序言

由于OT與測度論聯系密切，我們在這里回顧和補充一些測度的基本知識。此部分的內容主要摘自徐鳳老師《實變函數》的教學視頻和周民強老師的《實變函數論》。

勒貝格外測度

定義： 設 $a_1,b_1;a_2,b_2;...;a_n,b_n$ 是$n$組數，且$a_i\le b_i,(i=1,2,..,n)$，則稱$R^n$中的點集 $$I=\{x|x=(x_1,x_2,...,x_n),a_i<x_i<b_i,i=1,2,...,n\}$$ 為$R^n$中的開區間。（空集也是開區間，$a_i=b_i$）
稱點集 $$I=\{x|x=(x_1,x_2,...,x_n),a_i<x_i\le b_i,i=1,2,...,n\}$$
為$R^n$中的左半開區間。 若$I$為區間，則稱 $$\prod _{i=1}^n(b_i?a_i)=(b_1?a_1)\times (b_2?a_2)\times ...\times (b_n?a_n)$$
為$I$的體積，記為$|I|$。

定義：設$E?R^n$，若$I_k$是$R^n$中的可數個開矩體（開區間），且有 $$E?{\cup }_{k\ge 1}{I}_k,$$ 則稱$I_k$為$E$的L-覆蓋。
顯然，這樣的L-覆蓋有很多，且每一個L覆蓋$I_k$確定一個非負廣義實值${\sum }_{k\ge 1}|I_k|$，稱
$$m^{?}(E)=inf\{\sum _{k\ge 1}|I_k|：I_k為E的L?覆蓋\}$$
為點集E的Lebesgue外測度。

定理（$R^n$中點集的外測度的性質）
（1）非負性：$m^{?}(E)\ge 0$，當且僅當$E=?$，$m^{?}(E)=0$。
（2）單調性：若$E_1?E_2$，則$m^{?}(E_1)\le m^{?}(E_2)$。
（3）次可加性：$m^{?}({\cup }_{k=1}^{\infty }{E}_k)\le {\sum }_{k=1}^{\infty }{m}^{?}(E_k)$
（4）若$d(A,B)>0$，則$m^{?}(A\cup B)=m^{?}(A)+m^{?}(B)$

推論：
（1）若$E?R^n$為可數點集，則$m^{?}(E)=0$。
（2）若$I$是$R^n$中的開矩體，則$m^{?}(I)=m^{?}(\bar{I})=|I|$。
注：有限點集和可列點集的并是可數點集。

勒貝格內測度

定義：設$E$是$R^n$中一有界點集，$I$是任一包含$E$的開區間，則稱
$$|I|?m^{?}(I\backslash E)$$
為E的內測度，記為$m_{?}(E)$

性質：
（1）$m_{?}(E)\ge 0$
（2）$m_{?}(E)\ge m^{?}E$
（3）$E$的內測度相當于$E$的內接多邊形的體積。

可測集

定義：設$E$是$R^n$中的有界集合。如果$m_{?}(E)=m^{?}(E)$，則稱$E$為有界可測集。此時稱$E$的外（內）測度值為$E$的勒貝格測度，簡稱為E的測度，記作$m(E)$。即 $$m(E)=m_{?}(E)=m^{?}(E)$$

定義：設$E$是$R^n$中的無界點集，若對任何開區間$I$，$E\cap I$都是有界可測集。則稱$E$為無界可測集。且$m(E)=m^{?}(E)$

定義：有界可測集和無界可測集統稱為可測集。

定義（勒貝格測度常用定義）：設$E$是$R^n$中的點集，如果對任意點集$T$都有 $$m^{?}(T)=m^{?}(T\cap E)+m^{?}(T\cap C_E)$$
則稱E是勒貝格可測集，簡稱可測集。這時稱$E$的外側度$m^{?}E$為$E$的外側度，記為$m(E)$。

