線性代數(shù)中的克萊姆法則與幾何解釋

克萊姆法則研究了方程組的系數(shù)與方程組解的存在性與唯一性關(guān)系;
與其在計(jì)算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價(jià)值-百度百科-克萊姆法則

• Cramer’s Rule（克萊姆法則）是線性代數(shù)理論中的基礎(chǔ)定理之一
• 克萊姆法則適用于求解變量和方程數(shù)目相等的線性方程組
• 理解克萊姆法則，可以幫助我們加深對(duì)線性方程組的理解

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文章目錄

• **線性代數(shù)中的克萊姆法則與幾何解釋**
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  • 克萊姆法則的局限性
  • 注記
  • 參考文獻(xiàn)

##記號(hào)說明與克萊姆法則的定義
本文中記號(hào)說明：

• A： n行n列矩陣；
• $x$：未知n維列向量；
• $b$：已知n維列向量
• $I$：n維單位矩陣
• $A(i)\leftarrow b$ 表示矩陣A第 i 列被列向量 b 替換掉的矩陣

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克萊姆法則：
A$x$=$b$ 齊次線性方程組
A 非奇異 ($|A|=0$ )
有 $x_i=\frac{|A(i)\leftarrow b|}{|A|}$，其中 A(i) 表示矩陣 A 的第i列（行列式 |A| 的定義可見線性代數(shù)或百度百科：行列式）

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##從分塊矩陣角度來看克萊姆法則

考慮一個(gè)新的矩陣$I(i)\leftarrow x$，利用分塊矩陣乘法，有
$$A[I(i)\leftarrow x]=A(i)\leftarrow b.$$
等式兩邊同時(shí)取行列式，得
$$|A||I(i)\leftarrow x|=|A(i)\leftarrow b|.$$
而$|I(i)\leftarrow x|=x_i$(以第 $i$ 行展開即可), 因此 當(dāng) A 非奇異時(shí)， $x_i=\frac{|A(i)\leftarrow b|}{|A|}.$

##從向量代數(shù)角度來看克萊姆法則
當(dāng)n=2時(shí)， 有A$x$=$b$，具體形式是二元線性方程組：
$$\{\begin{array}{lr}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1& \\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2& \end{array}$$
其中$|A|=0$，即$ a_{11} a_{22}- a_{12} a_{21} \neq 0$. 將其寫成向量的形式，
$$x_1{a}_1+x_2{a}_2=b\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$a_1,a_2$ 為矩陣的兩列。

設(shè) $v = \begin{pmatrix} a_{22}\ -a_{12} \end{pmatrix}\ $， 則 $a_2?v=0$。
在 (1) 式兩端同時(shí)取關(guān)于向量 $v$ 的數(shù)量積，得
$$x_1{a}_1?v=b?v,$$
即有，

$$x_1=\frac{b?v}{a_1?v}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}=\frac{|A(1)\leftarrow b|}{|A|}.$$
類似的，通過消去 (1) 中含有 $x_2$ 的項(xiàng)可以解 $x_1$。

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當(dāng)情況轉(zhuǎn)換到3維時(shí)，可以考慮向量方程：
$$x_1{a}_1+x_2{a}_2+x_3{a}_3=b\text{\hspace{1em}(2)}$$
類似的，取$a_1,a_2,a_3$ 列向量為矩陣 A 的三列， $|A|=0$。
即向量$a_1,a_2,a_3$不共面， 否則計(jì)算可知 A 為奇異矩陣。

在 (2) 式兩端同時(shí)取關(guān)于向量 $a_2\times a_3$ 的數(shù)量積, （由右手法則可知，$a_2 和 a_3 \quad \bot \quad a_2 \times a_3 $）
$$x_1{a}_1?(a_2\times a_3)=b?(a_2\times a_3),$$
計(jì)算可知，
$$x_1=\frac{b?(a_2\times a_3)}{a_1?(a_2\times a_3)}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& a_{12}& a_{12}\\ b_2& a_{22}& a_{23}\\ b_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}\\ a_{13}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}=\frac{|A(1)\leftarrow b|}{|A|}.$$
即得3元齊次線性方程組的Cramer法則。

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最后討論 n維的情形，考慮向量方程：
$$x_1{a}_1+x_2{a}_2+?+x_n{a}_n=b\text{\hspace{1em}(3)}$$
讀者可以先思考一下，類似的方法應(yīng)如何推廣到n維。

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（主要思想 在于構(gòu)造正交向量對(duì)方程進(jìn)行分離操作，再得出行列式的比）
取$a_1,a_2,?,a_n$, n 個(gè)列向量為矩陣 A 的 n 列， $|A|=0$。

仿照行列式的記號(hào)，構(gòu)造一個(gè)正交于 $a_2,a_3,?,a_n$ 的向量 $v$，
（注意，只是模仿，不要把第一行的向量拆開成具體形式）

$$v=\left|\begin{array}{cccc}{e}_1& e_2& ?& e_n\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{1n}& a_{2n}& ?& a_{nn}\end{array}\right|，$$
（實(shí)際上這是常數(shù)項(xiàng)乘以向量的組合，將這個(gè)行列式形式以第一行展開即可得到）
其中，$e_i $ 是在第 i 個(gè)位置為1，其余分量為零的單位向量。

容易驗(yàn)證，對(duì)任意向量 $c$， 都有
$$(v,c)=v?c=\left|\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& ?& c_n\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{1n}& a_{2n}& ?& a_{nn}\end{array}\right|，$$

故通過行列式可以看出，對(duì)任意的 $a_i$，$v?a_i=0,i=2,3?,n$。
不難推出，
$$x_1{a}_1?v=b?v，$$
$$x_1=\frac{b?v}{a_1?v}=\frac{|A(1)\leftarrow b|}{|A|}.$$
即得 n 元線性方程組的克萊姆法則。

克萊姆法則的局限性

（1）當(dāng)方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不一致或者方程組系數(shù)的行列式等于零時(shí)，需要使用其他方法
（2）運(yùn)算量較大，求解一個(gè)N階線性方程組要計(jì)算N+1個(gè)N階行列式
（3）對(duì)于多于兩個(gè)或三個(gè)方程的系統(tǒng)，克萊姆的規(guī)則在計(jì)算上非常低效；與具有多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度的消除方法相比，其漸近的復(fù)雜度為$O(n?n!)$。另外，即使對(duì)于2×2系統(tǒng)，克萊姆法則在數(shù)值上也是不穩(wěn)定的
-百度百科-克萊姆法則

注記

• 根據(jù)行列式的幾何意義，二維表示面積，三維表示體積，不難推出克萊姆法則的幾何意義，大概思路是將向量關(guān)系通過圖形表示出來，進(jìn)行平行四邊形或者棱體的面積或者體積的計(jì)算、比較得出幾何意義，不再贅述。

• 應(yīng)用克萊姆法則可知，當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，則方程組有解，且具有唯一的解；

• 如果方程組無解或者有兩個(gè)不同的解，那么方程組的系數(shù)行列式必定等于零

• 克萊姆法則不僅僅適用于實(shí)數(shù)域，它在任何域上面都可以成立。

參考文獻(xiàn)

【1】邱森、朱林生. 高等代數(shù)探究性課題精編[M]. 武漢:武漢大學(xué)出版社, 2012. 17-21

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数中的克莱姆法则与几何解释的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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