1. 二次規劃的由來

在1940年左右（1939年 Leonid Kantorovich 總結發表了線性規劃）， 線性規劃LP被提出來， 10年后， QP作為Non-Linear Programming, NLP被總結發表。

顧名思義， 二次規劃就是把一次規劃（線性規劃， LP）的目標公式擴展到二次函數：

這里 Q 是對稱矩陣（Symmetric Matrix）

那么這樣修改目標之后， 會帶來什么改變？

首先從圖上來看， 最大的變化就是二次帶來等高線（ contour line ）不再是直線， 這樣使得最值點不再是限制多面體的角上，可能是邊上，或者內部。

同時， 這樣改變之后有什么好處？

QP第一次統一了線性規劃LP和最小二乘法LS,

歐式距離： 最小二乘法，LS Hamitton 距離，或者Chebyshev距離： 線性回歸， LP

這樣，基于利用QP就可以統一描述不同距離公式下的回歸的參數求解。

前面， 我們說了QP是LP和LP在不同角度的擴展：

QP是LP的擴展， LP是QP在二次項系數為0時候（Q=0）的特例。

QP是LS的擴展， LS是QP在一次項系數為0， 二次項系數為I（單位陣），并且沒有限制的時候的特例：

2. KKT條件

3. 二次規劃的求解

一般來說， QP的求解主要有兩大方面的限制（如下圖所示）：
首先是Q矩陣， Q矩陣是不是半正定（Semi-Definite）的， 如果不是意味著， 目標函數是非凸（non-convex）的情況。
其次是條件關系， 是不是全部是等式（eqality-constrained）， 如果是的話， 就是一個可以直接求解的KKT系統（KKT System）， 否則的話，就是一般情況下的Convex QP問題。

總結：

對于二次規劃問題，本質上就是優化問題，無非就是求解二次目標函數，使其在線性約束的條件下達到最優的問題。因為數學庫中一般都有現成的求解器，比如apllo中二次規劃使用的是osqp求解器，所以在實際工程中需要著重考慮的是：不是如何對二次規劃進行求解，而是如何進行建模。

參考文獻：

二次規劃

一步一步走向錐規劃 - QP

二次型的意義是什么？有什么應用？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的轨迹规划-二次规划QP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。