測(cè)點(diǎn)為天安門廣場(chǎng)，從而可以得到觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)116度23分29秒，緯度為北緯39度54分26秒，即，
又根據(jù)地球半徑，從而可以得到北京天安門廣場(chǎng)坐標(biāo)為
根據(jù)觀測(cè)時(shí)間2015年10月22日北京時(shí)間9:00-15:00可以得到
，，
，
那么此時(shí)的日地距離。
也就是說(shuō)，在北京時(shí)間2015年10月22日太陽(yáng)直射點(diǎn)位于南緯
接著根據(jù)公式，我們可以得到不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，從而可以得出不同時(shí)刻太陽(yáng)的位置坐標(biāo)，（見下表）
| ? | ? | ? | |||
| 9:00 | 165 | -11.1154 | -141284859.6 | 37857164.04 | -27802137.27 |
| 9:18 | 160.5 | -11.1154 | -137879086.7 | 48825545.36 | -27802137.27 |
| 9:36 | 156 | -11.1154 | -133623243.4 | 59492900.97 | -27802137.27 |
| 9:54 | 151.5 | -11.1154 | -128543568.3 | 69793463.05 | -27802137.27 |
| 10:12 | 147 | -11.1154 | -122671379.4 | 79663725.22 | -27802137.27 |
| 10:30 | 142.5 | -11.1154 | -116042880.6 | 89042834.04 | -27802137.27 |
| 10:48 | 138 | -11.1154 | -108698938.9 | 97872964.18 | -27802137.27 |
| 11:06 | 133.5 | -11.1154 | -100684832.1 | 106099674.9 | -27802137.27 |
| 11:24 | 129 | -11.1154 | -92049969.77 | 113672245.9 | -27802137.27 |
| 11:42 | 124.5 | -11.1154 | -82847588.81 | 120543989.7 | -27802137.27 |
| 12:00 | 120 | -11.1154 | -73134424.91 | 126672539.7 | -27802137.27 |
| 12:18 | 115.5 | -11.1154 | -62970362.97 | 132020111.4 | -27802137.27 |
| 12:36 | 111 | -11.1154 | -52418067.8 | 136553735.2 | -27802137.27 |
| 12:54 | 106.5 | -11.1154 | -41542597.8 | 140245459.8 | -27802137.27 |
| 13:12 | 102 | -11.1154 | -30411003.88 | 143072524.5 | -27802137.27 |
| 13:30 | 97.5 | -11.1154 | -19091916.01 | 145017499.5 | -27802137.27 |
| 13:48 | 93 | -11.1154 | -7655120.124 | 146068393.5 | -27802137.27 |
| 14:06 | 88.5 | -11.1154 | 3828872.121 | 146218727.1 | -27802137.27 |
| 14:24 | 84 | -11.1154 | 15289258.1 | 145467573.8 | -27802137.27 |
| 14:42 | 79.5 | -11.1154 | 26655380.71 | 143819564.4 | -27802137.27 |
| 15:00 | 75 | -11.1154 | 37857164.04 | 141284859.6 | -27802137.27 |
?
由于已知桿長(zhǎng)，所以根據(jù)入射角公式及影長(zhǎng)公式可以得到不同時(shí)刻的太陽(yáng)入射角與影子長(zhǎng)度（見下表）。
?
| ? ? | 影子長(zhǎng)度 | |
| 9:00 | 0.388150215 | 7.336860881 |
| 9:18 | 0.434875968 | 6.458059249 |
| 9:36 | 0.478877147 | 5.778292791 |
| 9:54 | 0.51977913 | 5.242293654 |
| 10:12 | 0.557178011 | 4.815214138 |
| 10:30 | 0.590647639 | 4.47431276 |
| 10:48 | 0.619751521 | 4.204425012 |
| 11:06 | 0.64406016 | 3.995344707 |
| 11:24 | 0.663173545 | 3.84023309 |
| 11:42 | 0.676747218 | 3.734615318 |
| 12:00 | 0.684518846 | 3.675737661 |
| 12:18 | 0.686331109 | 3.66216913 |
| 12:36 | 0.682146543 | 3.693590593 |
| 12:54 | 0.672051204 | 3.770747168 |
| 13:12 | 0.656246327 | 3.895559021 |
| 13:30 | 0.635029826 | 4.071402227 |
| 13:48 | 0.6087714 | 4.303594647 |
| 14:06 | 0.577885716 | 4.600163083 |
| 14:24 | 0.542807464 | 4.973043649 |
| 14:42 | 0.503970805 | 5.440009713 |
| 15:00 | 0.461794213 | 6.02790441 |
?
