《測繪學報》

構建與學術的橋梁 拉近與權威的距離

等價條件平差模型的方差-協方差分量最小二乘估計方法

劉志平¹, 朱丹彤¹, 余航¹, 張克非^1,2

1. 中國礦業大學環境與測繪學院, 江蘇 徐州 221116; 2. 皇家墨爾本理工大學空間科學研究中心, 澳大利亞 維多利亞州 墨爾本 3001

收稿日期：2018-01-22；修回日期：2018-11-28

基金項目：國家自然科學基金重點項目(41730109);國家自然科學基金(41771416;41204011);江蘇省"雙創團隊"項目(CUMT07180005);江蘇省"雙創個人"項目(CUMT07180003);自然資源部精密工程與工業測量重點實驗室開放基金(PF2017-12)

第一作者簡介：劉志平(1982—)，男，博士，副教授，研究方向為混合誤差理論與反演、全源定位導航與應用。E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn; zhpnliu@163.com

摘要：提出等價條件閉合差的方差-協方差分量最小二乘估計方法，簡稱LSV-ECM法。首先，利用等價條件平差模型建立了基于等價條件閉合差二次型的方差-協方差分量估計方程，由矩陣半拉直算子將其變換為線性Gauss-Markov形式，進而通過最小二乘準則導出了具有模型通用性、形式簡潔性且滿足無偏性和最優性的方差-協方差分量估計公式。其次，證明了LSV-ECM方法與殘差型VCE方法的等價性，并在此基礎上通過計算復雜度定量分析了所提方法的計算高效性。最后，通過邊角網平差和中國區域GNSS站坐標時序建模及其結果分析，驗證了所提新方法的正確性和計算高效性。

關鍵詞：等價條件平差模型 方差-協方差分量估計 LSV-ECM法 邊角網 GNSS站坐標時間序列

Least-square variance-covariance component estimation method based on the equivalent conditional adjustment model

LIU Zhiping¹, ZHU Dantong¹, YU Hang¹, ZHANG Kefei^1,2

1. School of Environment Science and Spatial Informatics, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China;2. Space Research Centre, RMIT University, Australia VIC 3001

Foundation support: The State Key Program of National Natural Science Foundation of China (No. 41730109); The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41771416; 41204011); The Jiangsu Dual Creative Teams Programme Projects Awarded In 2017 (No. CUMT07180005); The Jiangsu Dual Creative Tanlents Programme Projects Awarded In 2017 (No. CUMT07180003); The Open Foundation of Precise Engineering & Industry Surveying Key Laboratory of Natural Resources Ministry (No. PF2017-12)

First author: LIU Zhiping(1982—), male, PhD, associate professor, majors in mixed error theory and geodetic inversion, all source navigation positioning and application. E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn; zhpnliu@163.com.

Abstract: A VCE method termed the least-square variance-covariance component estimation method based on the equivalent conditional misclosure (LSV-ECM) is developed. Three steps are involved. First, the equivalent conditional misclosure is extracted using the projection matrix in the equivalent conditional adjustment model, of which the quadratic equations are established for variance-covariance component estimation. The quadratic equations in the form of matrix are then transformed to the linearized Gauss-Markov form using the half-vectorization operator. A simplified and generalized LSV-ECM method is derived using the least-square principle with an unbiased and optimal estimation.Furthermore, the equivalence between the LSV-ECM and the existing VCE methods is proven mathematically, and computational complexities of the LSV-ECM and the existing VCE methods are quantitatively analyzed and investigated in the indirect adjustment model. It is shown that the new method gives the highest computational efficiency. Finally, the performance and superiority of the new method is evaluated through an adjustment of a triangulateration network and an analysis of a coordinate time series of GNSS stations.

