3D光柵化與2D光柵化在圖元繪制方面差別并不大，3D光柵化主要是多了很多坐標(biāo)系(Local，world，View...)，除此外遮擋算法和裁剪算法也會(huì)稍微復(fù)雜一些。

本篇文章的重點(diǎn)就主要集中在各種坐標(biāo)系變換上。

1.基本3D變換

本文所采用的向量(vector)表示為行主序(Row Major)，向量與矩陣(matrix)相乘方式為左乘(left or pre-multiplication)，向量與矩陣相乘表示如下：

a.縮放變換(Scale)

縮放變換即對(duì)一個(gè)三維向量的x，y，z分量分別進(jìn)行縮放，三維向量a在x，y，z方向上進(jìn)行縮放操作可以表示為：

考慮到使用向量和矩陣相乘實(shí)現(xiàn)縮放變換，可知：

可以得出

， ， ，則縮放變換的矩陣表示形式為：

縮放變換的逆變換的矩陣表示形式為：

b.旋轉(zhuǎn)變換(Rotation)

向量v以單位向量n為軸旋轉(zhuǎn)

如上圖，向量

以單位向量 為軸旋轉(zhuǎn)角度 ，得到旋轉(zhuǎn)后的向量 ， 與 之間的夾角為 ， 為 在 方向上的投影向量，則旋轉(zhuǎn)后向量 可以表示為：

令

， ，則：

將上式中的參數(shù)帶入到矩陣中即可到旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示：

由于

為正交矩陣(各行，各列為單位向量，且兩兩正交)，因此 ，旋轉(zhuǎn)變換的逆變換為：

特別地，當(dāng)

為x,y,z軸時(shí)(即： ， ， )，旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

c.平移(Translation)

3D空間中的點(diǎn)和向量都可以用三維向量表示，前面所介紹的縮放和旋轉(zhuǎn)變換對(duì)向量都適用，但平移變換對(duì)向量并無意義(平移后的向量與原向量完全相同)，然而3D空間中的點(diǎn)卻可適用平移變換。為了區(qū)分點(diǎn)和向量，同時(shí)一致地對(duì)它們進(jìn)行表示，我們可以采用齊次坐標(biāo)(homogeneous coordinates)，即：

• 當(dāng)表示向量時(shí)其坐標(biāo)為： ，
• 當(dāng)表示點(diǎn)時(shí)其坐標(biāo)為：

使用齊次做表時(shí)對(duì)應(yīng)的縮放和旋轉(zhuǎn)矩陣為(齊次坐標(biāo)為1x4向量，應(yīng)與4x4矩陣相乘，矩陣第四列為[0,0,0,1]，保證相乘后點(diǎn)和向量的w分量保持不變)：

對(duì)空間中一點(diǎn)

施加平移變換 可表示為：

由矩陣和向量相乘運(yùn)算規(guī)則可以知：

, , ， ， ， 。因此平移變換的矩陣表示為：

平移變換的逆變換矩陣表示形式為：

d.基本變換組合

可以將三種基本變換組合起來表示更復(fù)雜的變換，如：

表示對(duì)點(diǎn) 先后進(jìn)行縮放，旋轉(zhuǎn)和平移變換，但不同組合順序的基本變換會(huì)得到完全不同的復(fù)雜變換。

已知點(diǎn)

，縮放變換 (x,y,z分量分別縮放7,5,3)，旋轉(zhuǎn)變換 (繞y軸旋轉(zhuǎn)45度)和 (沿x,y,z方向分別平移6,2,4)，則對(duì)點(diǎn) 施加 變換后得到點(diǎn) ，對(duì)點(diǎn) 施加 則得到的點(diǎn) 。因此在組合基本變換時(shí)需要注意運(yùn)算順序，本文采用的組合順序?yàn)? (先縮放，然后旋轉(zhuǎn)，最后平移)。

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2.3D坐標(biāo)系變換

本文采用的坐標(biāo)系規(guī)范與DirectX相同(左手坐標(biāo)系)，如下圖所示：

已知坐標(biāo)系A(chǔ)和坐標(biāo)系B，坐標(biāo)系B的x，y，z軸在坐標(biāo)系A(chǔ)下可表示為

， ， ，坐標(biāo)系B的原點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)下表示為 。

坐標(biāo)系A(chǔ)與B

則將坐標(biāo)系B中一點(diǎn)

從坐標(biāo)系B變換到坐標(biāo)系A(chǔ)的變換矩陣為:

變換過程中點(diǎn)