為了繪制出影子長(zhǎng)度變化曲線，我們對(duì)函數(shù)中的21組數(shù)據(jù)進(jìn)行MATLAB制圖。
程序：
R=6371;
time=9:0.3:15;
a=116+23/60+29/3600;
b=39+54/60+26/3600;
c=120-15.*(time-12);
d=asin(0.39775*sind(180+(214-186)));
r=1.48887659888219*10^8;
A=[R*cosd(b)*cosd(a)?R*cosd(b)*sind(a)?R*sind(b)];
B=[r*cos(d).*cosd(c);?r*cos(d).*sind(c);r*sin(d).*ones(1,21)];
for?i=1:21
ci(i)=pi/2-acos(dot(A,B(:,i))/norm(A)/norm(B(:,i)));
end
yz=3./tan(ci);
plot(time,yz)
運(yùn)行結(jié)果：
????至此，我們得到了2015年10月22日北京時(shí)間9:00-15:00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線。
?
?
4.2模型二的建立與求解
??4.2.1?模型二的建立
根據(jù)所給定的21組不同時(shí)間的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，繪畫出影子長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化曲線。
此時(shí)我們可以使用二次函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)，并求出最低點(diǎn)的時(shí)間。
程序1：
a=[14.7?1.149625826;14.75?1.182198976;14.8?1.215296955;14.85?1.249051052;14.9?1.28319534;14.95?1.317993149;15?1.353364049;15.05?1.389387091;15.1?1.426152856;15.15?1.463399853;15.2?1.501481622;15.25?1.540231817;15.3?1.579853316;15.35?1.620144515;15.4?1.661270613;15.45?1.703290633;15.5?1.74620591;15.55?1.790050915;15.6?1.835014272;15.65?1.880875001;15.7?1.927918447];
A=polyfit(a(:,1),a(:,2),2);
low=-A(2)/2/A(1)
low?=
???12.5984
根據(jù)運(yùn)行結(jié)果，可以估算出北京時(shí)間12.5984小時(shí)，測(cè)量地為影子長(zhǎng)度最小時(shí)刻，也就是太陽(yáng)高度最高時(shí)刻，即當(dāng)?shù)貢r(shí)間的12時(shí)。
???????為測(cè)量地的經(jīng)度。
數(shù)據(jù)的時(shí)間是北京時(shí)間14.7時(shí)到15.7時(shí)。此時(shí)的影長(zhǎng)是遞增的，可以知道測(cè)量地此時(shí)處于下午時(shí)刻。
，代表測(cè)量地在北京時(shí)間15.7時(shí)才剛到下午。
，代表測(cè)量地在北京時(shí)間14.7時(shí)才剛到凌晨。
我們可以得知，從西經(jīng)到東經(jīng)處不可能是測(cè)量地。
太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度是，則記，代表北京時(shí)間4月18日，以此緯度為界限向南全天均為黑夜。
由，
則，??
