Sylvester不等式证明
Sylvester不等式
設A、B分別是s×n、n×ms\times n、n\times ms×n、n×m,則rank(AB)≥rank(A)+rank(B)?nrank(AB)\ge rank(A)+rank(B)-nrank(AB)≥rank(A)+rank(B)?n
證明
只需證n+rank(AB)≥rank(A)+rank(B)n+rank(AB)\ge rank(A)+rank(B)n+rank(AB)≥rank(A)+rank(B)
n+rank(AB)=rank(In00AB)n+rank(AB)=rank \begin{pmatrix}I_n & 0\\0 &AB \end{pmatrix} n+rank(AB)=rank(In?0?0AB?)
作分塊矩陣的初等行變換
(In00AB)?(In0AAB)?(In?BA0)?(InBA0)?(BInA0)\begin{pmatrix} I_n&0\\0&AB\end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}I_n&0\\A&AB\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}I_n&-B\\A&0\end{pmatrix}\\ \longrightarrow \begin{pmatrix}I_n&B\\A&0\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}B&I_n\\A&0\end{pmatrix} (In?0?0AB?)?(In?A?0AB?)?(In?A??B0?)?(In?A?B0?)?(BA?In?0?)
根據分塊矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩有：
rank(In00AB)=(BIn0A)≥rank(B)+rank(A)rank \begin{pmatrix}I_n&0\\0&AB\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}B&I_n\\0&A\end{pmatrix} \ge rank(B)+rank(A) rank(In?0?0AB?)=(B0?In?A?)≥rank(B)+rank(A)
因此
rank(AB)≥rank(A)+rank(B)?nrank(AB)\ge rank(A)+rank(B)-n rank(AB)≥rank(A)+rank(B)?n
總結
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