在空間中的位置并沒有發(fā)生改變，只是參考坐標(biāo)系發(fā)生了改變，從B坐標(biāo)系變到A坐標(biāo)系。(縮放，旋轉(zhuǎn)，平移變換只有在同一坐標(biāo)系下才有意義。)

a. 本地空間(Local Space，Local Coordinate System)

3D渲染中用到的每個(gè)模型都有自己的本地坐標(biāo)系，因?yàn)槊總€(gè)模型都在獨(dú)立的坐標(biāo)系中進(jìn)行建模，所以本地坐標(biāo)系也被稱為模型坐標(biāo)系(model space)。使用本地坐標(biāo)系有如下好處：

• 建模更加方便，每個(gè)模型在自己的本地空間的中央進(jìn)行建模，不同模型之間互不干擾。
• 建好的模型可以被應(yīng)用到多個(gè)場(chǎng)景(多個(gè)不同坐標(biāo)系中)，而不用對(duì)模型做任何改動(dòng)。
• 有利于大規(guī)模的重復(fù)的實(shí)例繪制(instance)。

b. 世界空間(World Space，World Coordinate System)

在本地坐標(biāo)系中建好的模型都會(huì)經(jīng)過縮放，旋轉(zhuǎn)，平移等操作后變換到世界坐標(biāo)系中的不同位置構(gòu)成渲染場(chǎng)景。

模型一開始放置在世界坐標(biāo)系中時(shí)，其本地坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系重合，經(jīng)過一系列縮放，旋轉(zhuǎn)，平移變換后被放置在世界坐標(biāo)系中的適當(dāng)位置構(gòu)成渲染場(chǎng)景，經(jīng)過變換后的Local Space的x，y，z軸及原點(diǎn)在World Space下表示為

， ， 及 。則從本地坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的世界變換 可以表示為：

可以通過世界變換將本地坐標(biāo)系中的點(diǎn)轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)系中，即

。

c. 觀察空間(View Space，View Coordinate System)

view space與view volume

有了場(chǎng)景之后，還需要在場(chǎng)景中放置一個(gè)虛擬的攝像機(jī)才能在場(chǎng)景中實(shí)現(xiàn)漫游，以攝像機(jī)的角度來觀察游戲場(chǎng)景。此時(shí)可以為攝像機(jī)附加一個(gè)坐標(biāo)系，相機(jī)所看的方向?yàn)樽鴺?biāo)系z(mì)軸，x軸指向相機(jī)的右側(cè)，y軸指向相機(jī)的上方，這個(gè)附加在相機(jī)上的坐標(biāo)系即為觀察坐標(biāo)系(相機(jī)坐標(biāo)系)。

相機(jī)能夠?qū)⒖梢暦秶鷥?nèi)的3D場(chǎng)景轉(zhuǎn)化為2D圖像(不在view volume內(nèi)的物體可以直接剔除)。

若觀察坐標(biāo)系的x,y,z軸以及原點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下可以表示為：

， ， 及 ，則可以得到從觀察坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的變換 :

但我們需要的是觀察坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的逆變換，即世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換

。而從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換只涉及到旋轉(zhuǎn)和平移變換，則 又可以表示為 。因此從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換 可以表示為：

d. 齊次裁剪空間與歸一化設(shè)備坐標(biāo)系(Homogeneous Clip Space and Normalized Device Coordinates)

現(xiàn)在需要將相機(jī)可視范圍內(nèi)的物體投影到2D平面上，相機(jī)的可視范圍可以用一個(gè)處于近平面(near plane)與遠(yuǎn)平面(far plane)之間的平截棱錐(view frustum)表示：

View frustum

這里采用view frustum的near plane作為投影平面，由于從3D場(chǎng)景投影轉(zhuǎn)換為2D圖像后會(huì)損失一個(gè)維度，因此在投影過程中還需要保留物體在view space中的z值來判斷物體之間的遮擋關(guān)系。如下圖：

需要深度值z(mì)來判斷空間中點(diǎn)的遮擋關(guān)系

空間中的兩點(diǎn)p0，p1經(jīng)過投影后都位于near plane上的q點(diǎn)，需要根據(jù)p0，p1在view space中的深度值(z值)來判斷應(yīng)該繪制p0還是p1點(diǎn)。因?yàn)樾枰４嫔疃戎档骄彺嬷?#xff0c;并根據(jù)深度值來判斷空間物體遮擋關(guān)系，這種遮擋算法就被稱為z-buffer。

