引言

　　【比較官方的簡(jiǎn)介】數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)以概率論為基礎(chǔ)，應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。它研究怎樣以有效的方式收集、 整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問(wèn)題作出正確的推斷和預(yù)測(cè)，為采取正確的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析。

　　【簡(jiǎn)單的講】，就是通過(guò)樣本分析來(lái)推斷整體。

　　【意義或者重要性】在這個(gè)大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)是非常重要的。怎樣挖掘數(shù)據(jù)內(nèi)部的規(guī)律或者隱含的信息，變得尤為重要。當(dāng)時(shí)我們是不可能獲得整體的數(shù)據(jù)的，所以我們只能通過(guò)抽取樣本，進(jìn)而通過(guò)樣本來(lái)推斷整體的規(guī)律。

　　【目錄】

　　第一章、樣本與統(tǒng)計(jì)量

　　　　一、引言：

　　　　二、總體與樣本：

　　　　三、統(tǒng)計(jì)量：

　　　　四、常用分布：

　　第二章、參數(shù)估計(jì)

　　　　一、引言：

　　　　二、點(diǎn)估計(jì)——矩估計(jì)法：

　　　　三、點(diǎn)估計(jì)——極大似然估計(jì)：

　　　　四、估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

　　　　五、區(qū)間估計(jì)——正態(tài)分布

　　　　　　1、引入

　　　　　　2、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

　　　　　　3、兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)

　　　　六、區(qū)間估計(jì)——非正態(tài)分布：

　　　　　　1、大樣本正態(tài)近似法

　　　　　　2、二項(xiàng)分布

　　　　　　3、泊松分布

　　第三章、假設(shè)檢驗(yàn)

　　　　一、引言：

　　　　二、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

　　　　　　1、單正態(tài)總體 N(μ, σ²)均值 μ?的檢驗(yàn)

　　　　　　　　（1） 雙邊檢驗(yàn) H₀: μ = μ₀；H₁: μ≠μ₀?

　　　　　　　　（2） 單邊檢驗(yàn) H₀: μ = μ₀；H₁: μ>μ₀

　　　　　　2、兩個(gè)正態(tài)總體 N(μ₁, σ₁²) 和? N(μ₂, σ₂²)均值的比較

　　　　　　　　（1） 雙邊檢驗(yàn) H₀:?μ₁?=?μ₂；H₁:?μ₁≠μ₂?

?　　　　　　 ?　（2） 單邊檢驗(yàn) H₀:?μ₁?>=?μ₂；H₁:?μ₁<μ₂?

　　　　　　　　（3） 單邊檢驗(yàn) H₀:?μ₁?<=?μ₂；H₁:?μ₁>μ₂?

　　　　三、正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)

　　　　　　1、單個(gè)正態(tài)總體方差的?χ2 檢驗(yàn)

　　　　　　　　（1） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?≠σ₀²

　　　　　　　　（2） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?>σ₀²

　　　　　　　　（3)? H₀:?σ²?≤σ₀²；H₁:?σ²?>?σ₀²?(同2.)

　　　　　　2、兩正態(tài)總體方差比的?F 檢驗(yàn)

　　　　　　　　　(1).? H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁: σ₁²?≠ ?σ₂².

　　　　　　　　?（2） H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

　　　　　　　　?（3） H₀: σ₁²?≤?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

?　　第四章、回歸分析

　　　　一、引言

二、一元線性回歸 1、一元線性回歸模型 　　　　　　2、回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)： 　　　　　　3、回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 　　　　　　　　（1）F 檢驗(yàn) 　　　　　　　　（2）T?檢驗(yàn) 　　　　 ?　　　?（3）相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

　　　　　　4、估計(jì)與預(yù)測(cè)

　　　　　　　　（1）?E(y₀)的估計(jì)

　　　　　　　　（2）?y₀的預(yù)測(cè)區(qū)間

?　　　　三、廣義線性回歸模型

?

　　　　 四、非線性回歸模型

?

?

