本文是Gilbert Strang的線性代數(shù)導(dǎo)論課程筆記。課程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html?? 第二十課時：克萊姆法則、逆矩陣、體積 本文介紹行列式的應(yīng)用，行列式用一個數(shù)值就包含所有信息。
先回顧上講的內(nèi)容：行列式的代數(shù)余子式表達式：
求逆矩陣公式 A的求逆矩陣公式：A^-1=（1/detA）*C^T?。（C是由代數(shù)余子式組成的矩陣） C^T是原矩陣A的伴隨矩陣，伴隨矩陣11元素就是原矩陣11元素的代數(shù)余子式，由于轉(zhuǎn)置的緣故，伴隨矩陣12的元素是原矩陣21元素的代數(shù)余子式。 公式的證明： 只需檢驗A乘以它的上述公式的逆是否等于單位陣，即：AC^T=（detA）I，?AC^T的計算結(jié)果是，主對角線上的元素均為detA（因為元素和代數(shù)余子式都來自同一行，根據(jù)行列式的代數(shù)余子式公式可得），非對角線上的元素均為0（矩陣某行乘以另一行的代數(shù)余子式結(jié)果為0，比如A的第一行乘以最后一行的代數(shù)余子式，這相當(dāng)于（比方）求一個特殊矩陣的行列式，特殊矩陣的第一行和最后一行相等（某兩行相等的特殊矩陣的行列式必為0）。）。 （我們記得以前矩陣的逆是如何求的，通常把矩陣變?yōu)樵鰪V矩陣，然后將左邊變?yōu)閱挝痪仃?#xff0c;右邊就變?yōu)榱四婢仃?#xff09;
克萊姆法則Cramer RULE 觀察C^Tb，C^T中每行代數(shù)余子式乘以向量b中的數(shù)字，讓人聯(lián)想這是在求某個矩陣B的行列式，如下： B1矩陣是一個：用向量b替換矩陣A的第一列得到的矩陣，因為這樣的矩陣求行列式將得到C^Tb第一行乘以b的值（C^Tb的第一行是A矩陣的第一列的代數(shù)余子式，這個值正是detB1）。Bj是一個用向量b替換矩陣A的第j列得到的矩陣。 克萊姆法則的作用主要是提供一種代數(shù)表達式，而不是一種算法，不建議使用它來計算。
通過行列式求體積 行列式的值等于某幾何體的體積 待證明命題：行列式的絕對值等于一個箱子（平行N面體）的體積。3×3的行列式是三維空間箱子（平行6面體，由三條邊覺得箱子的樣子、體積）的體積。 當(dāng)A=I時，命題明顯成立，箱子是單位立方體。 當(dāng)A=Q為正交矩陣（非I時）時，三個列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交基。箱子通過行向量還是列向量定義都無所謂，因為轉(zhuǎn)置的行列式不變，正交矩陣對于的箱子是什么形狀？箱子還是單位立方體，它和單位矩陣的立方體的區(qū)別是它被旋轉(zhuǎn)了（立方體的形狀大小不變，只是位置隨著標(biāo)準(zhǔn)正交基的位置旋轉(zhuǎn)了）。Q^TQ=I，detQ^TQ=detI=detQ^T?* detQ =?(detQ)^2?= 1，因此detQ=1或-1。 當(dāng)箱子為長方體時，假設(shè)是由兩個單位立方體組成的，此時體積是原來的2倍，對于矩陣A的第一行是原來的兩倍，根據(jù)行列式性質(zhì)3(1)，那么行列式也是原來的2被。 性質(zhì)3(2)告訴我們，這個性質(zhì)是推出普通的箱子的體積也是行列式的絕對值的線索，有待證明。 對于2維平面，平行四邊形的面積為行列式。三角形的面積就為它的一半。 假設(shè)三角形的頂點并不在原點上，它的面積如下，求如下矩陣的行列式時，可以先對它進行消元將前兩行變成： (x2-x1，y2-y1，0)，(x3-x2，y3-y2，0)，那么這個行列式就是求第三列的代數(shù)余子式，實際上就是求矩陣(x2-x1，y2-y1?),(x3-x2，y3-y2)的行列式。這兩個向量表示這兩條邊。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数导论20——克莱姆法则、逆矩阵、体积的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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