4.5 置換矩陣

是不是任意可逆矩陣都可進行 $LDU$ 分解呢？其實不能，消元操作需要除以對角元素 $a_{ii}$ ，當其為 $0$ 時，則會失敗。這時可在下面行中選擇任一對角元素不為 $0$ 的行，對調這兩行，則可繼續消元。例如

$$A=?\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 2& 3\\ 0& 1& 2\end{array}?$$

第一行第一個元素 $a_{11}$ 為 $0$ ，無法消除第二行第一列的非零元素。矩陣后面兩行中，第二行第一個元素 $a_{21}$ 非零，則對調這兩行，矩陣變換為
$$?\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 2\end{array}?$$

此時第一列元素除對角線外已經都是 $0$ 。同理消除第二列時，第二行對角線元素為 $0$ ，此時也需要對調后兩行，矩陣變換為

$$?\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 2\end{array}?$$

成為上三角陣。

重要性質 對任意可逆矩陣，經過適當的行對調操作，可以分解為 $LDU$ 。

類似消元操作，行對調操作也可以用矩陣乘法實現，該矩陣稱為置換矩陣。

定義 置換矩陣 矩陣 $P_{ij}$ 是單位矩陣 $E$ 對調 $i,j$ 兩行所得。

例如
$$P_{12}=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}?P_{13}=?\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}?P_{23}=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}?$$

矩陣 $A$ 列向量左乘置換矩陣 $P_{ij}$ 就是對調向量的 $i,j$ 兩個分量。
$$P_{ij}{\mathbf{a}}_k=P_{ij}(a_{1k},?,a_{ik},?,a_{jk},?,a_{mk})=(a_{1k},?,a_{jk},?,a_{ik},?,a_{mk})$$

$P_{ij}A$ 就是對調矩陣 $A$ 的 $(i,j)$ 兩行。

置換矩陣是正交矩陣， $P^{T}P=E$ 。對矩陣進行多次行對調操作，就是多個置換矩陣連乘，記為 $P$ ， $P$ 是單位矩陣 $E$ 進行相應的多次行對調結果。

$$P=P_{21}{P}_{32}=?\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}?$$

重要性質 對任意可逆矩陣 $A$，經過適當的行對調操作 $P$，可以分解為 $PA=LDU$ 。

我們還可以換個角度看待 $PA=LDU$ ，由于各矩陣均可逆，得 $(LDU{)}^{?1}PA=E$ ，令 $P^{\prime }=(LDU{)}^{?1}P$ 則 $P^{\prime }A=E$ ，這說明 $P^{\prime }$ 是逆矩陣 $A^{?1}$。通過高斯消元法可得到逆矩陣 $A^{?1}=U^{?1}{D}^{?1}{L}^{?1}P$ ，對角陣 $D$ 可逆，需對角元素均不為零，故矩陣 $A$ 主元均不為零時，矩陣 $A$ 可逆。

當矩陣 $A$ 是對稱矩陣時，假設沒有行對調，則 $S=LDU$ ，取轉置，$S^T=(LDU{)}^T=U^T{D}^T{L}^T=U^{T}D{L}^T=S=LDU$ ，所以有 $L^T=U$ 成立。

重要性質 對稱矩陣，假設沒有行對調，則可以分解為 $S=LD{L}^T$ 。

總結

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