第四章、回歸分析

　　一、引言：

　　變量間的兩類(lèi)關(guān)系：十九世紀(jì)，英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓研究發(fā)現(xiàn)：

? ? ?其中x表示父親身高， y 表示成年兒子的身高（單位：英寸，1英寸=2.54厘米）。這表明子代的平均高度有向中心回歸的意思，使得一段時(shí)間內(nèi)人的身高相對(duì)穩(wěn)定。之后回歸分析的思想滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的其它分支中。

? 回歸分析處理的是變量與變量間的關(guān)系。變量間常見(jiàn)的關(guān)系有兩類(lèi)：確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系。 ? 變量間的相關(guān)關(guān)系不能用完全確切的函數(shù)形式表示，但在平均意義下有一定的定量關(guān)系表達(dá)式，尋找這種定量關(guān)系表達(dá)式就是回歸分析的主要任務(wù)。 ? 回歸分析便是研究變量間相關(guān)關(guān)系的一門(mén)學(xué)科。它通過(guò)對(duì)客觀事物中變量的大量觀察或試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)，去尋找隱藏在數(shù)據(jù)背后的相關(guān)關(guān)系，給出它們的表達(dá)形式——回歸函數(shù)的估計(jì)。 二、一元線性回歸 1、一元線性回歸模型

　　設(shè)y與x間有相關(guān)關(guān)系，稱(chēng)x為自變量(預(yù)報(bào)變量)，y為因變量(響應(yīng)變量)，在知道x取值后，y有一個(gè)分布p(y|x)，我們關(guān)心的是y的均值E(Y|x)：

　　　　

　　這便是y關(guān)于x的理論回歸函數(shù)——條件期望，也就是我們要尋找的相關(guān)關(guān)系的表達(dá)式。通常，相關(guān)關(guān)系可用下式表示：y =f (x)+?ε，其中ε是隨機(jī)誤差，一般假設(shè)ε ~N(0,σ²)。

　　進(jìn)行回歸分析首先是回歸函數(shù)形式的選擇。當(dāng)只有一個(gè)自變量時(shí)，通常可采用畫(huà)散點(diǎn)圖 的方法進(jìn)行選擇。

　　【例1】合金的強(qiáng)度y (×10⁷Pa) 與合金中碳的含量x (%) 有關(guān)。為研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系。首先是收集數(shù)據(jù)，我們把收集到的數(shù)據(jù)記為(x_i,y_i) ,i=1,2, ... , n。本例中，我們收集到12組數(shù)據(jù)，列于表1中

　　　　

　　為找出兩個(gè)量間存在的回歸函數(shù)的形式，可以畫(huà)一張圖：把每一對(duì)數(shù)(x_i,y_i)看成直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，在圖上畫(huà)出n個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)這張圖為散點(diǎn)圖，見(jiàn)圖1

　　　　

　　從散點(diǎn)圖我們發(fā)現(xiàn)12個(gè)點(diǎn)基本在一條直線附近，這說(shuō)明兩個(gè)變量之間有一個(gè)線性相關(guān)關(guān)系，這個(gè)相關(guān)關(guān)系可以表示為

??????????????????????? y =Β₀+ Β₁x+ ε? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)

??? 這便是y關(guān)于x的一元線性回歸的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。通常假定

??????????????????????? E(ε) =0,? Var(ε) = σ^2???????????????????????????????????????????????????? ?(3)

??? 在對(duì)未知參數(shù)作區(qū)間估計(jì)或假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，還需要假定誤差服從正態(tài)分布，即

??????????????????????? y ~N(Β₀+?Β₁x?, σ²?)???????????????????????????????? (4)

　　顯然，假定(4) 比 (3) 要強(qiáng)。

　　由于 Β₀, Β₁均未知，需要我們從收集到的數(shù)據(jù)(x_i,y_i)，i=1,2,…,n，出發(fā)進(jìn)行估計(jì)。在收集數(shù)據(jù)時(shí)，我們一般要求觀察獨(dú)立地進(jìn)行，即假定y₁, y₂,…, y_n,相互獨(dú)立。綜合上述諸項(xiàng)假定，我們可以給出最簡(jiǎn)單、常用的一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型：

　　　　

　　由數(shù)據(jù)(x_i,y_i)，i=1,2,…,n，可以獲得Β₀, Β₁的估計(jì) ，稱(chēng)

　　　　

　　為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為回歸方程，其圖形稱(chēng)為回歸直線。給定x=x₀后，?稱(chēng)為回歸值（在不同場(chǎng)合也稱(chēng)其為擬合值、預(yù)測(cè)值）。

　　2、回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)：

　　　　

　　　　

　　　　

　　【例2】使用例1中合金鋼強(qiáng)度和碳含量數(shù)據(jù)，我們可求得回歸方程，見(jiàn)下表.