那么南緯到在北京時(shí)間4月18日一直處于黑夜。
???接著根據(jù)公式，我們可以得到不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，從而可以得出不同時(shí)刻太陽(yáng)的位置坐標(biāo)，（見下表）
| ? | |||||
| 14:42 | 79.5 | 10.4381 | 26683609.49 | 143971873.3 | 26974431.66 |
| 14:45 | 78.75 | 10.4381 | 28565857.03 | 143610261.2 | 26974431.66 |
| 14:48 | 78 | 10.4381 | 30443209.96 | 143224042.2 | 26974431.66 |
| 14:51 | 77.25 | 10.4381 | 32315346.61 | 142813282.6 | 26974431.66 |
| 14:54 | 76.5 | 10.4381 | 34181946.19 | 142378052.6 | 26974431.66 |
| 14:57 | 75.75 | 10.4381 | 36042688.86 | 141918426.9 | 26974431.66 |
| 15:00 | 75 | 10.4381 | 37897255.81 | 141434484.1 | 26974431.66 |
| 15:03 | 74.25 | 10.4381 | 39745329.26 | 140926307.4 | 26974431.66 |
| 15:06 | 73.5 | 10.4381 | 41586592.55 | 140393983.6 | 26974431.66 |
| 15:09 | 72.75 | 10.4381 | 43420730.19 | 139837604 | 26974431.66 |
| 15:12 | 72 | 10.4381 | 45247427.91 | 139257264 | 26974431.66 |
| 15:15 | 71.25 | 10.4381 | 47066372.72 | 138653062.9 | 26974431.66 |
| 15:18 | 70.5 | 10.4381 | 48877252.95 | 138025104.4 | 26974431.66 |
| 15:21 | 69.75 | 10.4381 | 50679758.31 | 137373496 | 26974431.66 |
| 15:24 | 69 | 10.4381 | 52473579.96 | 136698349.3 | 26974431.66 |
| 15:27 | 68.25 | 10.4381 | 54258410.53 | 135999780.1 | 26974431.66 |
| 15:30 | 67.5 | 10.4381 | 56033944.2 | 135277908 | 26974431.66 |
| 15:33 | 66.75 | 10.4381 | 57799876.74 | 134532856.8 | 26974431.66 |
| 15:36 | 66 | 10.4381 | 59555905.57 | 133764754 | 26974431.66 |
| 15:39 | 65.25 | 10.4381 | 61301729.8 | 132973731.3 | 26974431.66 |
| 15:42 | 64.5 | 10.4381 | 63037050.3 | 132159924.3 | 26974431.66 |
由于影長(zhǎng)，這里分別代表第一小問(wèn)的桿長(zhǎng)和太陽(yáng)入射角。
又有，對(duì)于每一固定的地點(diǎn)是確定的，所以桿長(zhǎng)不確定的情況下，我們帶入桿長(zhǎng)時(shí)，與實(shí)際測(cè)量值相差倍。計(jì)算各地的影長(zhǎng)與測(cè)量值之間的標(biāo)準(zhǔn)差，使得標(biāo)準(zhǔn)差最小的的地點(diǎn)，也就是每組數(shù)據(jù)與測(cè)量值相差的倍數(shù)越靠近同一個(gè)值得地點(diǎn)，為測(cè)量地的可能性就越大。
??4.2.2?模型二的求解
利用MATLAB編寫程序可以得到各地的影長(zhǎng)與測(cè)量值之間的標(biāo)準(zhǔn)差。
?
程序：
z=zeros(19700,17000);
for?i=64:0.01:260
for?j=-80:0.01:89
for?k=1:21
c(k)=120-15*(a(k,1)-12);
dt=asin(0.39775*sin(pi*(28+(a(k,1)-6.75)/24)/186));
l=[cosd(j)*cosd(i),cosd(j)*sind(i),sind(j)];
m=[cos(dt)*cosd(c(k)),cos(dt)*sind(c(k)),sin(dt)];
ac=acos(dot(l,m));
if(ac>pi/2)
z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1;
end
t(k)=1/(a(k,2)*tan(pi/2-ac));
end
if(z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1))==0)
st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=std(t);
else
st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1000;
end
end
end
?
運(yùn)行結(jié)果：
?
由于運(yùn)行結(jié)果過(guò)于龐大，我們截取了部分結(jié)果，同時(shí)利用EXCEL求出了標(biāo)準(zhǔn)差的最小值以及相應(yīng)的點(diǎn)。
?
?
?
因此得到了最小的標(biāo)準(zhǔn)差為1.34012E-05，又由于在該點(diǎn)附近的標(biāo)準(zhǔn)差與最小值相差甚小，故可推測(cè)出直桿所處的地點(diǎn)為東經(jīng)108.67°，北緯19.26°。也就是我國(guó)的海南省東方市附近。
??4.2.3?模型二的檢驗(yàn)
計(jì)算值與測(cè)量值的影長(zhǎng)曲線圖，如下：
?
