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作者：fasiondog

參考：王東生、曹磊編著，《混沌、分形及其應(yīng)用》，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1995年

混沌（chaos）是現(xiàn)代科學(xué)的重要概念，是非線性科學(xué)的一個非常重要的內(nèi)容。十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初，龐加萊和李雅譜諾夫等人的研究，奠定了混沌學(xué)的科學(xué)基礎(chǔ)，并激發(fā)了人們進(jìn)一步探索有關(guān)的問題。混沌作為一門新興的科學(xué)，是人類在認(rèn)識大自然中的不規(guī)則性方面的一個舉足重輕的突破。它已滲透到全部科學(xué)之中，其對全部科學(xué)的影響（包括自然科學(xué)及社會科學(xué)乃至哲學(xué)）所起的作用相當(dāng)于微積分在十九世紀(jì)對數(shù)理工程科學(xué)的影響。人們認(rèn)為，“二十世紀(jì)科學(xué)將永遠(yuǎn)銘記的只有三件事，那就是相對論、量子力學(xué)和混沌”。相對論消除了關(guān)于絕對空間與時間的幻象；量子力學(xué)消除了關(guān)于可控測量過程的牛頓式的夢；而混沌則消除了拉普拉斯關(guān)于決定論式的可預(yù)測性的幻想。

混沌現(xiàn)象簡介

“混沌”是近代非常引人注目的熱點研究，它掀起了繼相對論和量子力學(xué)以來基礎(chǔ)科學(xué)的第三次革命。科學(xué)中的混沌概念不同于古典哲學(xué)和日常語言中的理解，簡單地說，混沌是一種確定系統(tǒng)中出現(xiàn)的無規(guī)則的運動。混沌理論所研究的是非線性動力學(xué)混沌，目的是要揭示貌似隨機(jī)的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡單規(guī)律，以求發(fā)現(xiàn)一大類復(fù)雜問題普遍遵循的共同規(guī)律。

1963年，Lorenz在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”一文，指出在氣候不能精確重演與長期天氣預(yù)報者無能為力之間必然存在著一種聯(lián)系，這就是非周期與不可預(yù)見性之間的聯(lián)系。他還發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象“對初始條件的極端敏感性” 。這可以生動的用“蝴蝶效應(yīng)”來比喻：在做氣象預(yù)報時，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，這一擾動，就會在很遠(yuǎn)的另一個地方造成非常大的差異，將使長時間的預(yù)測無法進(jìn)行。

在60年代研究的基礎(chǔ)上，混沌學(xué)的研究開始進(jìn)入高潮。1971年，科學(xué)家在耗散系統(tǒng)中正式的引入了奇異吸引子的概念（如Henon吸引子[見圖（1-1）]、Lorenz吸引子[見圖（2-2）]。1975年，J.York和T.Y lie提出了混沌的科學(xué)概念。整個70年代中期，人們不但在理論上對混沌做更深層次的研究，而且努力在實驗室中找尋奇異吸引子。J.York在他的著名論文“周期3意味著混沌”中，指出：在任何一維系統(tǒng)中，只要出現(xiàn)周期3，則該系統(tǒng)也能出現(xiàn)其他長度的周期，也能呈現(xiàn)完全的混沌。

??? 在確定性的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌，改變了人們過去一直認(rèn)為宇宙是一個可以預(yù)測的系統(tǒng)的看法。用決定論的方程，找不到穩(wěn)定的模式，得到的卻是隨機(jī)的結(jié)果，徹底打破了拉普拉斯決定論式的可預(yù)測性的幻想。但人們同時發(fā)現(xiàn)到過去許多曾被認(rèn)為是噪聲的信號，其實是一些簡單的規(guī)則生成的。這些包含內(nèi)在規(guī)則的“噪聲”不同于真正的噪聲，它們的這種規(guī)則是完全可以應(yīng)用的。

圖（1-1） Henon吸引子

對于什么是混沌，目前科學(xué)上還沒有確切的定義，但隨著研究的深入，混沌的一系列特點和本質(zhì)的被揭示，對混沌完整的、具有實質(zhì)性意義的確切定義將會產(chǎn)生。目前人們把混沌看成是一種無周期的有序。它包括如下特征：

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1．混沌具有內(nèi)在的確定性，它雖然貌似噪聲，但不同于噪聲，系統(tǒng)是由完全確定的方程描述的，無需附加任何隨機(jī)因數(shù)，但系統(tǒng)仍會表現(xiàn)出類似隨機(jī)性的行為；

2．混沌具有分形的性質(zhì)，前面提到的lorenz吸引子，Henon吸引子都具有分形的結(jié)構(gòu)；

3．混沌具有標(biāo)度不變性，是一種無周期的有序。在由分岔導(dǎo)致混沌的過程中，還遵從Feigenbaum常數(shù)系。

4．混沌現(xiàn)象還具有對初始條件的敏感依賴性。只要初始條件稍有偏差或微小的擾動，則會使得系統(tǒng)的最終狀態(tài)出現(xiàn)巨大的差異。因此混沌系統(tǒng)的長期演化行為是不可預(yù)測的。

