B 树、B+ 树、B* 树
B?樹、B+?樹、B* 樹?
作者：July、weedge、Frankie。編程藝術室出品。
說明：本文從B樹開始談起，然后論述B+樹、B*樹，最后談到R?樹。其中B樹、B+樹及B*樹部分由weedge完成，R?樹部分由Frankie完成，全文最終由July統稿修訂完成。
出處：http://blog.csdn.net/v_JULY_v?。
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第一節、B樹、B+樹、B*樹
1.前言：
動態查找樹主要有：二叉查找樹（Binary Search Tree），平衡二叉查找樹（Balanced Binary Search Tree），紅黑樹(Red-Black Tree )，B-tree/B+-tree/ B*-tree?(B~Tree)。前三者是典型的二叉查找樹結構，其查找的時間復雜度O(log2N)與樹的深度相關，那么降低樹的深度自然會提高查找效率。
但是咱們有面對這樣一個實際問題：就是大規模數據存儲中，實現索引查詢這樣一個實際背景下，樹節點存儲的元素數量是有限的（如果元素數量非常多的話，查找就退化成節點內部的線性查找了），這樣導致二叉查找樹結構由于樹的深度過大而造成磁盤I/O讀寫過于頻繁，進而導致查詢效率低下（為什么會出現這種情況，待會在外部存儲器-磁盤中有所解釋），那么如何減少樹的深度（當然是不能減少查詢的數據量），一個基本的想法就是：采用多叉樹結構（由于樹節點元素數量是有限的，自然該節點的子樹數量也就是有限的）。
也就是說，因為磁盤的操作費時費資源，如果過于頻繁的多次查找勢必效率低下。那么如何提高效率，即如何避免磁盤過于頻繁的多次查找呢？根據磁盤查找存取的次數往往由樹的高度所決定，所以，只要我們通過某種較好的樹結構減少樹的結構盡量減少樹的高度，那么是不是便能有效減少磁盤查找存取的次數呢？那這種有效的樹結構是一種怎樣的樹呢？
這樣我們就提出了一個新的查找樹結構——多路查找樹。根據平衡二叉樹的啟發，自然就想到平衡多路查找樹結構，也就是這篇文章所要闡述的第一個主題B~tree，即B樹結構(后面，我們將看到，B樹的各種操作能使B樹保持較低的高度，從而達到有效避免磁盤過于頻繁的查找存取操作，從而有效提高查找效率)。
B-tree（B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思）這棵神奇的樹是在Rudolf Bayer,?Edward M. McCreight(1970)寫的一篇論文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的（wikipedia中：http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree，闡述了B-tree名字來源以及相關的開源地址）。
在開始介紹B~tree之前，先了解下相關的硬件知識，才能很好的了解為什么需要B~tree這種外存數據結構。?
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2.外存儲器—磁盤
計算機存儲設備一般分為兩種：內存儲器(main memory)和外存儲器(external memory)。?內存存取速度快，但容量小，價格昂貴，而且不能長期保存數據(在不通電情況下數據會消失)。
外存儲器—磁盤是一種直接存取的存儲設備(DASD)。它是以存取時間變化不大為特征的。可以直接存取任何字符組，且容量大、速度較其它外存設備更快。
2.1磁盤的構造
磁盤是一個扁平的圓盤(與電唱機的唱片類似)。盤面上有許多稱為磁道的圓圈，數據就記錄在這些磁道上。磁盤可以是單片的，也可以是由若干盤片組成的盤組，每一盤片上有兩個面。如下圖11.3中所示的6片盤組為例，除去最頂端和最底端的外側面不存儲數據之外，一共有10個面可以用來保存信息。
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當磁盤驅動器執行讀/寫功能時。盤片裝在一個主軸上，并繞主軸高速旋轉，當磁道在讀/寫頭(又叫磁頭)?下通過時，就可以進行數據的讀?/?寫了。
一般磁盤分為固定頭盤(磁頭固定)和活動頭盤。固定頭盤的每一個磁道上都有獨立的磁頭，它是固定不動的，專門負責這一磁道上數據的讀/寫。
活動頭盤?(如上圖)的磁頭是可移動的。每一個盤面上只有一個磁頭(磁頭是雙向的，因此正反盤面都能讀寫)。它可以從該面的一個磁道移動到另一個磁道。所有磁頭都裝在同一個動臂上，因此不同盤面上的所有磁頭都是同時移動的(行動整齊劃一)。當盤片繞主軸旋轉的時候，磁頭與旋轉的盤片形成一個圓柱體。各個盤面上半徑相同的磁道組成了一個圓柱面，我們稱為柱面?。因此，柱面的個數也就是盤面上的磁道數。?
