1　引子

在上一篇讀書筆記中，我們對書本中給出的例子進行詳細的分析。首先是搭出一個框架；然后填充初始化函數，在初始化函數中向OpenGL提供頂點信息（緩沖區對象）和頂點屬性信息（頂點數組對象），并啟用頂點數組對象；最后填充繪制函數，首先清空顏色緩存，然后調用glDrawArray來繪制基本圖形。例子中使用的坐標都是二維坐標，所以畫出來的圖形是二維圖形（這里是兩個三角形），而我們知道OpenGL最主要是用來進行三維圖形的渲染的，所以有必要在學習OpenGL相關API之前對三維變換做一個簡要的介紹。其實這一部分應該屬于紅寶書中第五章的內容，這里我們將其提前了，在讀書筆記（二）就拿出來介紹——這是我們三維渲染的最基本的知識點，也是最關鍵的知識點，理解起來也有一定的難度。本次讀書筆記主要講述平移、旋轉、縮放變換的變換矩陣，投影變換將在下一篇讀書筆記再做記錄。本篇讀書筆記主要是自己對一些數學概念的理解和記錄，僅供參考，如有不同理解的，大家可以一起討論哈！

2　 點、坐標系與向量

討論三維變換之前，得先了解點、向量和坐標系這些基本數學概念。這部分內容可能比較抽象，下面記錄的是我對這些概念的一些理解。

2.1　位置的相對性

在日常生活中，我們在向別人描述一個陌生的地方的時候，通常會選擇一個他熟悉的地方作為一個參考點。例如：我們向老外介紹河北的一座古城邯鄲，老外知道北京，我們就會說邯鄲在北京往西南走300km；如果老外知道石家莊，那我們也可以告訴他，邯鄲在石家莊往南走100km。這說明，位置是一個相對的概念，要描述一個位置，首先要選擇參考點；參考點的選擇是任意的，所選取的參考點不同，位置的描述也就不同。

在幾何中，位置用“點”這一概念來描述，即點是一個只有位置沒有大小的量。描述一個點和描述一個位置是一回事，剛才已經說了位置是一個相對的概念，所以首先就要用到參考點。我們以最簡單的一維數軸為例來說明描述點的位置，如下圖所示：

對于數軸上同一點$A$，要描述$A$點的位置，先要選取任意一個參考點，如果選擇的參考點是$O_1$，則$A$點在$O_1$點右邊$l_1$的地方；如果選擇的參考點是$O_2$，則$A$點在$O_2$點左邊$l_2$的地方。通過數軸和參考點，我們就將數軸上的幾何點用抽象的數字表達出來了。

2.2 坐標系與向量

從圖上可以看出，數軸上的點只能沿著數軸方向進行變化，即它是一維的。如果點在一個平面上或一個空間中變化，那么數軸這一工具是無法描述的。這時就要引入二維坐標系和三維坐標系來描述點的位置。介紹坐標系之前，首先介紹一下向量的概念。

在我們還是十七八歲學習高一幾何的時候，我們就已經接觸到了向量——既有大小，又有方向的量，用一個有向線段來表示。說白了，向量定義了一個方向、一個長度和一個單位長度。如上圖中，$O_1A$和$AO_2$就是兩個向量，大小分別為$l_1$和$l_2$，方向為水平向右。

一個平面上，有無數這樣的向量。但是關于向量，有一個非常重要的法則——使用平行四邊形法則來對任何一個向量進行分解。平行四邊形法則來自于物理學中力的分解與合成，后被引入數學中加以抽象來描述向量的分解與合成。所謂平行四邊形法則，指的是任何一個平面向量都可以用一個不共線的兩個向量表示。于是，平面中無數的向量就可以用兩個不共線的向量來表示。由這兩個向量及它們的公共起點構成的數學結構就是二維坐標系，用坐標系就可以描述二維平面上的任意點，當然也可以描述二維平面上的任意向量，這兩個向量就是線性代數中的基向量。我們知道，在數學中，向量是位置無關的（即自由向量），只要大小相等，方向相同的兩個向量就是同一個向量（這和物理學中的力不一樣）。所以要描述二維空間中的點，還需要一個參考點，于是就定義了這兩個向量的公共起點作為參考點——即我們熟知的坐標原點。坐標軸向量和坐標原點就構成了坐標系，可以用坐標系來描述其中的任何向量和任一點。