Key words: equivalent conditional adjustment model variance-covariance component estimation LSV-ECM method triangulateration network GNSS station coordinate time series

隨著現代測量技術的發展，測量數據處理的對象已經由單一同類觀測數據轉變為多源、多類或同類多因素的異方差結構觀測數據，在這種情況下隨機模型的準確性對參數解估計的統計特性具有重要影響^[1-2]。方差-協方差分量估計能夠極大地改善隨機模型不精確的問題，從而成為國內外學者關注的焦點，并形成了一整套的理論框架^[3-8]。近年來主要理論研究包括：①以平差結果之一的殘差向量為基本輸入量的殘差型VCE方法，如Helmert法^{[1-2, 7]}、最小二乘方差分量估計法(簡稱LS-VCE)^[9-11]、MINQUE法^[12]、BIQUE法^[13]、MLE-VCE法^[14]、等效殘差法^[15-16]及EIV模型的VCE方法^{[4, 8]}等；②以等價條件閉合差為基本輸入量的解析型VCE方法，如VCE-ECM法^[17-18]。近年來的主要應用研究有：文獻[19— 20]研究了常規導線控制網中角度觀測值與距離觀測值的定權問題；文獻[21—22]探討了GNSS觀測值隨機模型的精化問題；文獻[23—24]研究了坐標轉換中不同公共點坐標的精度問題；文獻[11, 25—26]開展了GNSS站坐標時間序列的噪聲估計及評價研究。

大量研究表明，LS-VCE方法^{[9-10, 15]}可導出Helmert、MINQUE、MLE-VCE等方法的方差-協方差分量估計公式，具有最優無偏特性。與此同時，基于等價條件平差模型的VCE-ECM法^[17-18]以等價條件閉合差作為基本輸入量，摒棄了平差值求解或殘差估計過程。鑒于此，本文從方差-協方差分量最小二乘估計準則和等價條件平差模型出發，利用等價條件閉合差的二次型構造方差分量估計公式，進而將方差分量估計方程變換為線性Gauss-Markov形式并建立了基本估計方程；然后，顧及矩陣拉直、半拉直算子和Kronecker積的性質進行化簡，導出了基于等價條件閉合差的方差-協方差分量最小二乘估計公式(least-square variance-covariance estimation based on the equivalent condition misclosure)，簡稱為LSV-ECM法。在此基礎上，證明了本文LSV-ECM法與殘差型VCE方法的等價性，定量分析了LSV-ECM法、Helmert法和LS-VCE法的計算復雜度，以邊角網平差和中國區域GNSS站坐標時序建模實例驗證本文方法的正確性和高效性。

1 等價條件閉合差的方差分量最小二乘估計1.1 等價條件平差模型

設概括平差模型為

(1)

式中，A、[B^TC^T]均為行滿秩系數矩陣；W為具有參數的條件方程閉合差；Z為限制條件方程閉合差；DL為觀測值L的方差陣；V、x分別為待求的殘差與參數向量；下標c、s分別為條件方程個數和限制條件方程個數；n、u分別為觀測數和參數個數；平差模型自由度r=(c+s)－u。

令矩陣B^T=[B^TC^T]，利用正交投影矩陣H消去參數向量，即

(2)

式中，H稱為零空間算子；Bu、Br為B的上u行與下r行分塊矩陣，即B^T= [Bu^TBr^T]；式(1)等式兩邊均左乘H，根據式(1)可將式(2)概括平差模型化為等價的條件平差模型

(3)

式中，A=HcA、w=HcW+HsZ稱為等價條件閉合差。其中，Hc、Hs為H的左c列與右s列分塊矩陣，即H= [HcHs]。

1.2 方差-協方差分量最小二乘估計方法

假設概括平差模型式(1)中隨機模型DL可表示為

(4)

式中，∑(·)表示累加運算；k為方差-協方差分量的個數；Qi為第i個協因數分量矩陣。

由式(3)可將等價條件閉合差W的隨機模型表示為

(5)

令F=DW，根據式(4)、式(5)可得

(6)

式中，Qi=AQiA^T。

進一步令θ=[σ_{0, 1}²σ_{0, 2}²… σ0,k²]^T，并顧及F、Qi的矩陣對稱性質，利用下三角矩陣拉直算子(簡稱半拉直算子)vh(·)對式(6)等式兩端F,Qi進行變換，可得

(7)

式中，m=r(r+1)/2；F_vh=vh(F)；Q_vh=[vh(Q) vh(1 Q) … vh(2 Qk)]。

記向量F_vh的方差陣為Σ_vh，N令=2Q_vh^TΣ_vh^－1Q_vh；U=2Q_vh^TΣ_vh^－1F_vh，則由最小二乘準則可得式(7)的方差-協方差分量估計式