2.2磁盤的讀/寫原理和效率
磁盤上數據必須用一個三維地址唯一標示：柱面號、盤面號、塊號(磁道上的盤塊)。
讀/寫磁盤上某一指定數據需要下面3個步驟：
(1)??首先移動臂根據柱面號使磁頭移動到所需要的柱面上，這一過程被稱為定位或查找?。
(2)??如上圖11.3中所示的6盤組示意圖中，所有磁頭都定位到了10個盤面的10條磁道上(磁頭都是雙向的)。這時根據盤面號來確定指定盤面上的磁道。
(3)?盤面確定以后，盤片開始旋轉，將指定塊號的磁道段移動至磁頭下。
經過上面三個步驟，指定數據的存儲位置就被找到。這時就可以開始讀/寫操作了。
訪問某一具體信息，由3部分時間組成：
●?查找時間(seek time) Ts:?完成上述步驟(1)所需要的時間。這部分時間代價最高，最大可達到0.1s左右。
●?等待時間(latency time) Tl:?完成上述步驟(3)所需要的時間。由于盤片繞主軸旋轉速度很快，一般為7200轉/分(電腦硬盤的性能指標之一,?家用的普通硬盤的轉速一般有5400rpm(筆記本)、7200rpm幾種)。因此一般旋轉一圈大約0.0083s。
●?傳輸時間(transmission time) Tt:?數據通過系統總線傳送到內存的時間，一般傳輸一個字節(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s
磁盤讀取數據是以盤塊(block)為基本單位的。位于同一盤塊中的所有數據都能被一次性全部讀取出來。而磁盤IO代價主要花費在查找時間Ts上。因此我們應該盡量將相關信息存放在同一盤塊，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相鄰柱面上，以求在讀/寫信息時盡量減少磁頭來回移動的次數，避免過多的查找時間Ts。
所以，在大規模數據存儲方面，大量數據存儲在外存磁盤中，而在外存磁盤中讀取/寫入塊(block)中某數據時，首先需要定位到磁盤中的某塊，如何有效地查找磁盤中的數據，需要一種合理高效的外存數據結構，就是下面所要重點闡述的B-tree結構，以及相關的變種結構：B+-tree結構和B*-tree結構。
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3.B- 樹?
?具體講解之前，有一點，再次強調下：B-樹，即為B樹。因為B樹的原英文名稱為B-tree，而國內很多人喜歡把B-tree譯作B-樹，其實，這是個非常不好的直譯，很容易讓人產生誤解。如人們可能會以為B-樹是一種樹，而B樹又是一種一種樹。而事實上是，B-tree就是指的B樹。特此說明。
我們知道，B 樹是為了磁盤或其它存儲設備而設計的一種多叉（下面你會看到，相對于二叉，B樹每個內結點有多個分支，即多叉）平衡查找樹。與本blog之前介紹的紅黑樹很相似，但在降低磁盤I/0操作方面要更好一些。許多數據庫系統都一般使用B樹或者B樹的各種變形結構，如下文即將要介紹的B+樹，B*樹來存儲信息。
?B樹與紅黑樹最大的不同在于，B樹的結點可以有許多子女，從幾個到幾千個。那為什么又說B樹與紅黑樹很相似呢?因為與紅黑樹一樣，一棵含n個結點的B樹的高度也為O（lgn），但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，應為它的分支因子比較大。所以，B樹可以在O（logn）時間內，實現各種如插入（insert），刪除（delete）等動態集合操作。
如下圖所示，即是一棵B樹，一棵關鍵字為英語中輔音字母的B樹，現在要從樹種查找字母R（包含n[x]個關鍵字的內結點x，x有n[x]+1]個子女（也就是說，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那么x將含有n[x]+1個子女）。所有的葉結點都處于相同的深度，帶陰影的結點為查找字母R時要檢查的結點）：
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相信，從上圖你能輕易的看到，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那么x將含有n[x]+1個子女。如含有2個關鍵字D H的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字Q T X的內結點有4個子女。
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B?樹又叫平衡多路查找樹。一棵m階的B?樹?(m叉樹)的特性如下：
???? ??a)?? Ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。?
???? ??b)?? Pi為指向子樹根的接點，且指針P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小于Ki，但都大于K(i-1)。?
