混沌现象简介
來源: http://blog.csdn.net/kongdong/
作者:fasiondog
參考:王東生、曹磊編著,《混沌、分形及其應(yīng)用》,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1995年
混沌(chaos)是現(xiàn)代科學(xué)的重要概念,是非線性科學(xué)的一個非常重要的內(nèi)容。十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初,龐加萊和李雅譜諾夫等人的研究,奠定了混沌學(xué)的科學(xué)基礎(chǔ),并激發(fā)了人們進(jìn)一步探索有關(guān)的問題。混沌作為一門新興的科學(xué),是人類在認(rèn)識大自然中的不規(guī)則性方面的一個舉足重輕的突破。它已滲透到全部科學(xué)之中,其對全部科學(xué)的影響(包括自然科學(xué)及社會科學(xué)乃至哲學(xué))所起的作用相當(dāng)于微積分在十九世紀(jì)對數(shù)理工程科學(xué)的影響。人們認(rèn)為,“二十世紀(jì)科學(xué)將永遠(yuǎn)銘記的只有三件事,那就是相對論、量子力學(xué)和混沌”。相對論消除了關(guān)于絕對空間與時間的幻象;量子力學(xué)消除了關(guān)于可控測量過程的牛頓式的夢;而混沌則消除了拉普拉斯關(guān)于決定論式的可預(yù)測性的幻想。
混沌現(xiàn)象簡介
“混沌”是近代非常引人注目的熱點研究,它掀起了繼相對論和量子力學(xué)以來基礎(chǔ)科學(xué)的第三次革命。科學(xué)中的混沌概念不同于古典哲學(xué)和日常語言中的理解,簡單地說,混沌是一種確定系統(tǒng)中出現(xiàn)的無規(guī)則的運動。混沌理論所研究的是非線性動力學(xué)混沌,目的是要揭示貌似隨機(jī)的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡單規(guī)律,以求發(fā)現(xiàn)一大類復(fù)雜問題普遍遵循的共同規(guī)律。
1963年,Lorenz在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”一文,指出在氣候不能精確重演與長期天氣預(yù)報者無能為力之間必然存在著一種聯(lián)系,這就是非周期與不可預(yù)見性之間的聯(lián)系。他還發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象“對初始條件的極端敏感性” 。這可以生動的用“蝴蝶效應(yīng)”來比喻:在做氣象預(yù)報時,只要一只蝴蝶扇一下翅膀,這一擾動,就會在很遠(yuǎn)的另一個地方造成非常大的差異,將使長時間的預(yù)測無法進(jìn)行。
在60年代研究的基礎(chǔ)上,混沌學(xué)的研究開始進(jìn)入高潮。1971年,科學(xué)家在耗散系統(tǒng)中正式的引入了奇異吸引子的概念(如Henon吸引子[見圖(1-1)]、Lorenz吸引子[見圖(2-2)]。1975年,J.York和T.Y lie提出了混沌的科學(xué)概念。整個70年代中期,人們不但在理論上對混沌做更深層次的研究,而且努力在實驗室中找尋奇異吸引子。J.York在他的著名論文“周期3意味著混沌”中,指出:在任何一維系統(tǒng)中,只要出現(xiàn)周期3,則該系統(tǒng)也能出現(xiàn)其他長度的周期,也能呈現(xiàn)完全的混沌。
??? 在確定性的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌,改變了人們過去一直認(rèn)為宇宙是一個可以預(yù)測的系統(tǒng)的看法。用決定論的方程,找不到穩(wěn)定的模式,得到的卻是隨機(jī)的結(jié)果,徹底打破了拉普拉斯決定論式的可預(yù)測性的幻想。但人們同時發(fā)現(xiàn)到過去許多曾被認(rèn)為是噪聲的信號,其實是一些簡單的規(guī)則生成的。這些包含內(nèi)在規(guī)則的“噪聲”不同于真正的噪聲,它們的這種規(guī)則是完全可以應(yīng)用的。
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對于什么是混沌,目前科學(xué)上還沒有確切的定義,但隨著研究的深入,混沌的一系列特點和本質(zhì)的被揭示,對混沌完整的、具有實質(zhì)性意義的確切定義將會產(chǎn)生。目前人們把混沌看成是一種無周期的有序。它包括如下特征:
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1.混沌具有內(nèi)在的確定性,它雖然貌似噪聲,但不同于噪聲,系統(tǒng)是由完全確定的方程描述的,無需附加任何隨機(jī)因數(shù),但系統(tǒng)仍會表現(xiàn)出類似隨機(jī)性的行為;
2.混沌具有分形的性質(zhì),前面提到的lorenz吸引子,Henon吸引子都具有分形的結(jié)構(gòu);