(8)

(9)

式中，D為復制矩陣(duplication matrix)^[9]，也即半拉直算子與拉直算子的映射矩陣

(10)

分析可知，式(8)—式(10)含有大量的高維矩陣迭代運算(r²階)，因而需進一步簡化矩陣運算?？紤]到矩陣拉直算子vec(·)、Kronecker積?和矩陣跡算子tr(·)具有如下性質^[9]

(11)

利用式(9)—式(11)對方差-協方差分量估計式N、U中的元素進行簡化，整理可得

(12)

(13)

式(8)和式(12)—式(13)構成了本文方法方差-協方差分量估計式的最終形式。由上述推導過程可知，本文方法僅含等價條件平差模型的DW、Qi和W三類輸入量，降低了矩陣運算維數(由r²階降為r階)，且在最小二乘迭代估計過程中僅需更新DW(Qi和W為已知量)。對于特定的平差模型，只需變換DW、Qi和W計算式便可得到相應的方差-協方差分量估計公式(表 1)。因此，本文稱為等價條件閉合差的方差-協方差最小二乘估計方法，簡稱LSV-ECM方法。該方法采用概括平差模型導出的等價條件閉合差進行表達，不同于Helmert型通用VCE法^[7]等采用基于平差因子的殘差向量表示，也區別于等效殘差型VCE法^[15-16]采用基于正交矩陣分解的等效殘差表示，所得估計公式具有更好的模型通用性和形式簡潔性。其次，本文LSV-ECM方法利用矩陣半拉直算子將方差-協方差分量估計方程變換為線性Gauss-Markov形式，并利用最小二乘準則進行方差-協方差分量估計，從而保證了估計結果具有無偏性和最優性。

表 1 不同平差模型的Qi、W、DW計算式Tab. 1Qi、W、DWfor mulas for different adjustment models

參量	模型
	條件平差	具有參數的條件平差	間接平差	附有限制的間接平差
	B=0,C=0	C=0	A=-I,C=0	A=-I
Qi	AQiAT	HAQiATHT	HQiHT	HcQiHcT
W	W	HW	HW	HcW+HsZ
DW	ADLAT	HADLATHT	HDLHT	HcDLHcT

表選項

現有文獻已證明殘差型VCE方法之間的等價性，并形成了一套較為完整的理論框架。通過概括平差因子矩陣R也可以證明本文LSV-ECM方法與殘差型VCE方法的等價性。對于概括平差模型，LSV-ECM法與Helmert型通用VCE方法^[7](簡稱通用Helmert法)等價；對于間接平差模型，LSV-ECM法與LS-VCE法^{[9, 11]}、基于等效殘差的LS-VCE法^[15]等價；對于具有參數的條件平差模型，LSV-ECM法與文獻[10]相應算法等價。為節省篇幅，這里僅給出LSV-ECM法與通用Helmert法^[7]等價關系的證明過程。

根據概括平差模型，^[18]DW與概括平差因子矩陣R存在如下等式關系

(14)

顧及式(14)及Qi=HcAQiA^THc^T和W=HcAV，可將式(12)—式(13)表達式Nij、Ui化簡整理為關于概括平差因子矩陣R的表達式

(15)

(16)

分析對比式(15)—式(16)和式(12)—式(13)可知，LSV-ECM方法可以導出通用Helmert法^[7]，等價性得證。其次，殘差型VCE方法(如Helmert法、LS-VCE法等)均以殘差向量為輸入量，而本文LSV-ECM法以等價條件閉合差為輸入量，后者實現了平差值求解(殘差為平差結果之一)與隨機模型估計的分離。再次，等價條件閉合差維數低于殘差向量維數，且前者為不需求解的已知量，因此計算效率方面明顯優于前者。

表 2以間接平差模型為例分析了3種方法在構建N、U時所需的計算復雜度(迭代一次所需的加法乘法和求逆復雜度^[27])。由表 2可看出，通用Helmert法與LS-VCE法以殘差向量作為基本輸入量，故二者的矩陣求逆復雜度完全相同，僅在加法乘法復雜度方面略有差異，故通用Helmert法和LS-VCE法在計算效率方面基本相等；而本文LSV-ECM法以等價條件閉合差為基本輸入量，矩陣求逆復雜度和加法乘法復雜度均小于通用Helmert法和LS-VCE法，因此LSV-ECM法的計算效率高于通用Helmert法和LS-VCE法。

