1 單指數模型 (conventional mono-exponential model )：

是Ｔ2加權的信號強度（或者是b=0sec/mm2），b代表彌散敏感因子，D代表彌散系數，其中b大小又等于

單指數模型的參數圖為：ADC

2 雙指數模型IVIM (intro-voxel incoherent movement )

?

其中?

?f表示由于微循環導致的彌散系數改變占總的彌散系數的分數，所以在該公式中，單純彌散系數的改變所占的比例為 (1-f)，由微循環灌注引起來的總的彌散系數的改變為f。雙指數模型所得到的參數圖為：D、D*、f。

3 彌散峰度模型DKI (diffusion kurtosis imaging)

考慮到組織內結構的復雜性，組織內水分的擴散運動概率不在符合高斯分布，而是一種非高斯分布，因而引進了峰度參數K進行校正；其與單指數模型的關系，當K=0的時候，即為高斯分布，因此K值反映了組織內部水分子彌散運動的復雜程度。?DKI模型的參數圖：D圖、K圖。

4 拉伸指數模型 SEM (stretched exponential model)

拉伸指數模型假設體素內彌散系數是連續分布的，并不是簡單的幾種成分。這個公式中，α（阿爾法）代表組織的復雜程度，這個量化指標叫體素內彌散成分不均質性。α=1的時候，類似于理想情況下的單指數模型；而α越接近0，則代表彌散不均質性越高，反映了組織結構越復雜。公式中另一個量化指標DDC，表示分布彌散系數，代表體素內平均彌散率。?拉伸指數參數圖：DDC、α（阿爾法）。

5 分數微積分模型FROC

? ? ? ? 分數微積分模型模型（Fractional ?order calculus，FROC 模型） ?由周曉洪教授于 2010 年提出。該模型利用分數微積分（Fractional order calculus）理論對人體組織內異常彌散運動做了詳盡的分析，并引入了一組可以描述水分子異常彌散運動的參數。由于 FROC 模型及其應用是整個課題的核心部分，所以下面將概述其數學推導過程及各參數的意義。

? ? ? ? ?如果令 C(x,t)為一維坐標軸上的彌散密度，則可將所得的分數階偏微分方程代入經典的 Fick’s 第一定律中（公式 1）。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? (1)

其中 D’為總彌散系數，其單位為? ，α（0<α≤1）為時間的分數導數，β （0<β ≤1）為空間的分數導數。由此，Bloch-Torrey ?方程可通過分數階轉化為:

? ? ? ? ? ? 公式 （2）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式（3）

其中，是時間的 Riemann-Liouville 分數導數的 Caputo 符號形式（公式 4），?是空間的 Riesz 分數導數的 Laplacian 算符，γ 是旋磁比，
表示了橫向磁化作用，和是時間和空間的分數導數常量。分數導數符號可以進一步表示為：

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?公式（4）

其中，?表示了時間的一階導數，Γ（1 ? α）為伽瑪函數，定義為:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

空間的動態分數階（如 α=1，0<β ≤1）可通過將橫向磁化向量推導為常量、雙極、
Stejskal-Tanner 和二次再聚焦的彌散梯度獲得。Stejskal-Tanner 彌散梯度可由公式 5
得出：?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式（5）

其中，Gd為彌散梯度振幅，δ和Δ為彌散梯度脈沖寬度和梯度分隔。當β = 1時，公式 5 即為經典的單指數函數形式exp?(?bD)，空間變量μ即為無效變量。在常規狀態下β < 1，μ即為有效變量，而 b 值的常規定義失效。為適應這些變化，重新定義了新參數b*如下：

由此，公式 5 轉化為?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式（7）

另于如果定義假彌散系數D*為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式（8）

則公式 7 可轉化為拉伸指數模型公式表達形式，見公式 9：?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式（9）

