群的定義：

感覺很像乘法？，G就像是非零實數集，o就像是*,左單位元就像是1，這里需要用1*n=n的性質找到p在o下的“1”.而左逆元就是相乘等于“1”e的元素。

o也可以是 整數上的加法，這時"e"就是0，a的逆就是相反數。

交換群：

原版群只有結合功能，交換不一定有。

群的叫法：（集合名）（代數運算名）群，如：非零實數乘群。

注意：群既要有集合，又要有運算。有的時候換一個運算就不是群了。就算是群，也是另一個群。

群的階：

一個經典例子：{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k}，

可以證明這對這種乘法是一個群，是一個八階有限非交換群，叫4元數群。

定理一：

eoa=a,然后e就成為了左單位元，實際上e同時也是右單位元，證明簡單如圖：

定理二：

推論一：

半群：

太咸魚了，只要結合律就行了。

?半群可以沒有左單位元，也可以沒有右單位元，但只要二者都有，那他就只有一個單位元，左和右是相等的。

一些例子：

如何判斷一個半群是群？：

?證明如下：

必要性很簡單。充分性就是要證明出他有左單位元和左逆元。二者均有就滿足了群的定義，至于右單位元和右逆元就自不必說。

還有另一種證法，針對有限半群：

?解釋一下，因為G是有限集，而代數運算要求結果也在集合里面。假如G中有相同的aai,aai2,根據消去律ai1和ai2就相等，不合理，因此每一個aai都是不一樣的，一定是滿射，b也就在其中有一席之地，這樣一來ax=b就有解了。假如G是無限集，那可就不行了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数：群论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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