???????c)?? 關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下圖所示：
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? ? 針對上面第5點，再闡述下：B樹中每一個結點能包含的關鍵字（如之前上面的D H和Q T X）數有一個上界和下界。這個下界可以用一個稱作B樹的最小度數（算法導論中文版上譯作度數，最小度數即內節點中節點最小孩子數目）t（t>=2）表示。
- 每個非根的結點必須至少含有t-1個關鍵字。每個非根的內結點至少有t個子女。如果樹是非空的，則根結點至少包含一個關鍵字；
- 每個結點可包含之多2t-1個關鍵字。所以一個內結點至多可有2t個子女。如果一個結點恰好有2t-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（而稍后介紹的B*樹作為B樹的一種常用變形，B*樹中要求每個內結點至少為2/3滿，而不是像這里的B樹所要求的至少半滿）；
- 當關鍵字數t=2（t=2的意思是，tmin=2，t可以>=2）時的B樹是最簡單的（有很多人會因此誤認為B樹就是二叉查找樹，但二叉查找樹就是二叉查找樹，B樹就是B樹，B樹的真正最準確的定義為：一棵含有t（t>=2）個關鍵字的平衡多路查找樹）。每個內結點可能因此而含有2個、3個或4個子女，亦即一棵2-3-4樹，然而在實際中，通常采用大得多的t值。
? ? B樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字信息和分支(當然是不能超過磁盤塊的大小，根據磁盤驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在1k~4k左右)；這樣樹的深度降低了，這就意味著查找一個元素只要很少結點從外存磁盤中讀入內存，很快訪問到要查找的數據。
? ? B樹的類型和節點定義如下圖所示：
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為了簡單，這里用少量數據構造一棵3叉樹的形式，實際應用中的B樹結點中關鍵字很多的。上面的圖中比如根結點，其中17表示一個磁盤文件的文件名；小紅方塊表示這個17文件內容在硬盤中的存儲位置；p1表示指向17左子樹的指針。
其結構可以簡單定義為：
typedef?struct?{
????/*文件數*/
????int??file_num;
????/*文件名(key)*/
????char?* file_name[max_file_num];
????/*指向子節點的指針*/
?????BTNode * BTptr[max_file_num+1];
?????/*文件在硬盤中的存儲位置*/
?????FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];
}BTNode;
假如每個盤塊可以正好存放一個B樹的結點（正好存放2個文件名）。那么一個BTNODE結點就代表一個盤塊，而子樹指針就是存放另外一個盤塊的地址。
下面，咱們來模擬下查找文件29的過程：
分析上面的過程，發現需要3次磁盤IO操作和3次內存查找操作。關于內存中的文件名查找，由于是一個有序表結構，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影響整個B樹查找效率的決定因素。
當然，如果我們使用平衡二叉樹的磁盤存儲結構來進行查找，磁盤4次，最多5次，而且文件越多，B樹比平衡二叉樹所用的磁盤IO操作次數將越少，效率也越高。
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B樹的高度
??? 根據上面的例子我們可以看出，對于輔存做IO讀的次數取決于B樹的高度。而B樹的高度由什么決定的呢？
???? 根據B樹的高度公式:???
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????? 其中T為度數（每個節點包含的元素個數），即所謂的階數，N為總元素個數或總關鍵字數。
???? 我們可以看出T對于樹的高度有決定性的影響。因此如果每個節點包含更多的元素個數，在元素個數相同的情況下，則更有可能減少B樹的高度。這也是為什么SQL Server中需要盡量以窄鍵建立聚集索引。因為SQL Server中每個節點的大小為8092字節，如果減少鍵的大小，則可以容納更多的元素，從而減少了B樹的高度，提升了查詢的性能。
??? 上面B樹高度的公式也可以進行推導得出，將每一層級的的元素個數加起來，比如度為T的節點，根為1個節點，第二層至少為2個節點，第三層至少為2t個節點，第四層至少為2t*t個節點。將所有最小節點相加，從而得到節點個數N的公式:
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??? 兩邊取對數，則可以得到樹的高度公式。
??? 這也就是說每個節點必須至少有兩個子元素，因為根據高度公式，如果每個節點只有一個元素，也就是T=1的話，那么高度將會趨于正無窮。
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4.B+-tree
B+-tree：是應文件系統所需而產生的一種B-tree的變形樹。
一棵m階的B+樹和m階的B樹的差異在于：
??????1.有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字；?(而B 樹是n棵子樹有n-1個關鍵字)
??????2.所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，及指向含有這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序鏈接。?(而B 樹的葉子節點并沒有包括全部需要查找的信息)
??????3.所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。?(而B 樹的非終節點也包含需要查找的有效信息)
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a)?????為什么說B+-tree比B 樹更適合實際應用中操作系統的文件索引和數據庫索引？
1)?B+-tree的磁盤讀寫代價更低
B+-tree的內部結點并沒有指向關鍵字具體信息的指針。因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那么盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入內存中的需要查找的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數也就降低了。
