由有理函數的廣義積分引入，談談復變函數論中的留數

$${\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{1?x^6}dx$$
??沒接觸過復變函數的童鞋們們遇到這道積分，多半是將分母因式分解并展開成幾個不同的分式分別積分。這種方法雖然可行，但卻非常繁瑣，需要解題者對此種方法十分熟練。下面我們先用這種方法進行積分。接著再通過介紹復變函數中的留數，對此題作出十分簡便的解答。

經典方法

• 將被積函數分解
  $$\frac{1}{1?x^6}=\frac{A}{1?x}+\frac{B}{1+x}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}+\frac{Ex+F}{x^2?x+1}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  式(1) × (x-1)，再將 x=1 代入，得 A = 1/6；
  式(1) × (x+1)，再將 x=-1 代入，得 B = 1/6；
  式(1) 中，將 x= 0 代入，得 D+F = 2/3；
  接下來再計算得到 D = F = 1/3，C = 1/6，D = -1/6。
  以上計算步驟中必須小心，一步錯則全盤皆輸。
  $$I={\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{1?x^6}dx=\frac{1}{6}{\int }_{?\infty }^{\infty }(\frac{1}{1?x}+\frac{1}{1+x}+\frac{x+2}{x^2+x+1}+\frac{?x+2}{x^2?x+1})dx\text{\hspace{1em}(2)}$$
• 分別計算各個分式的積分
  $$\begin{gathered} {\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{1?x}dx=\underset{\delta \to 0+and\xi \to +\infty }{\lim }({\int }_{?\xi }^{1?\delta }\frac{1}{1?x}dx+{\int }_{1+\delta }^{\xi }\frac{1}{1?x}dx)=\underset{\delta \to 0+and\xi \to +\infty }{\lim }(\ln \frac{1+\xi }{\delta }+\ln \frac{?\delta }{1?\xi }) \\ =\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\ln \frac{1+\xi }{\xi ?1}=0 \end{gathered}$$
  $${\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{1+x}dx=?{\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{1?u}du=0(令x=?u)\text{\hspace{1em}(3)}$$
  上式亦可從對稱性以及奇偶性的角度分析：
  由于$f(x)=\frac{1}{x}$是奇函數，故而${\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{x}dx=0$,而$\frac{1}{x\pm 1}$是$\frac{1}{x}$平移后的函數，\積分上下限隨著平移，積分值不變。而$\pm \infty \pm 1$依舊是$\pm \infty$
  $$\begin{gathered} {\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{x+2}{x^2+x+1}dx={\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}dx+\frac{3}{2}{\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}dx \\ =\frac{1}{2}{\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}d[(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}]+\frac{3}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}\pi \\ =\frac{1}{2}\times 0+\sqrt{3}\pi =\sqrt{3}\pi \text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
  同理可得：$${\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{?x+2}{x^2?x+1}dx=\sqrt{3}\pi \text{\hspace{1em}(5)}$$(其實不過就是把③中的x換成-x而已，結果一致)
  最終有：$$I={\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{1?x^6}dx=\frac{1}{6}(0+0+\sqrt{3}\pi +\sqrt{3}\pi )=\frac{\pi }{\sqrt{3}}\text{\hspace{1em}(6)}$$
  ??到這里，我們可以看到，這個積分形式是如此的簡潔，卻用了如此繁瑣丑陋的有理函數積分方法求解，數學之美焉存？接下來本文將介紹復變函數中的留數，用求留數的方法輕松、簡潔而美麗地解出此積分！Let’s go!

留數

• show time！
  ??這里直接上解法，先讓童鞋們對使用留數求解此積分時的簡潔與美麗有個直觀的認識，背景知識以及相關定理的推導將在下一篇文章中給出。想了解更多的童鞋可以自行找相關資料學習。
  把$f(x)=\frac{1}{1?x^6}$中的自變量$x(x\in R)$換成復數$z(z\in C)$，$f(z)=\frac{1}{1?z^6}$即為一復變函數。
  令$1?z^6=0$，即$z^6=e^{i?0}$,可得$z=e^{i\frac{0+2k\pi }{6}},k=0,1,2,3,4,5，$這些是f函數f(z)的奇點（后文會介紹到這些是f(z)的一階極點）
  則有:
  $$f(z)=\frac{1}{1?z^6}=?\frac{1}{(z?1)(z?e^{i\frac{\pi }{3}})(z?e^{i\frac{2\pi }{3}})(z+1)(z?e^{i\frac{4\pi }{3}})(z?e^{i\frac{5\pi }{3}})}$$ $$\begin{gathered} I={\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{1?x^6}dx=2\pi i[Resf(z){|}_{z=e^{i\frac{\pi }{3}}}+Resf(z){|}_{z=e^{i\frac{2\pi }{3}}}]+\pi i[Resf(z){|}_{z=1}+Resf(z){|}_{z=?1}] \\ =2\pi i[\frac{1}{(1?z^6{)}^{{}^{\prime }}}{|}_{z=e^{i\frac{\pi }{3}}}+\frac{1}{(1?z^6{)}^{{}^{\prime }}}{|}_{z=e^{i\frac{2\pi }{3}}}]+\pi i[\frac{1}{(1?z^6{)}^{{}^{\prime }}}{|}_{z=1}+\frac{1}{(1?z^6{)}^{{}^{\prime }}}{|}_{z=?1}] \\ =?\frac{2\pi i}{6}[\frac{1}{z^5}{|}_{z=e^{i\frac{\pi }{3}}}+\frac{1}{z^5}{|}_{z=e^{i\frac{2\pi }{3}}}]?\frac{\pi i}{6}[\frac{1}{z^5}{|}_{z=1}+\frac{1}{z^5}{|}_{z=?1}] \\ =?\frac{\pi i}{3}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i?\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)?\frac{\pi i}{6}(1?1) \\ =\frac{\pi }{\sqrt{3}}\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$
  上式中$Resf(z){|}_{z=z_0}$表示$f(z)$在$z=z_0$處的留數，至于為何選和1、-1，而不選$e^{i\frac{4\pi }{3}}$和$e^{i\frac{5\pi }{3}}$，是因為$e^{i\frac{\pi }{3}}$、$e^{i\frac{2\pi }{3}}$在復平面的上半平面上，1、-1在復平面的實軸上，而$e^{i\frac{4\pi }{3}}$、$e^{i\frac{5\pi }{3}}$在復平面的下半平面上。具體原因將在下一篇文章詳細介紹和推導。

結語

??怎么樣，留數這個東西是不是很新奇、很簡潔美麗！下一篇文章中，我將介紹復變函數的基本知識、重要定理，詳細介紹留數相關定理，推導出上文中第二種解法中的依據。敬請期待。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的由有理函数的广义积分引入，谈谈复变函数论中的留数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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