待補(bǔ)充

目錄

• 一、行列式：
• • 行列式概念和性質(zhì)
  • 重要行列式
  • 按行（列）展開
  • 行列式公式
  • 克萊姆法則
• 二、矩陣
• • 矩陣的運(yùn)算
  • 矩陣的逆
  • 矩陣的初等變換
  • 矩陣的秩
  • 伴隨矩陣
  • 分塊矩陣
• 三、向量
• • 向量的概念及運(yùn)算
  • 線性組合和線性表示
  • 線性相關(guān)和線性無關(guān)
  • 極大線性無關(guān)組與向量組的秩
  • 向量空間
  • Schmidt正交化
• 四、線性方程組
• • 方程組的表達(dá)形與解向量
  • 解的判定與性質(zhì)
  • 基礎(chǔ)解系
  • 解的結(jié)構(gòu)（通解）
  • 公共解與同解
• 五、特征值與特征向量
• • 矩陣的特征值與特征向量
  • 相似矩陣
  • 矩陣的相似對角化
  • 實對稱矩陣
• 六、二次型
• • 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形
  • 慣性定理及規(guī)范型
  • 合同矩陣
  • 正定二次型與正定矩陣

一、行列式：

行列式概念和性質(zhì)

1、逆序數(shù)： 所有的逆序的總數(shù) ；
2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和 ；
3、行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式）；
（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變 ；
（2）兩行（列）互換，行列式變號 ；
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù) k，等于用數(shù)k乘此行列式 ；
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和 ；
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變 ；
（6）兩行成比例，行列式的值為0 ；

重要行列式

4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積 ；
5、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘

6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

7、n階（n≥2）范德蒙德行列式：

8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：

按行（列）展開

9、按行展開定理：
（1）任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值 ；
（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于 0；

行列式公式

10、行列式七大公式：

克萊姆法則

11、克萊姆法則：

二、矩陣

矩陣的運(yùn)算

1、矩陣乘法注意事項：
（1）矩陣乘法要求前列后行一致；
（2）矩陣乘法不滿足交換律；
（3）

2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣的逆

4、逆的性質(zhì)：

5、逆的求法：

矩陣的初等變換

6、初等行（列）變換定義：
（1）兩行（列）互換；
（2）一行（列）乘非零常數(shù)c;
（3）一行（列）乘 k加到另一行（列）;
7、初等矩陣： 單位矩陣 E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣 ；
8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：
（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣
（2）初等矩陣均為可逆矩陣，會有

矩陣的秩

9、秩的定義： 非零子式的最高階數(shù)；
注：

10、秩的性質(zhì)：

11、秩的求法：
（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；
（2）A 為數(shù)字矩陣：A階梯型(每行第一個非零元素的下面的元素均為0),r(A)=非零行的行數(shù);

伴隨矩陣

12、伴隨矩陣的性質(zhì)：

分塊矩陣

13、分塊矩陣的乘法： 要求前列后行分法相同；
14、分塊矩陣求逆：

三、向量

向量的概念及運(yùn)算

線性組合和線性表示

線性相關(guān)和線性無關(guān)

8、線性相關(guān)注意事項：

9、線性相關(guān)的充要條件：

10、線性相關(guān)的充分條件：

（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)；

（2）部分相關(guān)，則整體相關(guān)；

（3）高維相關(guān)，則低維相關(guān)；

（4）以少表多，多必相關(guān)；

11、線性無關(guān)的充要條件

12、線性無關(guān)的充分條件：

（1）整體無關(guān)，部分無關(guān)；

（2）低維無關(guān)，高維無關(guān)；

（3）正交的非零向量組線性無關(guān)；

（4）不同特征值的特征向量無關(guān)；
13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定

（1）定義法；

（2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)；

極大線性無關(guān)組與向量組的秩

14、極大線性無關(guān)組不唯一 ；
15、向量組的秩 :極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩（矩陣的秩 :非零子式的最高階數(shù)）；

16、極大線性無關(guān)組的求法

向量空間

Schmidt正交化

（2）單位化

四、線性方程組

方程組的表達(dá)形與解向量

解的判定與性質(zhì)

3、齊次方程組：

4、非齊次方程組：

5、解的性質(zhì)

基礎(chǔ)解系

6、基礎(chǔ)解系定義：

7、重要結(jié)論：

8、基礎(chǔ)解系的求法

解的結(jié)構(gòu)（通解）

9、齊次線性方程組的通解（所有解）

10、非齊次線性方程組的通解

公共解與同解

13、重要結(jié)論

五、特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量

3、重要結(jié)論：

4、特征值與特征向量的求法

5、特征方程法

6、性質(zhì)

相似矩陣

矩陣的相似對角化

9、相似對角化定義：


10、相似對角化的充要條件

11、相似對角化的充分條件：

12、重要結(jié)論：

實對稱矩陣

13、性質(zhì)

六、二次型

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩陣形式（常用）：
2、標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項，即
這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對角線）；

3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：

慣性定理及規(guī)范型

4、定義：

正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；

負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項的個數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；

規(guī)范型：規(guī)范型中系數(shù)1的個數(shù)等于正特征值的個數(shù) (或二次型正慣性指數(shù))，規(guī)范型中系數(shù)-1的個數(shù)等于負(fù)特征值的個數(shù) (或二次型負(fù)慣性指數(shù))。不考慮+1， -1 順序的情況下，規(guī)范型是唯一的；

5、慣性定理： 二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。
注：
（1）由于正負(fù)慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一；

（2） p=正特征值的個數(shù)， q =負(fù)特征值的個數(shù)， p+q=非零特征值的個數(shù) =r(A)；

合同矩陣

注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價；

正定二次型與正定矩陣

總結(jié)

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