4.8 行滿秩方程

高斯約當消元法還可以應用于行滿秩矩陣，行滿秩矩陣進行高斯約當消元法，最終矩陣變為單位矩陣和自由矩陣。例如方程

$$\begin{gathered} 2x+4y+6z=12 \\ 4x+9y+13z=36 \end{gathered}$$

系數矩陣為
$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 9& 13\end{array}\right]$$
是行滿秩矩陣。

方程有 $3$ 個未知數，但是只有 $2$ 個方程，有無窮多解。

增廣矩陣進行高斯消元法

$$\left[\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 12\\ 4& 9& 13& 36\end{array}\right]?\left[\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 12\\ 0& 1& 1& 12\end{array}\right]$$

方程變為
$$\begin{gathered} 2x+4y+6z=12 \\ y+z=12 \end{gathered}$$

未知數 $z$ 是自由變量，可取任意實數，方程解可以表示為
$$\begin{gathered} x=?18?z \\ y=12?z \\ z=0＋z \end{gathered}$$

寫成向量形式

$$?\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}?=?\begin{array}{c}?18\\ 12\\ 0\end{array}?+z?\begin{array}{c}?1\\ ?1\\ 1\end{array}?$$

$z$ 取任意實數。

這是只有一個自由變量的情況，如果有多個呢？舉例說明。
$$\begin{gathered} 2x+4y+6z+w=12 \\ 4x+9y+13z+4w=36 \end{gathered}$$

系數矩陣為
$$A=\left[\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 1\\ 4& 9& 13& 4\end{array}\right]$$
是行滿秩矩陣。

方程有 $4$ 個未知數，但是只有 $2$ 個方程，有無窮多解。

增廣矩陣進行高斯消元法

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& 6& 1& 12\\ 4& 9& 13& 4& 36\end{array}\right]?\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& 6& 1& 12\\ 0& 1& 1& 2& 12\end{array}\right]$$

方程變為
$$\begin{gathered} 2x+4y+6z+w=12 \\ y+z+2w=12 \end{gathered}$$

未知數 $z,w$ 是自由變量，可取任意實數，方程解可以表示為
$$\begin{gathered} x=?18?z?w \\ y=12?z?2w \\ z=0＋z+0w \\ w=0+0z+w \end{gathered}$$

寫成向量形式

$$?\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}?=?\begin{array}{c}?18\\ 12\\ 0\\ 0\end{array}?+z?\begin{array}{c}?1\\ ?1\\ 1\\ 0\end{array}?+w?\begin{array}{c}?1\\ ?2\\ 0\\ 1\end{array}?$$

$z,w$ 取任意實數。

有幾點需要說明，第 $1$ 點，自由變量不一定非取 $z,w$ ，有多種取法，比如可取 $y,w$ 。

方程為

$$\begin{gathered} 2x+4y+6z+w=12 \\ y+z+2w=12 \end{gathered}$$

未知數 $y,w$ 是自由變量，可取任意實數，方程解可以表示為
$$\begin{gathered} x=?60+2y+11w \\ z=12?y?2w \\ y=0+y+0w \\ w=0+0y+w \end{gathered}$$

寫成向量形式

$$?\begin{array}{c}x\\ z\\ y\\ w\end{array}?=?\begin{array}{c}?60\\ 12\\ 0\\ 0\end{array}?+y?\begin{array}{c}2\\ ?1\\ 1\\ 0\end{array}?+w?\begin{array}{c}11\\ ?2\\ 0\\ 1\end{array}?$$

$y,w$ 取任意實數。

這兩組解的形式雖然差別很大，但其實都是方程的解。

第 $2$ 點，自由變量雖然有多種取法，但自由變量的數量是固定的，為 $n?m$ ，是矩陣 $A$ 零空間的維度。

第 $3$ 點，向量 $?\begin{array}{c}2\\ ?1\\ 1\\ 0\end{array}?$ 和向量 $?\begin{array}{c}11\\ ?2\\ 0\\ 1\end{array}?$ 是方程 $A\mathbf{x}=0$ 解，稱為零解，它們線性組合構成矩陣 $A$ 零空間。一般來說，每個零解中自由變量組均取單位向量 ${\mathbf{e}}_i$ ，即只有一個自由變量取 $1$ ，其它均為 $0$ ，這樣計算比較方便。