三維坐標系和二維坐標系是類似的，使用兩次平行四邊形法則，從而將任意一個三維向量表示為三個不共面的三維向量(基向量)來表示，這三個向量移到一起的公共起點定義為三維坐標系的坐標原點。二維和三維笛卡爾坐標系就是基向量垂直的二維和三維坐標系，也是應用最為廣泛的坐標系，也稱為平面直角坐標系和空間直角坐標系。

下面，我們來看看向量的表示方法。同樣在我們懵懵懂懂的青春歲月里，我們就已經知道向量有兩種表示方法：第一種是符號表示法，如$\mathbf{a}, \mathbf{b}$等；另一種是坐標表示法，這里對坐標表示做較詳細的說明。剛才已經說了，任意一個二維向量都可以用兩個不共線的向量來表示，假設兩個基向量為$\mathbf{i}$和$\mathbf{j}$，且長度為1。則對任一個向量$\mathbf{a}=x_a\mathbf{i} + y_a\mathbf{j}$，這樣，向量$\mathbf{a}$可用一個有序對$(x_a, y_a)$來唯一表示，這就是向量的坐標表示。三維乃至$N$維向量的坐標表示都是一樣的。在這里，博主還是想強調一下，向量的坐標并不是該向量在坐標軸上的投影，只有笛卡爾坐標是向量在基向量上的投影。所以，在普通坐標系下，一個向量的坐標不是很好求，但在直角坐標系下，就變得很好求了——求投影，這也是笛卡爾坐標系應用的如此廣泛的原因。下面我們來看看，什么是投影，其實高一數學中也已經接觸到了，如下圖所示：

假設$c$為向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的投影，那么：

\begin{equation} c = \mathbf{a} \cos<\mathbf{a},?\mathbf{b}>\end{equation}

所以，在二維直角坐標系中，如果二維向量$\mathbf{a}$長度為$l$，該向量與$x$軸和$y$軸的夾角分別為$\alpha$和$\beta$，則我們很容易得到該向量的坐標表示為$\mathbf = (l\cos\alpha, l\cos\beta)^\text{T}$；同樣地，對三維空間向量$\mathbf{b}$，其長度為$L$，與$x$軸、$y$軸和$z$軸的夾角分別為$\alpha$、$\beta$和$\gamma$，則其坐標表示為$\mathbf{b}=(L\cos\alpha, L\cos\beta, L\cos\gamma)^\text{T}$。

2.3 點的表示

剛才我們定義了坐標系——坐標原點和三個不共面的向量組成，并且三維空間中的任意向量都可以由這三個向量唯一表示，但我們沒有講點怎么由坐標系來定義。設在三維笛卡爾坐標系中，坐標原點為$O$，三個基向量分別為$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$，我們要求$P$點的坐標，那么

$$\vec{OP} = x_{1}\mathbf{i} + y_{1}\mathbf{j} + z_{1}\mathbf{k}$$

于是，點$P$可以表示為

$$P = x_{1}\mathbf{i} + y_{1}\mathbf{j} + z_{1}\mathbf{k} + \mathbf{O}$$

所以，要想表示一個三維的點，可以用四維坐標來表示，例如剛才的$P$可以表示為$P = (\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1\end{array})$，這就是齊次坐標。對頂點來說，齊次坐標才是其真正的表示方式。向量可以表示為$\mathbf{v} = (\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 0\end{array})$。

