TOPSIS法，譯為逼近理想解排序法，簡稱優劣且解距離法（根據學習會發現優解即距離較大的解），是一種常用的綜合評價方法，能充分利用原始數據的信息，其結果能精確地反映各評價方案之間的差距。
當我們用層次分析法來解決問題，發現行不通或者得出的結果不太精確的時候，就可以考慮用TOPSIS法。比如當評價的決策層太多時，n也會很大，容易使判斷矩陣和一致矩陣差距較大（平均隨機一致性指標RI表格中n≤15），此時再使用層次分析法，就有些不妥當了。那么當決策層中指標數據已知時，如何使結果更準確呢？
舉個例子，

（這里要求的評分可以與層次分析法中的權重類比）
那么我們現在對四位同學得成績排名，得到名次為2431，評分要求越大越好，因此成績越好的同學排名應越大，所以對排名進行一個修正，修正后的名次為3124，用個人排名÷排名之和得到每人對應的評分。

但我們思考檢驗發現，當同學們的成績大小發生改變而四人的排名保持不變的話，得出的總評分依舊不變，由此可見，得出的結果與成績的相關性太弱。
那我們又想到另一種方法：找出四人中成績的最高分和最低分，按照公式[（x-min）÷（max-min）]來計算評分，并對評分進行歸一化，得到結果如下

到這里有人就會問了，理論上考試的最高成績不應該是滿分，而最低成績為0嗎？
主要原因有三個。第一，比較對象往往多于兩個，此時采用第一種方法，只有數據兩端的對象會感受到影響；第二，比較的指標往往是多方面的；第三，不是每種指標都有理論最大值和最小值的。因此選擇上一種方式計算評分，公式如下圖所示。

我們以上討論的都是只有成績一個指標時的情況，那么接下來增加指標個數，例題變為下圖所示。兩個指標分別體現對象的智商和情商。

介紹一個知識點：題中成績越大越好，是為極大型指標，也稱效益型指標；與他人爭吵次數越小越好，是為極小型指標，也稱成本型指標。
大型指標稱為指標正向化，其中極小型變為極大型的公式為（max-x）。
成績單位為分，吵架單位為次，兩個指標量綱不同，要進行處理，為了消除不同量綱帶來的影響，就要對已經正向化的矩陣進行標準化處理，任一列的一個數值÷該列數值平方之和的算數平方根，即可消去量綱。其公式如下：

只有成績一個指標時，評分的公式為[（x-min）÷（max-min）]，經過
得出


類比一個指標計算得分，最大值和最小值分別為一個向量矩陣，從每列中找出最大值和最小值，分別組成矩陣，用Z+，Z-表示。
可以把矩陣看做m維坐標系的向量坐標，類比空間坐標距離公式得到：

根據評分公式
得到得分公式（未歸一化），S=D- ÷（D+＋D-），故S屬于（0，1），S越大，對象的評價越好。

之后對計算得出的的得分進行歸一化，并進行排名，根據排名即可選出對象的優劣程度。
由此可以得出，TOPSIS法的基本步驟為：先將原始數據矩陣統一指標類型(一般正向化處理)得到正向化的矩陣，
再對正向化的矩陣進行標準化處理以消除各指標量綱的影響，并找到有限方案中的最優方案和最劣方案，
然后分別計算各評價對象與最優方案和最劣方案間的距離，獲得各評價對象與最優方案的相對接近程度，以此作為評價優劣的依據。
該方法對數據分布及樣本含量沒有嚴格限制，數據計算簡單易行。
下面對該方法步驟詳細介紹：
第一步:將原始矩陣正向化
最常見的四種指標:極大型(效益型)指標，越大(多) 越好，例如成績、GDP增速、企業利潤；極小型(成本型)指標，越小(少)越好，例如費用、壞品率、污染程度；中間型指標，越接近某個值越好，例如水質量評估時的PH值；區間型指標，落在某個區間最好例如體溫、 水中植物性營養物量。
所謂的將原始矩陣正向化，就是要將所有的指標類型統一轉化為極大型指標。(轉換的 函數形式可以不唯一哦~ )
極小型指標轉換為極大型指標
max -x，如果所有的元素均為正數，那么也可以使用1÷x，不過基本常用第一種轉換公式。
中間型指標轉換為極大型指標

區間型指標轉換為極大型指標（更正：下圖中的{xi}為區間型指標序列，此圖從ppt中截取，需更改）

第二步：正向化矩陣標準化
標準化是為了消除不同量綱帶來的影響，公式之前已經提過，如下。標準化的方法不唯一，故得到的標準化矩陣也不唯一。

第三步：計算得分并歸一化
得分的計算公式如下圖紅字部分，

要注意區別開歸一化和標準化。歸一化的計算步驟也可以消去量綱的影響，但更多時候，我們進行歸一化的目的是為了讓我們的結果更容易解釋，或者說讓我們對結果有一個更加清晰直觀的印象。例如將得分歸一化后可限制在（0，1）這個區間，對于區間內的每一個得分， 我們很容易的得到其所處的比例位置。
注意:這里還沒有考慮指標的權重，默認了各指標的權重相等。

帶權重的TOPSIS法：
確定權重的方法：層次分析法（主觀性太強，不利于數據處理），熵權法（之后的視頻會講到）

接下來看一道練習題

根據題目中的介紹，我們可以得出含氧量屬于極大型指標，PH值屬于中間型指標，細菌總數屬于極小型指標，營養物量屬于區間型指標，首先利用公式將這三個指標轉換為極大型指標，之后根據公式進行標準化，然后找出各指標的最大值最小值，分別組成向量，根據公式計算得分，并進行歸一化，按照排名即可得出水質的優劣，大體思路就是這樣了。本講中出現的一些代碼會在之后的視頻里詳細解釋，大家可以去看看。
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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模(2)topsis分析法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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