?
| 時(shí)間 | 測(cè)量值 | 估計(jì)值 | 誤差 |
| 14.7 | 1.149625826 | 1.190490641 | -0.040864814 |
| 14.75 | 1.182198976 | 1.218049998 | -0.035851021 |
| 14.8 | 1.215296955 | 1.246234754 | -0.030937798 |
| 14.85 | 1.249051052 | 1.275059812 | -0.02600876 |
| 14.9 | 1.28319534 | 1.304541586 | -0.021346246 |
| 14.95 | 1.317993149 | 1.334698039 | -0.016704891 |
| 15 | 1.353364049 | 1.365548738 | -0.012184689 |
| 15.05 | 1.389387091 | 1.397114906 | -0.007727815 |
| 15.1 | 1.426152856 | 1.429419494 | -0.003266637 |
| 15.15 | 1.463399853 | 1.462487251 | 0.000912602 |
| 15.2 | 1.501481622 | 1.496344813 | 0.005136809 |
| 15.25 | 1.540231817 | 1.531020797 | 0.00921102 |
| 15.3 | 1.579853316 | 1.566545907 | 0.013307409 |
| 15.35 | 1.620144515 | 1.602953056 | 0.01719146 |
| 15.4 | 1.661270613 | 1.640277494 | 0.020993119 |
| 15.45 | 1.703290633 | 1.678556961 | 0.024733672 |
| 15.5 | 1.74620591 | 1.717831842 | 0.028374068 |
| 15.55 | 1.790050915 | 1.758145355 | 0.03190556 |
| 15.6 | 1.835014272 | 1.799543745 | 0.035470527 |
| 15.65 | 1.880875001 | 1.842076506 | 0.038798495 |
| 15.7 | 1.927918447 | 1.885796626 | 0.042121822 |
?
根據(jù)上表的數(shù)據(jù)繪制誤差變化圖，如下：
?
4.3模型三的建立與求解
4.3.1?模型三的建立
對(duì)于這兩組數(shù)據(jù)，以第一組數(shù)據(jù)為例。
影子長(zhǎng)度由四個(gè)變量所控制：日期，時(shí)間，地點(diǎn)(經(jīng)度、緯度)。
我們使用相同的符號(hào)：觀測(cè)點(diǎn)經(jīng)緯度,太陽(yáng)坐標(biāo)(方向)。利用蔣洪力論文的結(jié)論，根據(jù)太陽(yáng)運(yùn)行進(jìn)度來(lái)求太陽(yáng)坐標(biāo)的緯度.得到：
?
其中為每年的積日。
,
利用之前得到的公式，得到太陽(yáng)入射角與觀測(cè)點(diǎn)，時(shí)間的函數(shù)關(guān)系：
其中
.
因此影長(zhǎng).
因此應(yīng)為常值.(為測(cè)量值)
我們?cè)俅卫玫难h(huán)變量，即對(duì)經(jīng)度、緯度、日期作為三軸，建立三維網(wǎng)格，我們對(duì)網(wǎng)格所有格點(diǎn)進(jìn)行一次遍歷，并選擇出最優(yōu)解(即的波動(dòng)范圍較小者，即方差較小者).
在循環(huán)中，我們利用二次擬合，求出測(cè)量地的大致精度范圍.
?
4.3.2?模型的求解
對(duì)于第一個(gè)測(cè)量地，我們利用二次擬合得到曲線
所以觀測(cè)地的大致范圍在
?
對(duì)于第二個(gè)測(cè)量地，我們利用二次擬合得到曲線
所以觀測(cè)地的大致范圍在
?
程序：
?
(1)
for?i=61:120
for?j=-90:89
for?k=1:365
yz=pnt(i,j,k,a(:,1));
t=yz'./a(:,2);
st((i-60)+(k-1)*60,j+91)=std(t);
end
end
end
?
(2)
for?i=78:137
for?j=-90:89
for?k=1:365
yz=pnt(i,j,k,a(:,1));
t=yz'./a(:,2);
st((i-77)+(k-1)*60,j+91)=std(t);
end
end
end
?