定理（判定集合可測的兩個充要條件）
（1）點集$E$為可測集的充要條件是$C_E$為可測集。
（2）點集$E$可測的充要條件是對任意的$A?E,B?C_E$，恒有
$$m^{?}(A\cup B)=m^{?}(A)+m^{?}(B)$$

定理：設$E_1,E_2$為可測集，則
（1）$E_1\cup E_2$為可測集。
特別地，當$E_1\cap E_2=?$時，對任意點集$T$,總有
$$m^{?}(T\cap (E_1\cup E_2))=m^{?}(T\cap E_1)+m^{?}(T\cap E_2)$$
（2）$E_1\cap E_2$為可測集。
（3）$E_1\backslash E_2$為可測集。（可測集的并、交、補、差都是可測集）
（4）若$E_i$為可測集$(i=1,2,...)$，則其并集也屬于可測集。若進一步有$E_i\cap E_j=?(i=j)$，則
$$m^{?}({\cup }_{i=1}^{\infty }{E}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }{m}^{?}(E_i)$$
即$m^{?}$在可測集上滿足可加性。
（5）設$E_i(i=1,2,...)$都是可測集，則${\cap }_{i=1}^{infty}{E}_i$也是可測集。

測度的運算

**定理（遞增可測集列的測度運算）**若有遞增可測集列$E_1?E_2?...?E_k...$，則
$$m(\underset{k\to \infty }{\lim }{E}_k)=\underset{k\to \infty }{\lim }m(E_k)$$
注：根據集合論的知識，對于單調遞增的集合，有$E={\cup }_{n=1}^{\infty }{E}_n={\lim }_{n\to \infty }{E}_n$
**定理（遞減可測集列的測度運算）**若有遞減的可測集列$E_1?E_2...?E_k?...$，且$m(E_1)<+\infty$，則
$$m(\underset{k\to \infty }{\lim }{E}_k)=\underset{k\to \inf }{\lim }m(E_k)$$
注：根據集合論的知識，對于單調遞減的集合，有$E={\cap }_{n=1}^{\infty }{E}_n={\lim }_{n\to \infty }{E}_n$

常見的勒貝格可測集

定理 任何區間$I$都是可測集，且$m(I)=|I|$
引理 $R^n$中任何非空開集都可表示為之多可列個開區間的并。
定理 任何開集、閉集都是可測集。
例 康托集為可測集且測度為0。
定義 若集合$G$可表為一列開集$G_i$之交：
$$G={\cap }_{i=1}^{\infty }{G}_i$$
則稱$G$為$G_{\delta }$型集。
定義 若集合$F$可表示為一列閉集$F_i$之并：
$$F={\cap }_{i=1}^{\infty }{F}_i$$
則稱$F$為$F_{\sigma }$型集。
注：由定義容易看出$G_{\delta }$（$F_{\sigma }$）型集的補集必為$F_{\sigma }$（$G_{\delta }$）型集。
定義 凡屬可以從開集出發，用取補集、有限個或可列個集合的并或交等手續得到的集合，統稱為Broel（波雷爾）集。
注：$G_{\delta }$型集和$F_{\sigma }$型集都是Broel集。
定理 任何Broel集都是可測集。

勒貝格可測集的構造

引理 $R^n$中任何可測集都可表為至多可列個互不相交的有界可測集的并。
可測集與開集、閉集的關系
定理 點集$E$可測的充要條件是對任意$\epsilon >0$，恒有開集$G?E$，使$m^{?}(G?E)<\epsilon$。
定理 點集$E$可測的充要條件是對任意$\epsilon >0$，恒有閉集$F?E$，使$m^{?}(E?F)<\epsilon$

可測集與G型集合與F型集合的關系
定理 對任一可測集$E$，恒有$G_{\delta }$型集$G?E$，使得$m(G?E)=0$。
定理 對任一可測集E，恒有$F_{\sigma }$型集$F?E$，使得$m(E?F)=0$。
定理 任何可測集必是一個波雷爾集與一個測度為零的可測集并集；同時也必是一個波雷爾集與一個測度為0的可測集的差集。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的测度的基本知识的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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