文章目錄

• 1. 向量與矩陣的本質
• • 1.1 向量的本質
  • 1.2 矩陣的本質
• 2. 向量、矩陣相乘結果
• 3. 向量、矩陣相乘的中間過程
• • 3.1 矩陣的具體形式
  • • 3.1.1 B為列向量
    • 3.1.2 B為矩陣或者行向量
  • 3.2 矩陣的向量表達形式
  • • 3.2.1 B為列向量
    • 3.2.1 B為矩陣或者行向量
    • 3.2.3 總結

1. 向量與矩陣的本質

1.1 向量的本質

向量處于n維空間，高中或者大學學過基向量。如向量（2, 2, 2）處于三維空間（維度取決于列數），基向量為（i, j, k），且i =（1,0,0），j =（0,1,0），k =（0,0,1）,這三個基向量先通過數乘再通過加法法則得到向量（2, 2, 2），向量的另一重本質見1.2矩陣的本質

1.2 矩陣的本質

與向量類似，矩陣也有基向量的概念，如矩陣
$$?\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}?$$
該矩陣也是三維的，基向量i =（2, 0, 0），j =（0, 2, 0），k =（0, 0, 2）
上述向量（2， 2， 2）其實是矩陣三個基向量i，j，k通過加法得到的。
因此矩陣與向量的關系：n維向量是由n維矩陣中n列對應的n個基向量通過加法法則構成的。故矩陣就是基向量的集合。
上述中，矩陣的行數和列數相同。特殊地，m×n矩陣，當m小于n時，相當于降維；當m大于n時，相當于升維如向量（2, 2, 0）是由矩陣
$$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 2& 2\end{array}\right]$$
中的基向量構成的，只是現在的基向量由原來的三維降維到二維，即i = (2, 0)，第三維進行了降維，故向量（2, 2, 0）中第三維為0。

2. 向量、矩陣相乘結果

A （p×q）· B （m×n）= C（p×n）

• 對于矩陣或者向量A、B相乘得到C，C的行取決于A的行，C的列取決于B的列。
• 因此，當A為行向量，B為矩陣時，C仍為行向量（行數為1），列數為B的列數；當A為行向量，B為列向量時，C為一個數；當A為列向量時，B必須為行向量，故C為矩陣。總結：行任行，行列數，列行矩
• 當B為列向量，A為矩陣時，C仍為列向量（C的行數取決于A的行數）；當B為列向量，A為行向量（同上），C為一個數；當B為行向量，A必須為列向量（同上），C為矩陣。
• 第二與第三條總結一個口訣：行列數，列行矩，行矩行，矩列列。實際中，當看到A為行向量時，C可能是個數（B的特殊性），也可能是個行向量；當看到A為列向量時，C只能是個矩陣（B的特殊性只能是行向量）；當看到A為矩陣時，C可能是列向量（B的特殊性），也可能是矩陣。

3. 向量、矩陣相乘的中間過程

向量、矩陣相乘的組合一共5種：

行×列---->數

行×矩陣—>行

列×行—> 矩陣

矩陣×矩陣—>矩陣

矩陣×列—>列
下面從矩陣的具體形式以及矩陣的向量表達形式說明中間過程

3.1 矩陣的具體形式

3.1.1 B為列向量

上述五種情況中，1和5屬于同一類，都是乘以一個列向量。規律如下：
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}?=1\times \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+2\times \left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]+3\times \left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{c}1\times 1+2\times 3+3\times 5\\ 1\times 2+2\times 4+3\times 6\end{array}\right] \end{gathered}$$
可以看出最終結果為B中的每個數乘以A中對應的基向量，其 結果相加。當A為行向量時可以認為是多維矩陣的降維，也符合剛才的規律。

3.1.2 B為矩陣或者行向量

上述2、3、4可以認為是同一類，B為矩陣或者行向量（行向量可以認為是一種特殊的矩陣）
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]?\begin{array}{cc}10& 13\\ 11& 14\\ 12& 15\end{array}?=?\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]\times ?\begin{array}{c}10\\ 11\\ 12\end{array}?& \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]\times ?\begin{array}{c}13\\ 14\\ 15\end{array}?\end{array}?$$
看到這里，就可以繼續應用3.1.1的結論了。故矩陣C的第i列=A×B的第i列

3.2 矩陣的向量表達形式

3.2.1 B為列向量

與3.1.1相對應，現在$A=(a_1,a_2,a_3)$其中$a_1=(\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right])$，以此類推。B不變，仍為
$$?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}?$$
故$(a_1,a_2,a_3)\times ?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}?=1\times a_1+2\times a_2+3\times a_3$

3.2.1 B為矩陣或者行向量

與3.1.1相對應，$A=(a_1,a_2,a_3)$其中$a_1=(\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right])$，以此類推。
$B=(b_1,b_2)$其中$b_1=(?\begin{array}{c}10\\ 11\\ 12\end{array}?)$，以此類推。
故$A\times B=\left[\begin{array}{cc}A\times b_1& A\times b_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(a_1,a_2,a_3)\times b_1& (a_1,a_2,a_3)\times b_2\end{array}\right]$

3.2.3 總結

矩陣與矩陣相乘，先B拆成列向量$b_i$與A乘，然后$b_i$拆成數$b_{ij}$、A拆成列向量$a_i$并相乘。

總結

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