其中D?的單位仍為常規彌散系數單位，類似于 Bennett 等描述的彌散系數分布常量。而當從上述方程導出??時，D?即與 D 完全一致。

綜上所述，公式 7 為 FROC 模型的核心公式。其模型的建立是基于拉伸指數模型的基礎上，但是又比其更細致和深入。同時在 FROC 模型中引入了三個參數：μ、β和 D。D 為彌散系數（Diffusion Coefficient），μ 是空間參數，β 為空間分數導數。為了求得這些參數，我們至少需要 5 個 b 值來反解方程。

Ref:?劉貫中, ，陸建平，周曉洪. 磁共振彌散成像分數微積分模型在兒童腦腫瘤中的臨床應用[D].第二軍醫大學,2012.

6 CTRW (continuous-time random-walk diffusion model )

? ? ? ? CTRW模型是單純隨機游走彌散模型（random-walk diffusion model）的一般形式，單純隨機游走彌散模型（random-walk diffusion model）可以認為其彌散位移的均方值和彌散時間之間是成比例的。當為了解釋彌散組織的復雜性和異質性時，單純隨機游走彌散模型一般化為CTRW模型，其中彌散運動的跳躍距離（jump distance）和跳躍等待時間（jump waiting time）將不再符合高斯分布。在一般的CTRW模型中，均方位移（mean-square displacement，MSD）可以用下面的公式來表示：

? ? ? ? 其中t是彌散的時間，α和β′分布是跳躍等待時間和跳躍距離的概率分布的分數次冪。當α=1，和β′=2（例如γ = 1）該公式退化為高斯分布的MSD。而如果γ > 1 或者γ < 1，這種在流體力學中見到的反常彌散過程又演變為超彌散（super-diffusion）或者亞彌散（sub-diffusion）。在CTRW的理論背景下，在不均勻組織中，與測量的磁化信號強度成比例的水分子的S(x,t) 可以用空間-時間分數階彌散方程表示如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式 （1）

其中是第分數階時間導數的Caputo形式，?β′ /?|x|β′ 是第β′ 分數階空間導數的Riesz形式，是彌散系數的一般形式（）。在連續極限下，公式（1）一般彌散方程的解可以產生一個用Mittag-Leffler 函數 （MLF）表示的信號衰減形式:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?公式 （2）

通過定義β= β′/2, b = q2(Δ ? δ/3)，和 ?= (Δ ? δ/3)，δ 和Δ 是Stejskal-Tanner彌散梯度脈沖的寬度和脈沖之間的時間間隔，q 是q-space變量，對于Stejskal-Tanner彌散梯度，公式（1）的解可以y用下式來表示。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式 （3）

其中M是測量到的初始值為的信號強度。在公式（3）中，Ea是MLF，D1,2是常規彌散系數（mm2/s），μ ( μm) 和 τ (ms) 分別是空間和時間參數，他們也是彌散系數單位的來源和組成。如果用b/Δ?, Eq替換q2 。公式 (2) 可以寫成：

? ? ? ? ? ? 公式 （4）

為了降低估計模型參數的計算復雜度，公式（4）的解通過定義“反常擴散系數”：

公式（4）可以以MLF的形式寫成下面的形式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?公式（6）

通常稱為反常擴散系數，單位是μm2/s ，公式（6）提供了一個簡化的數學表達式，在這個表達式中，可以得到類似彌散系數，和另外兩個參數α 和β，可以反映彌散在時間和空間的異質性，該參數提供了一種用來對體素和其周圍環境進行量化的方法。

?參考文獻：Karaman MM, Sui Y, Wang H, Magin RL, Li Y, Zhou XJ. Differentiating low- and high-grade pediatric brain tumors using a continuous-time random-walk diffusion model at high b-values. Magn Reson Med. 2016 Oct;76(4):1149-57. doi: 10.1002/mrm.26012. Epub 2015 Oct 31. PMID: 26519663; PMCID: PMC4852163.

? ?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高级弥散模型：单指数、IVIM、DKI、SEM、FROC、CTRW的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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