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复变函数 —— 4. 什么是调和函数

發(fā)布時(shí)間：2023/12/10 编程问答 32 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了复变函数 —— 4. 什么是调和函数小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

文章目錄

1. 調(diào)和函數(shù)的定義
- 例1.
- 例2.

1. 調(diào)和函數(shù)的定義

在《淺談矢量場(chǎng) —— 1. 梯度、散度與拉普拉斯算子》這篇文章中提到過「拉普拉斯算子」，它的表達(dá)形式一般如下：

$Δ=?2=?2?x2+?2?y2+?2?z2\Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

在物理上，它是 $n$ 維歐幾里德空間中的一個(gè)二階微分算子，定義為梯度 $?f\nabla f$ 的散度 $???f\nabla \cdot \nabla f$ 。注意，通常表示梯度時(shí)，我們使用 $?f\nabla f$ ，而表示散度時(shí)，我們習(xí)慣使用 $??f\nabla \cdot f$ ，旋度則一般表示為 $?×f\nabla \times f$ 。所以，拉普拉斯算子的二階形式，經(jīng)常被簡(jiǎn)寫為 $?2f\nabla^2 f$ ，很少使用 $Δf\Delta f$ 形式，因?yàn)檫@容易與微量弄混淆，所以現(xiàn)在一些較新的出版論文或教材里，已經(jīng)較多的使用 $?2\nabla^2$ 替換了原有的 $Δf\Delta f$ 形式。

而「調(diào)和函數(shù)」的形式可以從「拉普拉斯算子」出發(fā)，被認(rèn)為是當(dāng) 「拉普拉斯算子」等于0的特殊情況的一類函數(shù)，即：

$?2φ=?2φ?x2+?2φ?y2+?2φ?z2=0\nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0$

而且一般對(duì)于復(fù)數(shù)域來(lái)說，我們只討論到實(shí)數(shù)域和虛數(shù)域兩個(gè)維度，所以：

$?2φ=?2φ?x2+?2φ?y2=0\nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$

我個(gè)人感覺，「調(diào)和函數(shù)」這種函數(shù)形式，對(duì)于研究物理「場(chǎng)」是一種特別重要的工具，但是說實(shí)話在數(shù)學(xué)范疇上，是比較少見到具體應(yīng)用的。

那么對(duì)于一個(gè)復(fù)變函數(shù) $f (z) = u + j v$ 來(lái)說，如果它自身滿足

${?2u=0?2v=0\left \{ \begin{matrix} \nabla^2 u = 0 \\ \nabla^2 v = 0 \end{matrix} \right .$

那么我們稱其為調(diào)和函數(shù)。

現(xiàn)在我們來(lái)看一些例題

例1.

函數(shù) $f (z) = u + j v$ 在區(qū)域 $D$ 內(nèi)解析，則下列命題中錯(cuò)誤的是________
A. 函數(shù) $f (z)$ 在區(qū)域 $D$ 內(nèi)可導(dǎo)；
B. 函數(shù) $u$ 、 $v$ 時(shí)區(qū)域 $D$ 的調(diào)和函數(shù)；
C. 函數(shù) $u$ 、 $v$ 在區(qū)域 $D$ 內(nèi)滿足柯西黎曼方程；
D. 函數(shù) $u$ 、 $v$ 在區(qū)域 $D$ 內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)。

解：這題主要考察對(duì)復(fù)變函數(shù)相關(guān)概念的掌握，我們現(xiàn)在一一分析：

首先對(duì)于答案A，由于題干給出了在 $D$ 內(nèi)解析，那它必然在 $D$ 內(nèi)處處可導(dǎo)（對(duì)這問題不熟悉的朋友，可以看《復(fù)變函數(shù) —— 3. 什么是解析函數(shù)》），并且可以直接得到 $u$ 、 $v$ 必然也滿足柯西黎曼方程，所以C也是正確的。

接下來(lái)對(duì)于B來(lái)說，由于A和C正確，所以對(duì)于復(fù)變函數(shù)的一階導(dǎo)必然是一個(gè)復(fù)常數(shù) $a$

$?f=a\nabla f = a$

這是因?yàn)槿绻f復(fù)變函數(shù)在點(diǎn) $(x, y)$ 存在導(dǎo)數(shù)，也就意味著當(dāng) $z$ 趨于 $z_o$ 時(shí)， $f (z)$ 有極限a存在，即 $limz→zof(z)?f(zo)z?zo=alim_{z \to z_o} \frac{f(z) - f(z_o)}{z - z_o} = a$ 。注意這里的 $a$ 必須是一個(gè)確定的「復(fù)常數(shù)」，即 $3 ? j$ 或者 $1 / 4 j$ 這樣，而不是 $x ? j$ 這種類型的。

所以如果我們?cè)賹?duì)「復(fù)常數(shù)」 $a$ 取導(dǎo)，它一定等于0，所以在滿足區(qū)域 $D$ 內(nèi)解析的同時(shí)， $u$ 、 $v$ 也同時(shí)滿足調(diào)和函數(shù)的定義要求，B因此也是正確的；這樣錯(cuò)誤的只有D了。

例2.

驗(yàn)證 u(x, y) = x^2 - y^2 + xy 是調(diào)和函數(shù)，并求相應(yīng)的解析函數(shù)， $f (z) = u + j v$ ，使 $f (0) = 0$ 。

解：驗(yàn)證調(diào)和函數(shù)，首先要求上式的二階導(dǎo)，所以

$??x?(x2?y2+xy)?x=??x?(2x+y)=2\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot (2x + y) = 2$

$??y?(x2?y2+xy)?y=??y?(?2y+x)=?2\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \cdot (-2y + x) = -2$

由于 $2 ? 2 = 0$ ，所以 $u$ 是調(diào)和函數(shù)。接下來(lái)在已知實(shí)數(shù)域函數(shù) $u$ 的前提下，我們需要推導(dǎo)出虛數(shù)域的函數(shù) $v$ ，先從CR方程，可以得到 $?u?x=?v?y\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ ，注意這兩個(gè)都是導(dǎo)數(shù)形式，所以要想得到原函數(shù)，可以把導(dǎo)數(shù)代入積分中，即：

$\int v' dy = \int u' dy$

$u^{'}$ 其實(shí)已經(jīng)在驗(yàn)證調(diào)和函數(shù)過程中得到，所以直接代入

$\int (2x + y) dx = 2xy + \frac{1}{2} y^2 + C(x)$

于是得到 $?v?x=2y+C′(x)\frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x)$ ，然后再代入CR方程， $?u?y=??v?x\frac{\partial u}{\partial y}= - \frac{\partial v}{\partial x}$ ，

$\to C'(x) = -x$

然后求 $C (x)$ 的原函數(shù)，通過 $\int -x dx = -\frac{1}{2} x^2 + C$ ，最終 $\frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C$ ，然后對(duì)于 $f (z) = u + j v$ ，可得到：

$x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C)$

然后帶入條件 $f (0) = 0$ ，且 $z = x + j y$ 可知 $x = y = 0$ ，于是

$x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) \Rightarrow jC = 0 \Rightarrow C= 0$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的复变函数 —— 4. 什么是调和函数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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