PS:雖然原理上是使用View Space的z值進(jìn)行遮擋判斷，但其實(shí)DirectX的z-buffer里存儲(chǔ)的是NDC Space的z值。z-buffer是單通道的圖片，可以用一個(gè)Image<float>對(duì)象表示。

View volume變換到CVV

投影的同時(shí)還需要對(duì)穿過view frustum的圖元進(jìn)行裁剪，為了方便裁剪，可以將view frustum變換成為一個(gè)長方體，這樣就可以更快捷的判斷圖元與view frustum的關(guān)系。經(jīng)過變換后的view frustum被稱為canonical view volume(CVV)。處在CVV內(nèi)的點(diǎn)

滿足一下關(guān)系：

經(jīng)過變換后CVV所處的坐標(biāo)系就被稱為歸一化坐標(biāo)系(Normalized Device Coordinates，NDC)(裁剪，投影都是在這一變換過程中進(jìn)行的)。

將View space內(nèi)的點(diǎn)p投影到near plane上

已知View space中的一點(diǎn)

，要將其投影到near plane( )上，投影到2D平面后的點(diǎn)為 ，且near plane的寬度和高度分別為 和 ，由幾何關(guān)系可知：

投影后的點(diǎn)

位于near plane內(nèi)，因此滿足：

經(jīng)過以下變換后可滿足CVV內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的要求:

由于以上變換為非線性變換的，因此無法用矩陣表示，可以將上訴變換拆分為兩個(gè)部分：線性部分和非線性部分，非線性部分表示為除以

(透視除法)。這時(shí)將點(diǎn) 變換到CVV內(nèi)點(diǎn) 的變換 可以表示為：

CVV內(nèi)點(diǎn)

可以表示為 :

現(xiàn)在還需要將點(diǎn)

的 坐標(biāo)變換到CVV坐標(biāo)范圍內(nèi)，位于view volume點(diǎn) 的 坐標(biāo)滿足 ：

經(jīng)過變換

變換到NDC空間后的點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足:

• 時(shí)
• 時(shí)

由矩陣與向量運(yùn)算規(guī)則可知：

則：

可以解出

，

因此變換矩陣

可以表示為：

PS：投影矩陣還有其他推導(dǎo)和表示形式，使用參數(shù)不同但效果相同。

整個(gè)投影變換包含兩個(gè)部分：

• (透視除法)

若投影變換前的點(diǎn)

的深度值(z)為0，則進(jìn)行透視除法時(shí)會(huì)出現(xiàn)除0的情況，為了避免除0，必須在透視除法之前對(duì)穿過w=0平面的圖元進(jìn)行裁剪，而在透視除法之前的空間就被稱為齊次裁剪空間。

在齊次裁剪空間中位于view frustum內(nèi)的點(diǎn)

滿足:

由于每個(gè)頂點(diǎn)的z值不同，所以圖元中每個(gè)頂點(diǎn)在齊次裁剪空間中的clip volume大小也完全不同。

e. 屏幕空間(Screen Space)

最后位于view frustum內(nèi)的圖元經(jīng)過了前面一系列變換后，將會(huì)被變換到屏幕空間(2D坐標(biāo)系)中進(jìn)行光柵化。此坐標(biāo)系與上一篇2D光柵化所使用的屏幕空間坐標(biāo)系相同：

此2D坐標(biāo)系以Viewport左上角為原點(diǎn)，處于Viewport中的點(diǎn)

的坐標(biāo)范圍為：

可以通過如下變換將NDC空間內(nèi)的點(diǎn)

變換到屏幕空間中(由于screen space的y軸與NDC space 的y軸相反，所以需要反轉(zhuǎn)y軸)：

f. 坐標(biāo)系變換總覽

---

3. 3D光柵化

3D光柵化發(fā)生在圖元被變換到Screen space之后，因?yàn)檫@里的Screen space與2D的Screen Space完全一致，所以2D的光柵化算法在這里也依然適用。

然而由于圖元經(jīng)過了投影變換，且投影變換為非線性變換，所以不能用簡單的線性插值來獲取fragment的屬性。

投影變換不會(huì)保持相對(duì)距離不變性

如上圖所示，view space中的線段v0v1上兩點(diǎn)

， 在near plane上的投影為點(diǎn) ， 。 ， 中間一點(diǎn) 在near plane上的投影為點(diǎn) 。從圖中可以看出點(diǎn)v到p0，p1的距離比值與點(diǎn)q到s0，s1的距離比值完全不同，投影變換不保持距離不變。

為了執(zhí)行z-buffer算法，需要通過點(diǎn)