　　　　

　　【性質(zhì)】關(guān)于最小二乘估計(jì)的一些性質(zhì)羅列在如下定理之中

　　　　

　　　　

　　【證明】定理1證明如下：

　　

　　

　　

?　　3、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

　　在使用回歸方程作進(jìn)一步的分析以前，首先應(yīng)對(duì)回歸方程是否有意義進(jìn)行判斷。如果Β₁=0，那么不管x如何變化，E(y)不隨x的變化作線性變化，那么這時(shí)求得的一元線性回歸方程就沒(méi)有意義，稱(chēng)回歸方程不顯著。如果Β₁≠0，E(y)隨x的變化作線性變化，稱(chēng)回歸方程是顯著的。

??? 綜上，對(duì)回歸方程是否有意義作判斷就是要作如下的顯著性檢驗(yàn)：H₀：Β₁=0????? vs????? H₁： Β₁≠0 ?。拒絕H₀表示回歸方程是顯著的。

　　在一元線性回歸中有三種等價(jià)的檢驗(yàn)方法，下面分別加以介紹。

　　（1）F 檢驗(yàn):采用方差分析的思想，我們從數(shù)據(jù)出發(fā)研究各y_i不同的原因。

　　

?

　　【證明】公式（13）證明如下：

　　

　　【推論】

　　

?

?　　關(guān)于S_R 和 S_e所含有的成分可由如下定理說(shuō)明

　　

　　進(jìn)一步，有關(guān)SR 和 Se的分布，有如下定理。

　　

　　如同方差分析那樣，我們可以考慮采用F比作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

　　

　　【例3】在合金鋼強(qiáng)度的例2中，我們已求出了回歸方程，這里我們考慮關(guān)于回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。

　　

?

　　（2）T?檢驗(yàn)：

　　對(duì)H₀ ： Β₁ =0的檢驗(yàn)也可基于t分布進(jìn)行。

　　

　　

　　

　　（3）相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

　　一元線性回歸方程是反映兩個(gè)隨機(jī)變量x與y間的線性相關(guān)關(guān)系，它的顯著性檢驗(yàn)還可通過(guò)對(duì)二維總體相關(guān)系數(shù)r的檢驗(yàn)進(jìn)行。（相關(guān)系數(shù)的概念可見(jiàn)【第一章------>三、統(tǒng)計(jì)量】）

　　

　　

　　

　　【總結(jié)】在一元線性回歸場(chǎng)合，三種檢驗(yàn)方法是等價(jià)的：在相同的顯著性水平下，要么都拒絕原假設(shè)，要么都接受原假設(shè)，不會(huì)產(chǎn)生矛盾。? F 檢驗(yàn)可以很容易推廣到多元回歸分析場(chǎng)合，而其他二個(gè)則否，所以，F檢驗(yàn)是最常用的關(guān)于回歸方程顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)方法。

?　　4、估計(jì)與預(yù)測(cè)：

　　當(dāng)回歸方程經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)是顯著的后，可用來(lái)做估計(jì)和預(yù)測(cè)。這是二個(gè)不同的問(wèn)題：

　　

　　（1）?E(y₀)的估計(jì)

　　在x=x₀時(shí)，其對(duì)應(yīng)的因變量y₀是一個(gè)隨機(jī)變量，有一個(gè)分布，我們經(jīng)常需要對(duì)該分布的均值給出估計(jì)。

　　

　　

　　

　　（2） y₀的預(yù)測(cè)區(qū)間

　　

　　【詳細(xì)過(guò)程】

　　

　　

　　

　　

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?　　三、廣義線性回歸模型

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　　 四、非線性回歸模型

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等数理统计（四）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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