表 2 不同VCE方法的計算復雜度Tab. 2 A comparison of computational complexities of different VCE methods

VCE方法	矩陣求逆復雜度	加法乘法復雜度
通用Helmert[7]	4O(n3)	k2(6n3－3n2+n－1)+k(6n2－n－1)
LS-VCE[9, 11]	4O(n3)	k2(6n3－5n2+n－1)+k(6n2－n－1)
LSV-ECM	4O(r3)	k2(6r3－3r2+r－1)+k(6r2－r－1)

表選項

2 應用結果及分析2.1 邊角網平差

為驗證本文方法的正確性和有效性，利用邊角網實例進行方差分量估計和參數平差計算。設有邊角網^[17]，其中A、B、C是已知點，P₁、P₂是待定點，網中觀測了12個角度，編號為1~12，觀測了6條邊長，編號為13~18。采用間接平差模型，先驗測角中誤差為1.5″，測邊中誤差為2 cm，記后驗測角方差為

方案1：分別采用通用Helmert法^[7]、LS-VCE法^{[9, 11]}、本文LSV-ECM法進行方差分量估計和參數平差計算。其中測角和測邊單位權中誤差的迭代初值均取先驗中誤差，迭代終止條件為測角和測邊的單位權中誤差相等。

方案2：在方案1的基礎上，剔除含有粗差的12號角度觀測值和16號邊長觀測值^[18]，基于余下的16個觀測值進行方差分量估計和參數平差計算。

按上述方案分別進行計算，統計不同方法迭代收斂時的方差分量估值、參數估值及其中誤差。另外，為避免單次計算的隨機誤差，將上述方案重復計算100次，并統計LS-VCE法和本文LSV-ECM法相對于通用Helmert法的耗時比值T_ratio，所得結果如表 3所示。

表 3 不同VCE方法的估計結果Tab. 3 A comparison of the results by different VCE methods

結果	方案1			方案2
	Helmert	LS-VCE	LSV-ECM	Helmert	LS-VCE	LSV-ECM
	3.64, 5.92	3.64, 5.92	3.64, 5.92	0.79, 3.07	0.79, 3.07	0.79, 3.07
	-1.56, 0.98	-1.56, 0.98	-1.56, 0.98	-2.90, 0.53	-2.90, 0.53	-2.90, 0.53
	0.89.1.03	0.89.1.03	0.89.1.03	0.09, 0.55	0.09, 0.55	0.09, 0.55
	5.64, 1.64	5.64, 1.64	5.64, 1.64	3.48, 1.20	3.48, 1.20	3.48, 1.20
	-12.38, 1.86	-12.38, 1.86	-12.38, 1.86	-17.80, 1.28	-17.80, 1.28	-17.80, 1.28
Tratio	1	96%	65%	1	97%	71%

表選項

從方案1方差分量和待估參數的估計結果看，3種結果完全相同，表明3種方法均能獲得一致的估計結果。同時比較3種方法的計算效率，通用Helmert法和LS-VCE的計算效率處于同一水平，本文所提出的LSV-ECM法的計算效率最高，其計算時間約為通用Helmert法的65%，較通用Helmert法和LS-VCE法均有明顯提升，從而驗證本文方法的有效性。

方案2中同樣可以驗證本文所提方法的正確性和有效性，不再贅述。同時，方案2在剔除兩個粗差觀測值以后，兩類觀測值的單位權方差、參數的估計精度均有較大提升，表明3種方差分量估計方法都無法抑制粗差影響，必須引入質量控制方法進行粗差識別與剔除。

2.2 GNSS站坐標時序建模

為進一步檢驗本文LSV-ECM法的正確性和高效性，選用中國大陸構造環境監測網絡(crustal movement observation network of China，CMONOC)中16個長期線性趨勢穩定的GNSS基準站2005.0014(DOY)~2015.0014(DOY)共10年的原始坐標時間序列進行噪聲特性分析(方差-協方差分量估計)和三維運動速度估計(平差參數計算)，測站位置分布如圖 1所示。