對(duì)于第一個(gè)測(cè)量地，得到如下的運(yùn)行結(jié)果：
?
相對(duì)應(yīng)的結(jié)果為11月25日?東經(jīng)80°?南緯39°.
在世界地圖上尋找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)為海上，所以此值應(yīng)當(dāng)舍去，選取次優(yōu)解。
次優(yōu)解有兩個(gè)：5月12日?東經(jīng)79°?北緯39°。
7月31日?東經(jīng)79°?北緯39°，此地為新疆喀什附近。
?
?
對(duì)于第二個(gè)測(cè)量地，得到如下的運(yùn)行結(jié)果。
????
???相應(yīng)的結(jié)果為10月26日?東經(jīng)110°?北緯34°，此地為陜西省商洛市附近。
?
4.4模型四的建立與求解
??4.4.1模型四的建立
坐標(biāo)系與各變量的表示均與問(wèn)題一中相同。
根據(jù)附件4中直桿在太陽(yáng)下的影子變化的視頻，以3分鐘為一節(jié)點(diǎn)截取視頻中的圖像，利用Digimizer測(cè)量軟件測(cè)量出影子長(zhǎng)度，共測(cè)得14組數(shù)據(jù)（如下表）。
?
| 時(shí)間 | 影子長(zhǎng)度/m |
| 8:54 | 2.410633 |
| 8:57 | 2.363567 |
| 9:00 | 2.324 |
| 9:03 | 2.286367 |
| 9:06 | 2.245267 |
| 9:09 | 2.1975 |
| 9:12 | 2.157067 |
| 9:15 | 2.1198 |
| 9:18 | 2.091633 |
| 9:21 | 2.043833 |
| 9:24 | 2.001667 |
| 9:27 | 1.953233 |
| 9:30 | 1.918767 |
| 9:33 | 1.8776 |
記觀測(cè)地A的經(jīng)緯度為（a,b）,那么直桿的方向向量可表示為.
接下來(lái)考慮太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度：
????經(jīng)度，是測(cè)量地點(diǎn)的時(shí)間，是地球的自轉(zhuǎn)角速度，。
緯度，是從春分日開始經(jīng)過(guò)的天數(shù)，。
根據(jù)視頻我們可以得到測(cè)量地點(diǎn)的日期和時(shí)間，從而和可知，即不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度可知。
從而太陽(yáng)位置可表示為。
所以太陽(yáng)入射角，影子長(zhǎng)度。
即
也就是，
??4.4.2?模型四的求解
首先根據(jù)上述模型，得到不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度，并且求出太陽(yáng)的坐標(biāo)。
| ? | ? | ? | |||
| 8:54 | 166.5 | 14.6001 | -137202961.4 | 32939516.71 | 56723036.13 |
| 8:57 | 165.75 | 14.6001 | -136760041.9 | 34732625.97 | 56723036.13 |
| 9:00 | 165 | 14.6001 | -136293689.3 | 36519783.99 | 56723036.13 |
| 9:03 | 164.25 | 14.6001 | -135803983.5 | 38300684.52 | 56723036.13 |
| 9:06 | 163.5 | 14.6001 | -135291008.4 | 40075022.43 | 56723036.13 |
| 9:09 | 162.75 | 14.6001 | -134754851.8 | 41842493.69 | 56723036.13 |
| 9:12 | 162 | 14.6001 | -134195605.7 | 43602795.45 | 56723036.13 |
| 9:15 | 161.25 | 14.6001 | -133613365.9 | 45355626.1 | 56723036.13 |
| 9:18 | 160.5 | 14.6001 | -133008232.1 | 47100685.3 | 56723036.13 |
| 9:21 | 159.75 | 14.6001 | -132380308.1 | 48837674.03 | 56723036.13 |
| 9:24 | 159 | 14.6001 | -131729701.3 | 50566294.68 | 56723036.13 |
| 9:27 | 158.25 | 14.6001 | -131056523.4 | 52286251.06 | 56723036.13 |
| 9:30 | 157.5 | 14.6001 | -130360889.6 | 53997248.46 | 56723036.13 |
| 9:33 | 156.75 | 14.6001 | -129642919.1 | 55698993.71 | 56723036.13 |
程序：
a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];
for?i=78:137
for?j=-90:89
yz=pnt(i,j,194,a(:,1));%pnt為求影子長(zhǎng)度的函數(shù)，見附錄。
t=yz'./a(:,2);
st(i-77,j+91)=std(t);
end
end
end?
