函數(shù)空間

向量空間中每個點是向量，向量可以由基向量唯一表示，這個概念可以推廣到函數(shù)空間。函數(shù)空間中每個點是一元函數(shù)，函數(shù)可以由基函數(shù)唯一表示。可以簡單認為，函數(shù)空間的函數(shù)是滿足一定條件（比如閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)）的任意函數(shù)，如 $x^{\alpha },sinx,cosx,e^x,lnx,sin{x}^{2}ln(1+x)$ 。那基函數(shù)是什么？和向量空間有什么不同？

先看函數(shù)空間和向量空間的相似之處。假設閉區(qū)間連續(xù)的任意函數(shù) $f(x)$ ，在閉區(qū)間等間隔取 $m$ 個點，得到 $m$ 個函數(shù)值 $\mathbf{v}=(f(1),f(2),?,f(m))$ ，這 $m$ 個函數(shù)值是對函數(shù) $f(x)$ 的近似，也可以看作 $m$ 維空間的向量，所以任意函數(shù)都對應 $m$ 維空間的一個向量！根據(jù)向量空間基的存在性，任意函數(shù)都可以由基唯一表示。

當 $m$ 趨于無窮時，向量 $\mathbf{v}$ 就是函數(shù) $f(x)$ ，此時空間是無窮維空間，所以稱為函數(shù)空間，不是有限維的向量空間，這是第一個差別，但都是線性空間。

有限維的向量空間中內(nèi)積是分量之和，在無窮維函數(shù)空間，分量之和取極限，就是積分，所以函數(shù)空間中內(nèi)積定義為兩個函數(shù)閉區(qū)間的定積分 $(f(x),g(x))={\int }_{[a,b]}f(x)g(x)dx$ ，這是第二個差別。當內(nèi)積為零時，也稱兩個函數(shù)正交。函數(shù)范數(shù)就是閉區(qū)間的函數(shù)平方的定積分的平方根 $\Vert f(x)\Vert =\sqrt{{\int }_{[a,b]}f(x{)}^{2}dx}$ 。

函數(shù)空間的基稱為基函數(shù)。向量空間的基 $E=({\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=(0,?,1,?,0),i\in [1,m])$ ，$m$ 維向量 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ 有 $m$ 個分量，只有第 $i$ 個分量為1，其他分量均為0。此時基函數(shù)只在某個實數(shù)點等于1，其它位置均為0，即
$$\delta (x,x0)=1ifx=x0,0elsex=x0$$

當 $x0$ 取遍閉區(qū)間 $[a,b]$ 內(nèi)任意值時，就得到一組基函數(shù)。由于實數(shù)不可數(shù)，所以這種基函數(shù)個數(shù)也不可數(shù)。

另一組常用的基函數(shù)就是多項式函數(shù) $1,x,x^2,?$ ，注意是無窮多，但是可數(shù)可列的。閉區(qū)間上任意連續(xù)函數(shù)都可唯一表示為
$$f(x)=a_{0}1+a_{1}x+a_2{x}^2+?$$

$(a_0,a_1,a_2,?)$ 是系數(shù)。這類似于高數(shù)中著名的泰勒展開式，但不完全相同。泰勒展開式定理要求函數(shù)是 $m$ 階可微的，有余項，不是無窮項之和。而函數(shù)空間理論，只要求函數(shù)閉區(qū)間連續(xù)即可，沒有余項。函數(shù)連續(xù)是個很低的條件，而 $m$ 階可微是比較高的條件，故函數(shù)空間理論適用更多的函數(shù)。很可惜多項式基函數(shù)不正交，可通過正交化使之正交，此時基函數(shù)稱為Legendre(勒讓德)多項式，它們在閉區(qū)間 $[?1,1]$ 正交。

最最重要的基函數(shù)就是三角函數(shù) $1/2,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,?,sinnx,cosnx,?$ ，注意是無窮多，但是可數(shù)可列的。閉區(qū)間上周期為 $2\pi$ 的任意連續(xù)函數(shù)都可唯一表示為

$$f(x)=a_{0}1/2+a_{1}sinx+b_{1}cosx+a_{2}sin2x+b_{2}cos2x+?$$

$(a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,?)$ 是系數(shù)。這就是著名的傅立葉級數(shù)！三角函數(shù)最大的優(yōu)點是正交的，${\int }_{[0,2\pi ]}sinmxdx=0$ ， ${\int }_{[0,2\pi ]}cosnxdx=0$ ${\int }_{[0,2\pi ]}sinmxcosnxdx=0$ ，${\int }_{[0,2\pi ]}sinmxsinnxdx=0,m=n$ ，${\int }_{[0,2\pi ]}cosmxcosnxdx=0,m=n$ 。由于正交，系數(shù) $(a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,?)$ 解耦，可以獨立計算出來。而且還是標準的 ${\int }_{[0,2\pi ]}si{n}^{2}mxdx=\pi$ ，${\int }_{[0,2\pi ]}co{s}^{2}mxdx=\pi$ ，三角函數(shù)如同向量空間的標準正交基！上式對任意基函數(shù)取內(nèi)積，得
$$\begin{gathered} {\int }_{0,2\pi }f(x)dx={\int }_{0,2\pi }{a}_{0}1/2dx=\pi a_0 \\ {\int }_{0,2\pi }f(x)sinnxdx={\int }_{0,2\pi }{a}_{n}sinnxsinnxdx=\pi a_n \\ {\int }_{0,2\pi }f(x)cosnxdx={\int }_{0,2\pi }{b}_{n}cosnxcosnxdx=\pi b_n \end{gathered}$$
傅立葉級數(shù)實際應用非常廣泛，不僅數(shù)學性能好，而且對應很強的物理意義：頻率，每個表示系數(shù)對應一個頻率的能量，如 $a_0$ 是直流能量，$(a_1,b_1)$ 是基頻能量等。

當函數(shù)不是閉區(qū)間上的周期函數(shù)只是連續(xù)函數(shù)時，傅立葉級數(shù)變成傅立葉變換，基函數(shù)還是三角函數(shù)，只是不可數(shù)可列了。

實際中不可能取無窮多項的和，一般截取前 $m$ 項的和，舍棄后面項的和，這就會產(chǎn)生誤差。幸好，對于實際函數(shù)，后面項的和占比很少，而且取的項越多，占比越小。所以只要取足夠多項的和，誤差對實際影響很小。

函數(shù)空間的數(shù)學理論基礎是：魏爾斯特拉斯逼近定理：1、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可用多項式級數(shù)一致逼近。2、閉區(qū)間上周期為 $2\pi$ 的連續(xù)函數(shù)可用三角函數(shù)級數(shù)一致逼近。

總結

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