圖 1 CMONOC所選測站分布Fig. 1 Geographical distribution of selected stations in the CMONOC network

圖選項

GNSS站坐標時序的觀測方程和隨機模型分別為^[11]

(17)

(18)

式中，t_i是以年為單位的時間序列歷元點；a為常數項；b為線性速度項；c、d組合表示全年性周期運動；e、f組合表示半年性周期運動；vi為殘差；σWN、σFN為所求的噪聲分量大小；QWN、QFN分別為白噪聲和閃爍噪聲的協因數陣，具體形式見文獻[11]。

基于上述間接平差模型，分別利用通用Helmert法^[7]、LS-VCE法^{[9, 11]}和本文LSV-ECM法進行方差分量估計和參數平差計算，并統計北(N)、東(E)、豎直(U)3個方向的噪聲分量T_ratio，結果如表 4所示。

表 4 噪聲分量(WN, FN)估計結果Tab. 4 Noise analysis results of WN and FN using different VCE methods

mm
站點	N			E			U
	Helmert	LS-VCE	LSV-ECM	Helmert	LS-VCE	LSV-ECM	Helmert	LS-VCE	LSV-ECM
	WN, FN	WN, FN	WN, FN	WN, FN	WN, FN	WN, FN	WN, FN	WN, FN	WN, FN
注：高斯白噪聲(WN)的單位為mm；閃爍噪聲(FN)的單位為mm/a0.25
ZHZC	0.80, 2.11	0.80, 2.11	0.80, 2.11	0.78, 2.98	0.78, 2.98	0.78, 2.98	3.43, 9.73	3.43, 9.73	3.43, 9.73
YANC	0.52, 1.67	0.52, 1.67	0.52, 1.67	0.45, 1.87	0.45, 1.87	0.45, 1.87	2.10, 6.73	2.10, 6.73	2.10, 6.73
XIAM	0.79, 3.57	0.79, 3.57	0.79, 3.57	0.93, 3.19	0.93, 3.19	0.93, 3.19	3.78, 13.13	3.78, 13.13	3.78, 13.13
WUHN	0.76, 3.23	0.76, 3.23	0.76, 3.23	0.77, 3.03	0.77, 3.03	0.77, 3.03	3.01, 13.03	3.01, 13.03	3.01, 13.03
TAIN	0.96, 2.31	0.96, 2.31	0.96, 2.31	0.92, 3.10	0.92, 3.10	0.92, 3.10	3.18, 8.77	3.18, 8.77	3.18, 8.77
QION	0.98, 5.20	0.98, 5.20	0.98, 5.20	1.27, 4.63	1.27, 4.63	1.27, 4.63	4.7, 15.01	4.7, 15.01	4.7, 15.01
LUZH	0.68, 2.19	0.68, 2.19	0.68, 2.19	0.62, 2.63	0.62, 2.63	0.62, 2.63	2.73, 12.19	2.73, 12.19	2.73, 12.19
KMIN	0.67, 3.73	0.67, 3.73	0.67, 3.73	0.65, 4.94	0.65, 4.94	0.65, 4.94	3.29, 14.57	3.29, 14.57	3.29, 14.57
JIXN	0.58, 2.52	0.58, 2.52	0.58, 2.52	0.61, 1.98	0.61, 1.98	0.61, 1.98	2.37, 6.75	2.37, 6.75	2.37, 6.75
HRBN	0.61, 3.15	0.61, 3.15	0.61, 3.15	0.33, 3.45	0.33, 3.45	0.33, 3.45	1.50, 11.83	1.50, 11.83	1.50, 11.83
HLAR	0.75, 2.97	0.75, 2.97	0.75, 2.97	0.70, 2.65	0.70, 2.65	0.70, 2.65	2.32, 11.50	2.32, 11.50	2.32, 11.50
GUAN	1.07, 3.41	1.07, 3.41	1.07, 3.41	1.21, 5.08	1.21, 5.08	1.21, 5.08	5.23, 16.22	5.23, 16.22	5.23, 16.22
DLHA	0.41, 2.50	0.41, 2.50	0.41, 2.50	0.51, 2.31	0.51, 2.31	0.51, 2.31	1.51, 10.49	1.51, 10.49	1.51, 10.49
CHUN	0.55, 3.09	0.55, 3.09	0.55, 3.09	0.44, 3.05	0.44, 3.05	0.44, 3.05	1.92, 13.27	1.92, 13.27	1.92, 13.27
BJSH	0.76, 1.99	0.76, 1.99	0.76, 1.99	0.76, 1.35	0.76, 1.35	0.76, 1.35	2.81, 7.45	2.81, 7.45	2.81, 7.45
BJFS	0.61, 3.49	0.61, 3.49	0.61, 3.49	0.62, 2.19	0.62, 2.19	0.62, 2.19	2.73, 7.31	2.73, 7.31	2.73, 7.31
Tratio(WN)	1	99.5%	74.0%	1	99.8%	73.8%	1	99.9%	72.1%
Tratio(FN)	1	99.5%	74.0%	1	99.8%	73.8%	1	99.9%	72.1%