運(yùn)行結(jié)果：
利用EXCEL查找出了標(biāo)準(zhǔn)差的最小值，所以可以得知測(cè)量地為東經(jīng)111°，北緯43°，在內(nèi)蒙古烏蘭察布市附近。
??4.4.3?模型四的檢驗(yàn)
a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];
st=zeros(60,180);
for?i=78:137
for?j=-90:89
yz=pnt(i,j,194,a(:,1));
t=2.*yz'./a(:,2);
for?k=1:14
st(i-77,j+91)=st(i-77,j+91)+abs(t(k)-1);
end
end
End
容易得到：影長(zhǎng)的誤差和為???，
其中為東經(jīng)111°，北緯43°在對(duì)應(yīng)時(shí)間下的影長(zhǎng)；為對(duì)應(yīng)時(shí)間下的測(cè)量值。
則，
即
?
?4.4.4?模型四的檢驗(yàn)模型四的推廣問(wèn)題
在拍攝日期未知的情形下，那么這個(gè)問(wèn)題就類似于問(wèn)題三。我們可以通過(guò)同樣的方法，估算出一些可能的地點(diǎn)，但是問(wèn)題三利用的是公式算得的影長(zhǎng)與測(cè)量值之間存在一個(gè)桿長(zhǎng)倍數(shù)的關(guān)系，然后利用計(jì)算的數(shù)值，比較其標(biāo)準(zhǔn)差，考察每個(gè)數(shù)據(jù)與真實(shí)值比值的離散程度。但是問(wèn)題四已經(jīng)給出了一個(gè)桿長(zhǎng)，所以我們可以繼續(xù)進(jìn)行檢驗(yàn)，觀察在這些可能的地點(diǎn)中這個(gè)比值是否在桿長(zhǎng)附近波動(dòng)。波動(dòng)程度越小，那么地點(diǎn)是測(cè)量地的可能性就越高。這樣也就可以估測(cè)出大致的拍攝地點(diǎn)及日期。
5、模型的評(píng)價(jià)
??6.1?模型的優(yōu)點(diǎn)
??（1）數(shù)學(xué)推導(dǎo)，具有較強(qiáng)的理論依據(jù)，邏輯的推理增強(qiáng)了數(shù)據(jù)間的連貫性，方便觀察出其中明顯的失誤。
??（2）使用擬合數(shù)據(jù)，進(jìn)行測(cè)量地的位置估算，可以對(duì)結(jié)果起到引導(dǎo)性作用，更容易做出精確的結(jié)果。
??6.2?模型的缺點(diǎn)
??（1）由于地理因素復(fù)雜，無(wú)妨用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型完美刻畫，得到的結(jié)果也只能是在不考慮眾多地理復(fù)雜因素下的估計(jì)值。
??（2）由于不同的擬合方式可以得到不同的精確度，所以引導(dǎo)性的精確程度也是可以不斷優(yōu)化的，然而我們選擇的擬合方式并不一定是最好的。
6、參考文獻(xiàn)
[1]??[0583-1458]?蔣洪力，太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析，數(shù)學(xué)通報(bào)，第9期:P39-40，2007。
[2]??[TK511;P182.1]?王炳忠，太陽(yáng)輻射計(jì)算講座?第一講?太陽(yáng)能中天文參數(shù)的計(jì)算，太陽(yáng)能，第2期:P8-10，1999。
[3]??[978-7-5643-2992-1]?龔濤，攝影測(cè)量學(xué)，成都：西南交通大學(xué)出版社,2014.04。
[4]??[9787040196382]?姜啟源，謝金星，數(shù)學(xué)建模案例選集，北京：高等教育出版社，2006。
[5]??[9787302265535]?李學(xué)文，數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文精選與點(diǎn)評(píng)，北京：清華大學(xué)出版社，2011。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的2015高教杯全国大学生数学建模竞赛论文的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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