第 $4$ 點，向量 $?\begin{array}{c}?60\\ 12\\ 0\\ 0\end{array}?$ 是方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 解，稱為特解。一般來說，特解中自由變量均取 $0$ ，這樣計算比較方便，當然也可取任意值。

所以行滿秩方程解的結構為：特解 $+$ 零解的線性組合。

第 $5$ 點，非自由變量對應的列向量，是矩陣列空間的基。本例中，$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 9\end{array}\right]$ 這兩個列向量是列空間的基。由于自由變量有多種取法，故基也有多種。

前面都是非自由變量對應的列向量在矩陣的最前列，即最前面的上三角陣是可逆的，但有時不可逆。例如方程

$$\begin{gathered} 2x+y+3z+2w=5 \\ 4x+2y+7z+5w=12 \end{gathered}$$

增廣矩陣進行高斯消元法

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 3& 2& 5\\ 4& 2& 7& 5& 12\end{array}\right]?\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 3& 2& 5\\ 0& 0& 1& 1& 2\end{array}\right]$$

前面兩列是矩陣
$$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$$

對角元素有 $0$ ，上三角陣不可逆。對應方程為

$$\begin{gathered} 2x+y+3z+2w=5 \\ 0x+0y+z+w=2 \end{gathered}$$

那怎么選非自由變量呢？我們把非自由變量稱為主元。每行選一個，從左到右選首個非零元素對應的變量為主元。第一行首個非零元素是 $2$ ，對于主元是 $x$ ，第二行首個非零元素是 $1$ ，對于主元是 $z$ ；則自由變量就是 $y,w$ ，可取任意實數，方程解可以表示為
$$\begin{gathered} x=?1?y+w \\ z=2?0y?w \\ y=0+y+0w \\ w=0+0y+w \end{gathered}$$

寫成向量形式

$$?\begin{array}{c}x\\ z\\ y\\ w\end{array}?=?\begin{array}{c}?1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}?+y?\begin{array}{c}?1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}?+w?\begin{array}{c}1\\ ?1\\ 0\\ 1\end{array}?$$

$y,w$ 取任意實數。

矩陣 $A$ 經過高斯消元變換為 $\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 2\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$ ，但我們希望前兩列向量是上三角陣，這樣更有利于理論分析和對比。這可通過列對調操作實現，即對調 $2,3$ 列向量，則前兩列向量是上三角陣。列對調操作類似行對調操作，可以通過置換矩陣實現，差別在于：行對調是左乘，列對調是右乘，即 $P_{ij}A$ 對調矩陣 $i,j$ 兩行， $A{P}_{ij}$ 對調矩陣 $i,j$ 兩列。

總結如下，行滿秩矩陣 $A_{mn}$，高斯消元法變換為 $\left[\begin{array}{c}{U}_{mm},F_{m,n?m}\end{array}\right]$ ，$U_{mm}$ 是 $m$ 階上三角陣，其對角元素是矩陣 $A$ 的主元，$F_{m,n?m}$ 是自由矩陣。用矩陣乘法表示為 $L_{mm}A=\left[\begin{array}{c}{U}_{mm},F_{m,n?m}\end{array}\right]$ ，$L_{mm}$ 是 $m$ 階單位下三角陣。上三角陣對應的變量是主元，自由矩陣對應的變量是自由變量。方程解結構為：特解加零解。如有必要，需進行列對調。矩陣乘法表示，即對任意行滿秩矩陣 $A$ ，存在可逆矩陣 $P,Q$ ，使 $PAQ=\left[\begin{array}{c}{U}_{mm},F_{m,n?m}\end{array}\right]$ 成立，進一步對 $U_{mm}$ 進行高斯約當消元，則可表示為，存在可逆矩陣 $P,Q$ ，使 $PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{mm},F_{m,n?m}\end{array}\right]$ 成立。

前面章節介紹了，行滿秩矩陣的列向量組是相關組，其極大無關組是 $m$ 維空間的基。利用高斯消元法可以找到行滿秩矩陣的極大無關組，主元對應的列向量即是極大無關組。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的4.8 行满秩方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。