四類向量組

向量組相關性決定表示向量的唯一性，無關組表示必唯一，相關組表示必無窮。代數上，根據 $0$ 向量是否被全0表示，如果只有全0表示則無關，否則相關。幾何上，無關組是張成子空間的基，向量數量多于張成子空間維度時，是相關組。任意維度空間中，0維子空間是原點，過原點的任意直線是1維子空間，過原點的任意平面是2維子空間，等等。子空間一定要過原點，整個空間是個特殊子空間。

向量組是否為基決定表示的存在性；如果是基，則必存在表示；如果不是，則當被表示向量位于向量組張成子空間內時，存在表示，否則不存在。

$m$ 維空間中任意向量用向量組表示，根據表示的存在性和唯一性，可以分為四類。第一類：一定存在且唯一，向量組有 $m$ 個向量且無關，是基；第二類：一定存在且不唯一，向量組有 $n>m$ 個向量，極大無關組是基；第三類：不一定存在，但如果存在則唯一，向量組有 $n<m$ 個向量，是無關組，向量位于向量組張成子空間內時能被表示；第四類：不一定存在，但如果存在則不唯一，向量組是相關組，極大無關組不是基，可包含任意數量的向量，向量位于向量組張成子空間內時能被表示。

重要性質 據此向量組分為對應四類：基，極大無關組是基，基的真子集，極大無關組是基的真子集。

可見基和極大無關組的極其重要性，理解了它們就理解了向量組的所有內容。

這四種情況是線性代數的核心內容，線性方程據此分為四類，本書按此進行線性方程求解，所以希望讀者務必建立二維三維空間對應的幾何圖像，做到滾瓜爛熟。這里不厭其煩地再次描述下。

首先描述二維空間。第一類，向量組僅包含兩個任意不共線的向量；第二類，向量組不僅包含兩個任意不共線的向量，還必須包含其它任意數量的向量；第三類，向量組僅包含一個的向量，只能唯一表示該向量方向上的任意向量；第四類，向量組僅包含一條直線上的向量，但數量必須多于一個，則能無窮多表示該直線上的任意向量。

其次描述三維空間。第一類，向量組僅包含三個任意不共面的向量；第二類，向量組不僅包含三個任意不共面的向量，還必須包含其它任意數量的向量；第三類，向量組僅能包含少于三個的向量，如果只有一個向量，則只能唯一表示該向量方向上的任意向量，如果只有兩個向量，則兩個向量一定不共線，只能唯一表示兩個向量構成平面內的任意向量；第四類，向量組可包含任意數量多于一個的向量，但這些向量不能構成基，即是這些向量要么位于一條直線上，則能無窮多表示該直線上的任意向量，要么位于平面內，則能無窮多表示該平面內的任意向量。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1.12 四类向量组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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