檢測實際系統(tǒng)中存在混沌現(xiàn)象的意義

傳統(tǒng)上，人們把信號分為兩大類：

l??????? 確定性信號??? 這種信號所有時刻的波形都是確定的；

l??????? 隨機(jī)過程????? 它的波形由概率分布確定。

圖（1-2） Logistic 映射與隨機(jī)噪聲

然而，這樣的分類忽略了另一類極為重要的信號——混沌信號。混沌信號的波形是非常不規(guī)則的，表面上看來就象噪聲，但實際上它卻是由確定性的規(guī)則所產(chǎn)生的，這種規(guī)則有時是很簡單的。正是這種簡單的規(guī)則產(chǎn)生出復(fù)雜的波形激發(fā)了人們對它極大的興趣。在圖（1-2）中，我們向大家展示了由Logistic映射所生成的混沌信號與白噪聲信號，從表面上我們是無法判斷出噪聲與混沌的。讓人興奮的是：實踐證明，在大量的物理系統(tǒng)和自然系統(tǒng)中都存在著混沌信號！雖然，混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)使我們無法對系統(tǒng)的長期行為進(jìn)行預(yù)測，但是我們完全可以利用混沌的規(guī)律對系統(tǒng)進(jìn)行短期的行為預(yù)測，這樣比傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)方法更加有效。

?混沌學(xué)在工程中的應(yīng)用可以分為兩大類：

（1）合成混沌信號：? 生成類似噪聲的混沌信號

（2）分析混沌信號：? 從某種現(xiàn)象中檢測混沌信號是否存在。

??? 在本文中，我們將主要討論第二個話題。檢測到混沌現(xiàn)象的存在，對我們更深刻的認(rèn)識系統(tǒng)的特征是極為有利的。在大多數(shù)情況下，當(dāng)我們確認(rèn)系統(tǒng)中存在混沌時，我們可以利用混沌學(xué)的原理，將混沌信號從有用的信號中濾除，從而達(dá)到改善信噪比的結(jié)果，而這用傳統(tǒng)的濾波方法有時或許是無效的。

檢測混沌現(xiàn)象的幾種方法

天然存在的系統(tǒng)（物理系統(tǒng)、化學(xué)系統(tǒng)或生物系統(tǒng)）能呈現(xiàn)混沌，這一點目前已得到普遍共識，并引起了許多學(xué)者在實驗室里或在自然狀況下對混沌識別進(jìn)行嘗試。然而在實驗系統(tǒng)里，噪聲會與決定系統(tǒng)演化的內(nèi)在方程所支配的動力學(xué)特性發(fā)生相互作用，故實驗系統(tǒng)肯定會有隨機(jī)輸入，從而給混沌的識別帶來了許多困難。下面我們簡要的介紹現(xiàn)今用來識別混沌的幾種不同的方法。

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功率譜

最為人們所熟識且應(yīng)用最多的一種表征復(fù)雜時間序列特性的統(tǒng)計量是功率譜（power spectrum），它把復(fù)雜的時間序列分解成不同頻率的正弦振蕩的疊加。在給定頻率處的功率譜值與頻率的正弦波系數(shù)的平方成正比。典型的功率譜由一個或多個尖峰，它們對應(yīng)于信號中出現(xiàn)的主要頻率。除這些主峰外，其他頻率也可能出現(xiàn)，不過幅度較低，而且功率譜通常分布在一個寬頻帶上。

寬頻帶功率譜（多半具有疊加尖峰）往往與混沌動態(tài)相聯(lián)系。但不幸的是，“噪聲”也與寬帶譜密切相關(guān)，因而出現(xiàn)寬帶譜并不足以確認(rèn)與噪聲相對的混沌。

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相空間重構(gòu)

混沌的產(chǎn)生是系統(tǒng)整體穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性共同作用的結(jié)果，局部的不穩(wěn)定性使它具有對初值的敏感性，而整體的穩(wěn)定性則使它在相空間（又稱狀態(tài)空間）表現(xiàn)出一定的分形結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)被稱為混沌吸引子。正是這種精密的吸引子結(jié)構(gòu)，使我們可以利用它來達(dá)到分辨噪聲與混沌的目的，因為真正的噪聲在相空間中仍然表現(xiàn)出一團(tuán)糟的情況。相空間重構(gòu)技術(shù)是一種簡單而實用的技術(shù)，但它依然有著極大的局限性。這是因為使用相空間技術(shù)來觀察吸引子的結(jié)構(gòu)，依靠的是人眼的辨別，當(dāng)吸引子的維數(shù)高于三維時，我們將束手無策。另外，并非所有的混沌現(xiàn)象都存在著混沌吸引子（如Logist映射）。

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李雅譜諾夫指數(shù)和維數(shù)

有關(guān)非線性動力學(xué)的研究工作已提出了一些定量刻劃復(fù)雜動力學(xué)性態(tài)的量度。其中兩個最常用的量是李雅譜諾夫指數(shù)（Lyapunov Exponent）和維數(shù)（Dimension），它們分別量度動力學(xué)性態(tài)的規(guī)則性程度和幾何結(jié)構(gòu)。李雅譜諾夫指數(shù)描述了系統(tǒng)軌跡收斂或發(fā)散的比率，當(dāng)一個系統(tǒng)中同時存在正的和負(fù)的李雅譜諾夫指數(shù)時，便意味著混沌的存在。事實上李雅譜諾夫指數(shù)的重要作用之一就是判斷系統(tǒng)的混沌行為。我們這里的維數(shù)是指的混沌吸引子所具有的分?jǐn)?shù)維維數(shù)。在相空間中維數(shù)反映描述了在相空間中運動所需要的不多不少的變量個數(shù)，而在吸引子中維數(shù)則說明了刻畫該吸引子所必需的信息量。

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總結(jié)

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