表選項

對比表 4中通用Helmert法、LS-VCE法和LSV-ECM法的計算結果可知，3種方法所得的噪聲分量結果完全相同，驗證了本文方法的正確性。同時，對比3種方法的計算效率可知，通用Helmert法與LS-VCE法基本一致，而本文LSV-ECM法有較大提高，三維方向計算時間比分別為通用Helmert法的74.0%、73.8%、72.1%，表明本文方法的高效性。

由表 4噪聲分量的估計結果可知，白噪聲分量均遠小于閃爍噪聲分量，表明有色噪聲為中國區域GNSS站坐標時間序列的主要噪聲，在參數估計時若直接采用白噪聲模型會導致估計結果有偏，并會產生較高的虛假估計精度。另外，對比不同方向的噪聲分量估計結果，北方向和東方向的噪聲分量相差不大，且量級較小，94%和88%的測站白噪聲分量在1 mm以內，50%的測站閃爍噪聲分量在3 mm/a^0.25以內，而豎直方向的噪聲分量遠高于水平方向，這與現有結論相一致，約有56%的測站白噪聲分量在3 mm以內，31%的測站閃爍噪聲分量在9 mm/a^0.25以內。

為進一步分析噪聲大小與經緯度之間的關系，繪制了白噪聲分量和閃爍噪聲分量隨經緯度的變化情況。由于噪聲大小與緯度相關性較強、與經度相關性較弱，為節省篇幅，此處僅討論噪聲大小與緯度變化的關系，見圖 2。從圖 2可以看出，水平方向的白噪聲和閃爍噪聲分量大小較為平穩，豎直方向的噪聲大小波動較大。從整體趨勢上看，白噪聲和閃爍噪聲大小隨緯度變化的趨勢較為明顯。具體表現為：噪聲大小隨緯度增加而逐漸減小，減少過程中有輕微波動，且在中緯度地區有翹尾現象。該現象原因分析可能是GNSS的GDOP值隨緯度增大而降低^[28]，從而使噪聲分量表現出隨緯度增加而減小的現象，而且噪聲分量在中緯度地區呈現一定的翹尾現象。

圖 2 噪聲分量大小與緯度的關系Fig. 2 The relationship between noise components and latitude

圖選項

此外，為檢驗方差-協方差分量估計結果的正確性和有效性，以CMONOC的公布數據(http://www.cgps.ac.cn/cgs/index.action)作為對比參考值，表 5統計了中國區域GNSS站的三維運動速度和不確定度。由該表可知，中國區域不同站點水平方向均呈現東南方向運動趨勢，這與亞歐板塊的整體運動趨勢相一致，但豎直方向運動變化差異性較大，其中約40%的測站呈現下沉趨勢。對比本文結果與CMONOC的公布結果，除JIXN、HLAR站N方向，KMIN、GUAN站E方向，CHUN、BJFS站U方向以外，其余計算結果均在2倍中誤差范圍內。此外，參照文獻[29]的計算結果，對比發現除CHUN站U方向外，其余測站的計算結果與本文結果具有較好的相符性，進一步驗證了本文方法的正確性。需要指出的是，CHUN站U方向的差異性可能是數據預處理和共模誤差提取策略不同所致。