獲取到點(diǎn) 的深度值(z)。

點(diǎn)

的深度值可以通過如下方法插值得到：

證明如下：

由于點(diǎn)

為點(diǎn) 在near plane上的投影，因此點(diǎn) 與點(diǎn) 的關(guān)系為：

且

位于 之間，則：

• 式(1)

由點(diǎn)

在 ， 之間， 點(diǎn) 在 ， 之間則有：

帶入式(1)可得:

式(2)

又s0和s1分別為p0和p1在near plane上的投影，則：

帶入式(2)可得：

化簡得：

則：

帶入式(1)可得：

則若View space中三角形

，變換到Screen Space后為三角形 ， 內(nèi)一點(diǎn) 在Screen Space的投影為 內(nèi)的點(diǎn) ，對(duì)三角形 內(nèi)的點(diǎn)(fragment) ,可以通過如下方法取得fragment 在View Space中對(duì)應(yīng)的深度值:

為點(diǎn) 在三角形 內(nèi)的重心坐標(biāo)。

執(zhí)行z-buffer算法時(shí)，若當(dāng)前光柵化的點(diǎn)

(fragment or pixel)的深度值小于z-buffe中點(diǎn) 處對(duì)應(yīng)位置的深度值，則當(dāng)前光柵化的點(diǎn)未被遮擋，可以將點(diǎn) 的深度值寫入到z-buffer，并對(duì) 進(jìn)行著色 (shading)操作。

在對(duì)點(diǎn)進(jìn)行shading時(shí)還需要點(diǎn)的其他屬性值(紋理坐標(biāo)，點(diǎn)的顏色，法線等...)

如上圖已知view space中，三角形兩邊上兩點(diǎn)

和 對(duì)應(yīng)深度值和屬性值分別為， 和 ， ，則線段 內(nèi)一點(diǎn) 的深度值和屬性值為 ， ,由線性插值可知深度值與屬性值存在的關(guān)系為：

式(3)

且點(diǎn)

的深度值與 ， 的深度值存在的關(guān)系為：

帶入式(3)可得：

則 :

可得對(duì)Screen space三角形

內(nèi)一點(diǎn) 的任意屬性插值的公式為：

為點(diǎn) 的重心坐標(biāo)， 分別為 在view space中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的深度值。

PS:可以用這個(gè)方法插值得到

在NDC Space內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的深度值。

整個(gè)3D光柵化算法可以由如下偽代碼表示：

// Local space Triangle tri;// *W ，變換到World Space TransformToWorldSpace(tri, W);// *V ，變換到View Space TransformToViewSpace(tri, V);// *P ，變換到Homogeneous Clip Space TransformToHomogeneousClipSpace(tri, P);// 在Homogeneous Clip Space進(jìn)行裁剪和剔除 Clip(tri);// 除以w分量 ，經(jīng)過透視除法后變換到NDC Space PerspectiveDivide(tri);// 獲取三角形頂點(diǎn)在Screen Space中的坐標(biāo) screen_space_triangle = GetScreenSpacePositon(tri);// 進(jìn)入Screen Space后就可以同2D一樣可以采用Half-Space光柵化算法 {//獲取Screen Space三角形的包圍盒GetBoundingBox(screen_space_triangle, box_min, box_max);//遍歷包圍盒中的fragmentfor (fragment(or pixel) in BoundingBox){//用PrepDotP判斷fragment是否在三角形中，if (fragment in screen_space_triangle){//若fragment在三角形中，則計(jì)算fragment的重心坐標(biāo)用于插值GetBarycentricCoordinates(λ0, λ1, λ2);//插值獲得fragment在View Space中的深度值view_z = GetViewSpaceZ();//再次插值獲得fragment在NDC Space中的深度值ndc_z = GetNDCSpaceZ(view_z);//若當(dāng)前光柵化的fragment的深度值小于Z-Buffer中對(duì)應(yīng)位置的fragment的深度值，則當(dāng)前fragment未被遮擋if (ndc_z < ZBuffer(fragment.pos)){//插值當(dāng)前fragment的屬性(normal,uv...)InterpolatedAttributes(fragment);//著色Shading(fragment);}}} }

光柵化部分的代碼可以參考2D光柵化篇。

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4. 3D裁剪

3D裁剪發(fā)生在齊次裁剪空間。齊次裁剪空間中CVV內(nèi)的點(diǎn)需要滿足一下要求：

可以在裁剪之前對(duì)不在CVV內(nèi)的三角形直接剔除(三個(gè)頂點(diǎn)均不在CVV內(nèi))，只需要對(duì)穿過CVV的三角形進(jìn)行裁剪（裁剪方法與2D裁剪相似）。