3　線性變換與齊次坐標

3.1 概述

代數中的線性變換的概念很抽象，涉及到向量空間、線性映射之類的概念，在這里不做過多解釋，如下想了解可以度娘或必應。給一個通俗點的解釋，三維線性變換就是將點/向量的坐標值做一個運算，使其坐標值發生改變，這在幾何中的反映就是幾何體的形狀被改變了。在計算機圖形學中，線性變換一般是指平移、旋轉、縮放、投影（正交投影和透視投影）以及這些基本變換的綜合運算。通過剛才的描述，我們知道一下幾點信息：幾何中的點或向量由四個坐標值確定，而坐標值是由坐標系確定的，坐標系又是由三個不共面的向量和坐標原點構成。也就是說，對于同一點，在不同的坐標系下，描述它的坐標值是不一樣的，而變換就是建立這兩種不同描述之間的聯系——所以在以前我們稱之為坐標變換。例如：在坐標系$\mathbf{O}_1-\mathbf{i}_1\mathbf{j}_1\mathbf{k}_1$坐標系下，某一點可以描述為$P$點可以用四元祖$(x_1, y_1, z_1, o_1)$描述，

\begin{equation}\label{p2}P = \begin{array}{cccc} (x_1 & y_1 & z_1 & o_1)\end{array}\left(\begin{array}{c}\mathbf{i}_1 \\ \mathbf{j}_1 \\ \mathbf{k}_1 \\ \mathbf{O}_1\end{array}\right) = (\begin{array}{cccc} \mathbf{i}_1 & \mathbf{j}_1 & \mathbf{k}_1 & \mathbf{o_1}\end{array})\left(\begin{array}{c}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ o_1 \end{array}\right)\end{equation}

在另一個坐標系為$\mathbf{O}_2-\mathbf{i}_2\mathbf{j}_2\mathbf{k}_2$，可以用另一個有序元組描述它，設為$(x_2, y_2, z_2, o_2)$

\begin{equation}\label{p1}P = \begin{array}{cccc} (x_2 & y_2 & z_2 & o_2)\end{array}\left(\begin{array}{c}\mathbf{i}_2 \\ \mathbf{j}_2 \\ \mathbf{k}_2 \\ \mathbf{O}_2\end{array}\right) = (\begin{array}{cccc} \mathbf{i}_2 & \mathbf{j}_2 & \mathbf{k}_2 & \mathbf{O_2}\end{array})\left(\begin{array}{c}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ o_2 \end{array}\right)\end{equation}

那么怎么建立$(\ref{p1})$和$(\ref{p2})$之間的聯系呢？還是之前我們說的，任意一個三維向量都可以表示用三個不共面的向量表示，所以$\mathbf{i}_2, \mathbf{j}_2,?\mathbf{k}_2$可以用$\mathbf{i}_1,?\mathbf{j}_1,?\mathbf{k}_1$線性表出：

$$\mathbf{i}_2 = T_{11} \mathbf{i}_1 + T_{21} \mathbf{j}_1 + T_{31} \mathbf{k}_1 + 0 \mathbf{O}_1$$

$$\mathbf{j}_2 = T_{12} \mathbf{i}_1 + T_{22} \mathbf{j}_1 + T_{32} \mathbf{k}_1 + 0 \mathbf{O}_1$$

$$\mathbf{k}_2 = T_{13} \mathbf{i}_1 + T_{23} \mathbf{j}_1 + T_{33} \mathbf{k}_1 + 0 \mathbf{O}_1$$

$$\mathbf{O}_2 = T_{14} \mathbf{i}_1 + T_{24} \mathbf{j}_1 + T_{34} \mathbf{k}_1 + T_{44} \mathbf{O}_1$$

?即：

$$(\begin{array}{cccc}\mathbf{i}_2 & \mathbf{j}_2 & \mathbf{k}_2 & \mathbf{O}_2 \end{array}) = (\begin{array}{cccc}\mathbf{i}_1 & \mathbf{j}_1 & \mathbf{k}_1 & \mathbf{O}_1 \end{array})\left(\begin{array}{cccc}T_{11} & T_{12} & T_{13} & T_{14} \\T_{21} & T_{22} & T_{23} & T_{24}\\T_{31} & T_{32} & T_{33} & T_{34}\\0 & 0 &0& T_{44}\end{array}\right)$$

