New Fibonacci Number

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Description

定義一種新型的Fibonacii?數列： ? F[0] = a F[1] = b F[i] = F[i-1] * F[i-2] (n > 1) ? 請根據給出的a，b，n，求出F[n]的大小。

Input

多組測試數據，處理到文件結束，對于每組測試數據： 輸入三個整數a，b，n（0≤a,b,n≤10^9）

Output

對于每組測試數據輸出F[n]對1000000007取模后的結果，每組輸出占一行。

Sample Input

0 1 0 6 10 2

Sample Output

0 60

Author

周洲 @hrbust

思路：

枚舉一下:

F3=F1^2*F0

F4=F1^3*F0^2

F5=F1^5*F0^3

不難發現，F1和F0的冪是一個斐波那契數列組成的，辣么思路就不難建立了。因為n比較大，所以我們采用矩陣快速冪的方式來求F1和F0的冪分別是多大，其實也就是在求一個斐波那契數列，其遞推式不難推出：

矩陣為：

1 1?

1 0

既然知道了矩陣的構建，那么冪的值也能求出，最后一步就是求F1^冪*F0^冪，然后相乘即可。

這里要注意一個點：

?a^n%mod!=a^(n%mod)%mod;

所以我們要使用歐拉降冪的方法來解決這個問題，所求公式為：

其中phi指的是歐拉函數。

這里1e9+7的phi值為1e9+6，一個很常用的值，這里就不使用歐拉函數來寫了、

AC代碼如下：

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> using namespace std; #define ll long long int typedef struct Matrix {ll mat[2][2]; }matrix; long long mod; matrix A,B; Matrix matrix_mul(matrix a,matrix b) {matrix c;memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));int i,j,k;for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){for(int k=0;k<2;k++){c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];c.mat[i][j]%=mod;}}}return c; } Matrix matrix_quick_power(matrix a,ll k) {matrix b;memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));for(int i=0;i<2;i++)b.mat[i][i]=1;while(k){if(k%2==1){b=matrix_mul(a,b);k-=1;}else{a=matrix_mul(a,a);k/=2;}}return b; } ll quickmi(ll a,ll b) {ll ans=1;a%=mod;while(b>0){if(b%2==1)ans=(ans*a)%mod;b/=2;a=(a*a)%mod;}return ans; } int main() {ll a,b,n;while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n)){mod=1e9+6;A.mat[0][0]=0;A.mat[0][1]=1;A.mat[1][0]=1;A.mat[1][1]=1;if(n==0){printf("%lld\n",a);continue;}if(n==1){printf("%lld\n",b);continue;}B=matrix_quick_power(A,n-2);A.mat[0][0]=1;A.mat[0][1]=1;A.mat[1][0]=0;A.mat[1][1]=0;A=matrix_mul(A,B);mod++;ll aa=quickmi(a,A.mat[0][0]+mod-1);ll bb=quickmi(b,A.mat[0][1]+mod-1);printf("%lld\n",aa*bb%mod);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的hrbust/哈理工oj 1787 New Fibonacci Number【欧拉降幂+矩阵快速幂】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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