表 5 站點運動速度和不確定度Tab. 5 Velocity and uncertainty of different stations

mm/a
站點	N		E		U
	本文方法	CMONOC	本文方法	CMONOC	本文方法	CMONOC
ZHNZ	-11.35±0.07	-11.18±0.15	32.90±0.11	33.17±0.23	1.21±0.31	1.24±0.38
YANC	-9.30±0.05	-8.69±0.14	32.57±0.10	32.46±0.05	1.06±0.22	1.02±0.13
XIAM	-12.16±0.11	-12.48±0.17	32.47±0.06	32.82±0.17	1.4±0.42	0.78±0.36
WUHN	-10.93±0.10	-11.08±-0.12	32.50±0.11	33.60±0.74	-0.79±0.42	0.47±0.41
TAIN	-11.54±0.07	-11.58±0.37	30.98±0.10	31.38±0.16	0.92±0.28	1.21±0.30
QION	-11.98±0.17	-10.24±0.78	31.57±0.10	31.94±0.15	-0.6±0.48	-0.46±0.32
LUZH	-9.75±0.070	-9.61±0.13	34.96±0.15	35.76±0.28	0.46±0.39	0.35±0.30
KMIN	-17.23±0.12	-16.18±0.87	33.09±0.08	31.13±0.53	-1.23±0.47	-0.48±0.31
JIXN	-9.72±0.08	-10.35±0.06	29.13±0.16	28.66±0.11	1.79±0.22	1.53±0.17
HRBN	-12.56±0.10	-12.38±-0.21	25.79±0.06	25.95±0.51	-0.49±0.38	-0.09±0.21
HLAR	-10.51±0.09	-11.35±0.04	25.76±0.11	25.88±0.07	2.05±0.37	1.44±0.16
GUAN	-11.11±0.11	-11.23±0.10	31.30±0.10	33.11±0.19	-0.33±0.52	-1.97±0.46
CHUN	-11.58±0.10	-12.21±0.14	27.37±0.07	26.53±0.52	-1.81±0.42	-0.15±0.29
BJSH	-11.45±0.06	-11.28±0.18	30.10±0.10	29.94±0.13	1.36±0.24	1.05±0.29
BJFS	-9.94±0.11	-10.18±0.14	30.58±0.04	30.10±0.19	2.63±0.24	-0.11±0.63

表選項

3 結論

本文基于等價條件平差模型和最小二乘準則，利用等價條件閉合差的二次型構建方差-協方差分量估計方程，并通過矩陣半拉直算子將其變換為線性Gauss-Markov形式，進而顧及矩陣拉直算子、半拉直算子和Kronecker積運算性質，導出了基于等價條件平差模型的方差-協方差分量最小二乘估計公式，簡稱LSV-ECM法。該方法實現了平差值求解(殘差為平差結果之一)與隨機模型估計的分離，有效兼顧了等價條件閉合差(已知)和最小二乘的特性。邊角網平差實例的結果表明，本文的LSV-ECM法與通用Helmert法、LS-VCE法的結果完全相同，但計算效率更高，驗證了該方法與殘差型VCE方法的等價性和計算高效性。

分析指出了方差-協方差分量估計方法相較于常規GNSS-MLE法進行GNSS站坐標時間序列噪聲分析的優勢，并利用LSV-ECM法、通用Helmert法、LS-VCE法計算分析了中國區域16個GNSS站坐標時間序列在WN+FN模型下的噪聲估計和站點速度。估計結果表明，有色噪聲是中國GNSS站坐標時序的主要噪聲，且白噪聲和有色噪聲分量隨緯度增大而減小，速度估計結果與陸態網絡的公布結果基本一致，水平方向的整體運動趨勢呈東南方向，而豎直方向的運動趨勢差異性較大。因此，計算結果也進一步驗證了本文LSV-ECM法的正確性和高效性。

【引文格式】劉志平, 朱丹彤, 余航, 等. 等價條件平差模型的方差-協方差分量最小二乘估計方法. 測繪學報，2019，48(9)：1088-1095. DOI: 10.11947/j.AGCS.2019.20180227

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總結

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