于是，我們就可以寫出從$(\begin{array}{cccc}x_1 & y_1 & z_1 & o_1 \end{array})^{\text{T}}$變換到$(\begin{array}{cccc}x_2 & y_2 & z_2 & o_2 \end{array})^{\text{T}}$的變換表達式為：

$$\left(\begin{array}{c}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ o_2 \end{array}\right) = (\begin{array}{cccc}\mathbf{i}_1 & \mathbf{j}_1 & \mathbf{k}_1 & \mathbf{O}_1 \end{array})\left(\begin{array}{cccc}T_{11} & T_{12} & T_{13} & T_{14} \\T_{21} & T_{22} & T_{23} & T_{24}\\T_{31} & T_{32} & T_{33} & T_{34}\\0.0 & 0.0 &0.0& T_{44}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ o_1 \end{array}\right)?$$

其中，將

$$T=\left(\begin{array}{cccc}T_{11} & T_{12} & T_{13} & T_{14} \\T_{21} & T_{22} & T_{23} & T_{24}\\T_{31} & T_{32} & T_{33} & T_{34}\\0.0 & 0.0 &0.0& T_{44}\end{array}\right)$$

稱為坐標變換矩陣。接下來主要就是講解怎么求基本的坐標變換(仿射變換)矩陣。

3.2 縮放

縮放應該是所有線性變換中最簡單的變換了。執行縮放操作，例如將一個向量縮放為原來的$s$倍，相當于原點不變，$x$、$y$、$z$三個坐標軸縮放為原來的$s$倍。根據3.1介紹的，縮放操作的變換矩陣為：

$$T_s = \left(\begin{array}{cccc}s & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

3.3 平移

所謂平移，就是在坐標系中的三個坐標軸保持不變，原點沿著平移向量移動到新位置。假設平移向量為$v_p = (\begin{array}{cccc}x_p & y_p & z_p & 0 \end{array})$同樣，根據可以得到，平移操作的變換矩陣為：

$$T_p = \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & x_p \\ 0 & 1 & 0 & y_p \\ 0 & 0 & 1 & z_p \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

3.4 旋轉

最后來推導最難的旋轉變換矩陣。與平移、旋轉矩陣的不同，旋轉矩陣就不那么直觀了。下面，我們來具體看一下旋轉矩陣的推導，這個推導是執行三次向量的平行四邊形法則進行分解得到，整個分解過程如下圖所示：

三次分解由不同的顏色表示出來了，分別是紅色、淺藍色和紫色。

已知條件：$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$和$\mathbf{k}$是三維笛卡爾坐標系的基向量，原點為$O$，旋轉軸為$\mathbf{u}$，也是單位向量，向量$\mathbf{i'}$為$x$方向的基向量$\mathbf{i}$繞旋轉軸$\mathbf{u}$旋轉$\theta$后的新向量——旋轉后坐標系$x$軸的基向量。

我們的目的：將向量$\mathbf{i'}$用基向量$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$和$\mathbf{k}$表示出來。

第一步向量分解：將$\mathbf{i'}$分解為沿著旋轉軸$\mathbf{u}$的向量$\vec{OA}$和垂直于$\mathbf{u}$的向量$\vec{OB}$，則：

\begin{equation}\label{341}\mathbf{i'} = \vec{OA} + \vec{OB}\end{equation}

且：

\begin{equation}\label{342}\vec{OA} = u_x \mathbf{u} = u_x^2\mathbf{i} + u_xu_y\mathbf{j} + u_xu_z\mathbf{k}\end{equation}

第二步向量分解：將$\mathbf{i}$分解為沿著旋轉軸$\mathbf{u}$的向量$\vec{OA}$和垂直于$\mathbf{u}$的向量$\vec{OC}$，則

$$\mathbf{i} = \vec{OA} + \vec{OC}$$

且：

\begin{equation}\label{344}\vec{OC} = \mathbf{i} - u_x\mathbf{u} = (1-u_x^2)\mathbf{i} - u_xu_y\mathbf{j} - u_xu_z\mathbf{k} \end{equation}