CVV由6個(gè)面組成(left，right，top，bottom，near，far)，每個(gè)面將空間分為兩個(gè)區(qū)域，因此可以用6bit二進(jìn)制編碼對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行編碼。對(duì)齊次裁剪空間內(nèi)一點(diǎn)

，若：

• ，則點(diǎn)在left裁剪平面外側(cè)，第一位編碼為1；
• ，則點(diǎn)在right裁剪平面外側(cè)，第二位編碼為1；
• ，則點(diǎn)在bottom裁剪平面外側(cè)，第三位編碼為1；
• ，則點(diǎn)在top裁剪平面外側(cè)，第四位編碼為1；
• ，則點(diǎn)在near裁剪平面外側(cè)，第五位編碼為1；
• ，則點(diǎn)在far裁剪平面外側(cè)，第六位編碼為1；

對(duì)三角形進(jìn)行裁剪時(shí)，先根據(jù)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的Clip Code判斷三角形與裁剪平面的關(guān)系，然后再采用Sutherland–Hodgman算法對(duì)三角形進(jìn)行裁剪。

若采用Half-Space光柵化算法則只需要對(duì)near裁剪平面進(jìn)行裁剪即可(防止透視除法時(shí)除0，在near plane上的點(diǎn)w=camera space z=near。由于Half-Space算法只處理三角形包圍盒與Viewport交集內(nèi)的fragment，所以left，right，top，bottom裁剪平面可以不做處理)。

對(duì)齊次裁剪空間內(nèi)的線段

若其穿過near裁剪平面，則其與near裁剪平面的交點(diǎn) 滿足：

即：

由于

位于near裁剪平面上，有 ，可以求出 ，進(jìn)而求出交點(diǎn) 的坐標(biāo)。

下面給出使用Sutherland–Hodgman算法對(duì)穿過near plane的三角形進(jìn)行裁剪的代碼(Sutherland–Hodgman的介紹可以參考2D篇)：

void

其他裁剪平面的處理與near plane相似(更完整的裁剪代碼可以參考我的光柵化項(xiàng)目)

---

到這里為止整個(gè)3D光柵化的流程也就結(jié)束了，有了fragment插值后的屬性即可進(jìn)行光照著色，渲染相關(guān)的內(nèi)容這里就不再提及了。

Tips1：背面剔除(Backface Culling)

根據(jù)使用的光柵化算法的不同可以選擇在不用的坐標(biāo)系中進(jìn)行背面剔除。

如果使用Scan-Line算法，則可以在齊次裁剪空間或者NDC Space進(jìn)行背面剔除，在這兩個(gè)空間中是以相機(jī)觀察方向?yàn)閦軸?？梢杂貌娉饲蟪鋈切蔚拿娣ň€，然后用面法線和z軸做點(diǎn)乘，判斷三角形面是否為背面。

若使用Half-Space算法，則可以在轉(zhuǎn)換到Screen Space之后，光柵化之前做背面剔除?？梢允褂肞repDotP(Edge Function)求三角形的面積，當(dāng)頂點(diǎn)為順時(shí)針時(shí)則PrepDotP大于

0，逆時(shí)針則小于0。可以借此判斷三角形是否為背面。

三角形頂點(diǎn)順時(shí)針和逆時(shí)針排列時(shí)PrepDotP的結(jié)果不同。

Tips2：Top-Left rule

對(duì)于有共享邊的相鄰三角形，會(huì)對(duì)共享邊進(jìn)行重復(fù)光柵化。

共享邊會(huì)重復(fù)光柵化

為了解決共享邊的重復(fù)繪制，可以采用Top-Left rule，對(duì)三角形的top邊和Left邊不進(jìn)行光柵化。

Screen Space y軸向下

對(duì)三角形的任意一條邊V[i]V[(i+1)%3]，若：

• V[(i+1)%3].x-V[i].x >0 且 V[(i+1)%3].y-V[i].y = 0則為top edge(如第二個(gè)三角形的v2v0邊)。
• V[(i+1)%3].y-V[i].y < 0則為left edge。

Top-Left rule可以和PrepDotP結(jié)合起來判斷是否應(yīng)該對(duì)當(dāng)前的fragment進(jìn)行光柵化(fragment 在三角形內(nèi)，且不為top or left edge)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab z变换离散化_用C++编写一个简单的光栅化渲染器：3D篇的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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