4.7 列滿秩方程

對于可逆矩陣，高斯約當(dāng)消元法可以求得方程的解和逆矩陣，同樣也可以應(yīng)用于列滿秩矩陣。列滿秩矩陣進(jìn)行高斯約當(dāng)消元法，最終矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚭土憔仃嚒＠绶匠?/p>

$$\begin{gathered} 2x+4y=2 \\ 4x+9y=8 \\ 6x+13y=10 \end{gathered}$$

系數(shù)矩陣為
$$A=?\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 9\\ 6& 13\end{array}?$$
是列滿秩矩陣。

方程有 $2$ 個未知數(shù)，但是有 $3$ 個方程，一般來說是矛盾方程，無解。但當(dāng) $\mathbf{b}$ 能被矩陣 $A$ 向量組表示時，有唯一解。

增廣矩陣進(jìn)行高斯消元法

$$?\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 4& 9& 8\\ 6& 13& 10\end{array}???\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 0& 1& 4\\ 0& 1& 4\end{array}???\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 0\end{array}?$$

注意此時最后一個方程變?yōu)?$0x+0y=0$ ，是永遠(yuǎn)成立的平凡方程！真正有效的方程數(shù)量是 $2$ 個。方程解為 $x=?7,y=4$ 。

如果第3個方程系數(shù)改變

$$\begin{gathered} 2x+4y=2 \\ 4x+9y=8 \\ 6x+13y=11 \end{gathered}$$

最后變換為

$$?\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}?$$

注意此時最后一個方程變?yōu)?$0x+0y=1$ ，無解！

總結(jié)如下，列滿秩矩陣 $A_{mn}$，高斯消元法變換為 $\left[\begin{array}{c}{U}_{nn}\\ {\mathbf{O}}_{m?n,n}\end{array}\right]$ ，$U_{nn}$ 是 $n$ 階上三角陣，其對角元素是矩陣 $A$ 的主元且均不為零，${\mathbf{O}}_{m?n,n}$ 是零矩陣。矩陣乘法表示為 $L_{mm}A=\left[\begin{array}{c}{U}_{nn}\\ {\mathbf{O}}_{m?n,n}\end{array}\right]$ ，$L_{mm}$ 是 $m$ 階單位下三角陣。

對向量 $\mathbf{b}$ ，如果 $L_{mm}\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{b}}^{\prime }\\ 0\end{array}\right]$ ，即后 $m?n$ 個分量都為 $0$ ，則方程 $A_{mn}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解；只要后 $m?n$ 個分量有一個不為 $0$ ，則方程無解。

$U_{nn}$ 繼續(xù)進(jìn)行高斯約當(dāng)消元，則變?yōu)閱挝痪仃?$E_{nn}$ ，用矩陣乘法表示為 $P_{mm}A=\left[\begin{array}{c}{E}_{nn}\\ {\mathbf{O}}_{m?n,n}\end{array}\right]$ ，$P_{mm}$ 是 $m$ 階可逆矩陣。

上面的方法是沒有進(jìn)行行對調(diào)，如果需要則可以先進(jìn)行行對調(diào)，再進(jìn)行消元。

矩陣乘法表示，即對任意列滿秩矩陣 $A$ ，存在可逆矩陣 $P,Q$ ，使 $PAQ=\left[\begin{array}{c}{U}_{nn}\\ {\mathbf{O}}_{m?n,n}\end{array}\right]$ 成立，進(jìn)一步對 $U_{nn}$ 進(jìn)行高斯約當(dāng)消元，則可表示為，存在可逆矩陣 $P,Q$ ，使 $PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{nn}\\ {\mathbf{O}}_{m?n,n}\end{array}\right]$ 成立。

前面章節(jié)介紹了，列滿秩矩陣的行向量組是相關(guān)組，其極大無關(guān)組是 $n$ 維空間的基。利用高斯消元法可以找到列滿秩矩陣的極大無關(guān)組，變換后的矩陣 $U_{nn}$ 對應(yīng)到矩陣 $A$ 的行向量即是極大無關(guān)組。本例中
$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 9\end{array}\right]$ 這兩個行向量就是矩陣 $A$ 行向量的極大無關(guān)組。

總結(jié)

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