第三步向量分解：建立$\vec{OB}$與$\vec{OC}$之間的聯系，將向量$\vec{OB}$分解為沿著$\vec{OC}$方向的向量$\vec{OD}$和垂直于$\vec{OB}$的向量$\vec{OE}$，則

\begin{equation}\label{345}\vec{OB} = \vec{OD} + \vec{OE}\end{equation}

根據$\ref{344}$可得：

\begin{equation}\label{346}\vec{OD} = |\vec{OB}|\cos\theta\frac{\vec{OC}}{|\vec{OC}|} = \cos\theta?\vec{OC} = \cos\theta(\mathbf{i} - u_x\mathbf{u}) = (1-u_x^2)\cos\theta \mathbf{i} - u_xu_y\cos\theta \mathbf{j} -u_xu_z\cos\theta \mathbf{k} \end{equation}

另外，注意到$\vec{OE}$和$\vec{OC}$垂直，$\mathbf{u}$是旋轉軸，則$\mathbf{u}$與平面$OEBD$垂直，所以$\mathbf{u}$與$OE$垂直，則$\vec{OE}$在向量$\mathbf{u}$和向量$\vec{OC}$的叉乘向量上，假設 $\vec{OF} = \mathbf{u}?\times?\vec{OC}$，于是：

$$\vec{OE} = k\vec{OF} = k\mathbf{u}\times \vec{OC}=k\mathbf{u}\times (\mathbf{i} - u_x\mathbf{u}) = k \mathbf{u}\times \mathbf{i}$$

所以現在求出$k$就可以了，由叉乘定義：$|\vec{OF}| = |\mathbf{u}||\vec{OC}|sin(90) = |\vec{OC}| = |\vec{OB}|$，所以：$k=\sin\theta$，最后得到

\begin{equation}\label{349}\vec{OE}=\sin\theta \mathbf{u}\times (\mathbf{i} - u_x\mathbf{u}) = \sin\theta \left(\begin{array} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) = ?u_z\sin\theta\mathbf{j} -u_y\sin\theta\mathbf{k}\end{equation}

將$(\ref{346})$和$(\ref{349})$代入$(\ref{345})$得：

\begin{equation}\label{3410}\vec{OB} = (1-u_x^2)\cos\theta\mathbf{i} - (u_xu_y\cos\theta - u_z\sin\theta)\mathbf{j} - (u_xu_z\cos\theta + u_y\sin\theta)\mathbf{k} \end{equation}

最后，將$(\ref{342})$和$(\ref{3410})$代入$(\ref{341})$可得

$$\mathbf{i'} = (\cos\theta + u_x^2(1-\cos\theta))\mathbf{i} + (u_xu_y(1-cos\theta) + u_z\sin\theta)\mathbf{j} + (u_xu_z(1-\cos\theta) - u_y\sin\theta)\mathbf{k} + 0\mathbf{O}$$

其余兩個變換后的基向量$\mathbf{i'}$和$\mathbf{j'}$也可以由$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$和$\mathbf{k}$表示出來，最終得到齊次旋轉矩陣為

$$M_r = \left(\begin{array}{cccc}\cos\theta+u_x^2(1-\cos\theta)& u_xu_y(1-\cos\theta)-u_z\sin\theta & u_xu_z(1-\cos\theta+u_y\sin\theta & 0 \\ u_yu_x(1-\cos\theta)+u_z\sin\theta & \cos\theta+u_y^2(1-\cos\theta)?& u_yu_z(1-\cos\theta)-u_x\sin\theta & 0 \\ u_zu_x(1-\cos\theta)-u_y\sin\theta & u_zu_y(1-\cos\theta)+u_x\sin\theta & \cos\theta+u_z^2(1-\cos\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

4 總結

最后總結一下，在這篇博文中我們講述了點及其相對性，接著介紹了向量的概念，由平行四邊形法則引出坐標系的概念，然后介紹了點在坐標系下的表示，最后介紹了坐標變換和變換矩陣的概念，給出了三種基本變換——平移變換、旋轉變換和縮放變換的變換矩陣。這些矩陣綜合運用，就構成了三維空間中復雜的變換了，三維變換是三維圖形繪制的基礎，也是學習OpenGL時較難理解的知識點之一。

轉載于:https://www.cnblogs.com/lijihong/p/5396819.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的OpenGL学习之路（二）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。