矩陣的秩的定理

• 證明$Rank(A^{T}A)=Rank(A)$
• 證明 $Rank(A+B)<=Rank(A)+Rank(B)$

證明$Rank(A^{T}A)=Rank(A)$

我是看stackexchange上的回答看懂的。下面是中文版的證明。
矩陣A是一個$m\times n$的矩陣，我們將滿足$Ax=0$的所有$x$構成的集合稱為A的null space,寫做$N(A)$.
我們先證明
① $N(A)?N(A^{T}A)$
對任何$x\in N(A)$而言有：
$Ax=0$
$?A^{T}Ax=0$
$?x\in N(A^{T}A)$
再證明
②$N(A^{T}A)?N(A)$
對任何$x\in N(A^{T}A)有：$
$A^{T}Ax=0$
$?x^T{A}^{T}AX=0$
$?(Ax{)}^T(Ax)=0$
$?Ax=0$
$?x\in N(A)$
由①②可得
$N(A^{T}A)=N(A)$
$?dim(N(A^{T}A))=dim(N(A))$
由Rank-nullity theorem：對$A_{m\times n}而言，dim(N(A))+rank(A)=n$,我們可以得到，$rank(A^{T}A)=rank(A)$.

證明 $Rank(A+B)<=Rank(A)+Rank(B)$

轉載自Show that $Rank(A+B)<=Rank(A)+Rank(B)$.如下是中文版的證明：
讓$A$和$B$的列以$a_1,...,a_n$，$b_1,..,b_n$表示，$A=<a_1,...,a_n>,B=<b_1,...,b_n>$
$A+B=<a1+b1,...,a_n+b_n>$，向量組$<a1+b1,...,a_n+b_n>$可以由$<a_1,...,a_n,b_1,...,b_n>$線性表出，所以
$Rank(A+B)=Rank(<a1+b1,...,a_n+b_n>)<=Rank(<a_1,...,a_n,b_1,...,b_n>)=Rank(A)+Rank(B)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵的秩的一些定理证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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