????舉個例子，假設磁盤中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B-tree(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而B+?樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入內存中的時候，B 樹就比B+?樹多一次盤塊查找時間(在磁盤中就是盤片旋轉的時間)。
2)?B+-tree的查詢效率更加穩定
由于非終結點并不是最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。
b)????B+-tree的應用: VSAM(虛擬存儲存取法)文件(來源論文?the ubiquitous Btree?作者：D COMER - 1979 )
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5.B*-tree
B*-tree是B+-tree的變體，在B+?樹非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）。給出了一個簡單實例，如下圖所示：
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B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，并將原結點中1/2的數據復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針。
B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，并各復制1/3的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針。
所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
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）針對--非根結點（包括葉子結點在內），孩子數（3-5個）--針對根結點和葉子結點之外的內結點。當然，根結點是必須至少有2個孩子的，不然就成直線型搜索樹了。
下圖中關鍵字為大寫字母，順序為字母升序。
結點定義如下：
typedef?struct{
???int?Count;?????????//?當前節點中關鍵元素數目
???ItemType?Key[4];???//?存儲關鍵字元素的數組?
6.總結
通過以上介紹，大致將B樹，B+樹，B*樹總結如下：
B樹：有序數組+平衡多叉樹；
B+樹：有序數組鏈表+平衡多叉樹；
B*樹：一棵豐滿的B+樹。
????在大規模數據存儲的文件系統中，B~tree系列數據結構，起著很重要的作用，對于存儲不同的數據，節點相關的信息也是有所不同，這里根據自己的理解，畫的一個查找以職工號為關鍵字，職工號為38的記錄的簡單示意圖。(這里假設每個物理塊容納3個索引，磁盤的I/O操作的基本單位是塊（block),磁盤訪問很費時，采用B+樹有效的減少了訪問磁盤的次數。）
對于像MySQL，DB2，Oracle等數據庫中的索引結構得有較深入的了解才行，建議去找一些B 樹相關的開源代碼研究。
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走進搜索引擎的作者梁斌老師針對B樹、B+樹給出了他的意見（為了真實性，特引用其原話，未作任何改動）：?“B+樹還有一個最大的好處，方便掃庫，B樹必須用中序遍歷的方法按序掃庫，而B+樹直接從葉子結點挨個掃一遍就完了，B+樹支持range-query非常方便，而B樹不支持。這是數據庫選用B+樹的最主要原因。
??? 比如要查?5-10之間的，B+樹一把到5這個標記，再一把到10，然后串起來就行了，B樹就非常麻煩。B樹的好處，就是成功查詢特別有利，因為樹的高度總體要比B+樹矮。不成功的情況下，B樹也比B+樹稍稍占一點點便宜。
??? B樹比如你的例子中查，17的話，一把就得到結果了，
有很多基于頻率的搜索是選用B樹，越頻繁query的結點越往根上走，前提是需要對query做統計，而且要對key做一些變化。
??? 另外B樹也好B+樹也好，根或者上面幾層因為被反復query，所以這幾塊基本都在內存中，不會出現讀磁盤IO，一般已啟動的時候，就會主動換入內存。”非常感謝。
????Bucket Li："mysql 底層存儲是用B+樹實現的，知道為什么么。內存中B+樹是沒有優勢的，但是一到磁盤，B+樹的威力就出來了"。
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參考文獻以及相關網址：
1.???Organization and Maintenance of Large Ordered Indices
2.???the ubiquitous B tree
3.???http://en.wikipedia.org/wiki/Btree?（給出了國外一些開源地址）
4.???http://cis.stvincent.edu/html/tutorials/swd/btree/btree.html（include C++ source code）
5.???http://slady.net/java/bt/view.php（如果了解了B-tree結構，該地址可以在線對該結構進行查找（search），插入(insert)，刪除(delete)操作。）
6.? Guttman, A.; “R-trees: a dynamic index structure for spatial searching,” ACM, 1984, 14
7. ?http://www.cnblogs.com/CareySon/archive/2012/04/06/2435349.html。
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本文內容主要摘自http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142
總結
以上是生活随笔為你收集整理的B 树、B+ 树、B* 树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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