3.混沌具有標(biāo)度不變性,是一種無周期的有序。在由分岔導(dǎo)致混沌的過程中,還遵從Feigenbaum常數(shù)系。
4.混沌現(xiàn)象還具有對初始條件的敏感依賴性。只要初始條件稍有偏差或微小的擾動,則會使得系統(tǒng)的最終狀態(tài)出現(xiàn)巨大的差異。因此混沌系統(tǒng)的長期演化行為是不可預(yù)測的。
檢測實際系統(tǒng)中存在混沌現(xiàn)象的意義
傳統(tǒng)上,人們把信號分為兩大類:
l??????? 確定性信號??? 這種信號所有時刻的波形都是確定的;
l??????? 隨機(jī)過程????? 它的波形由概率分布確定。
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然而,這樣的分類忽略了另一類極為重要的信號——混沌信號。混沌信號的波形是非常不規(guī)則的,表面上看來就象噪聲,但實際上它卻是由確定性的規(guī)則所產(chǎn)生的,這種規(guī)則有時是很簡單的。正是這種簡單的規(guī)則產(chǎn)生出復(fù)雜的波形激發(fā)了人們對它極大的興趣。在圖(1-2)中,我們向大家展示了由Logistic映射所生成的混沌信號與白噪聲信號,從表面上我們是無法判斷出噪聲與混沌的。讓人興奮的是:實踐證明,在大量的物理系統(tǒng)和自然系統(tǒng)中都存在著混沌信號!雖然,混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)使我們無法對系統(tǒng)的長期行為進(jìn)行預(yù)測,但是我們完全可以利用混沌的規(guī)律對系統(tǒng)進(jìn)行短期的行為預(yù)測,這樣比傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)方法更加有效。
?混沌學(xué)在工程中的應(yīng)用可以分為兩大類:
(1)合成混沌信號:? 生成類似噪聲的混沌信號
(2)分析混沌信號:? 從某種現(xiàn)象中檢測混沌信號是否存在。
??? 在本文中,我們將主要討論第二個話題。檢測到混沌現(xiàn)象的存在,對我們更深刻的認(rèn)識系統(tǒng)的特征是極為有利的。在大多數(shù)情況下,當(dāng)我們確認(rèn)系統(tǒng)中存在混沌時,我們可以利用混沌學(xué)的原理,將混沌信號從有用的信號中濾除,從而達(dá)到改善信噪比的結(jié)果,而這用傳統(tǒng)的濾波方法有時或許是無效的。
檢測混沌現(xiàn)象的幾種方法
天然存在的系統(tǒng)(物理系統(tǒng)、化學(xué)系統(tǒng)或生物系統(tǒng))能呈現(xiàn)混沌,這一點目前已得到普遍共識,并引起了許多學(xué)者在實驗室里或在自然狀況下對混沌識別進(jìn)行嘗試。然而在實驗系統(tǒng)里,噪聲會與決定系統(tǒng)演化的內(nèi)在方程所支配的動力學(xué)特性發(fā)生相互作用,故實驗系統(tǒng)肯定會有隨機(jī)輸入,從而給混沌的識別帶來了許多困難。下面我們簡要的介紹現(xiàn)今用來識別混沌的幾種不同的方法。
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功率譜
最為人們所熟識且應(yīng)用最多的一種表征復(fù)雜時間序列特性的統(tǒng)計量是功率譜(power spectrum),它把復(fù)雜的時間序列分解成不同頻率的正弦振蕩的疊加。在給定頻率處的功率譜值與頻率的正弦波系數(shù)的平方成正比。典型的功率譜由一個或多個尖峰,它們對應(yīng)于信號中出現(xiàn)的主要頻率。除這些主峰外,其他頻率也可能出現(xiàn),不過幅度較低,而且功率譜通常分布在一個寬頻帶上。
寬頻帶功率譜(多半具有疊加尖峰)往往與混沌動態(tài)相聯(lián)系。但不幸的是,“噪聲”也與寬帶譜密切相關(guān),因而出現(xiàn)寬帶譜并不足以確認(rèn)與噪聲相對的混沌。
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相空間重構(gòu)
混沌的產(chǎn)生是系統(tǒng)整體穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性共同作用的結(jié)果,局部的不穩(wěn)定性使它具有對初值的敏感性,而整體的穩(wěn)定性則使它在相空間(又稱狀態(tài)空間)表現(xiàn)出一定的分形結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)被稱為混沌吸引子。正是這種精密的吸引子結(jié)構(gòu),使我們可以利用它來達(dá)到分辨噪聲與混沌的目的,因為真正的噪聲在相空間中仍然表現(xiàn)出一團(tuán)糟的情況。相空間重構(gòu)技術(shù)是一種簡單而實用的技術(shù),但它依然有著極大的局限性。這是因為使用相空間技術(shù)來觀察吸引子的結(jié)構(gòu),依靠的是人眼的辨別,當(dāng)吸引子的維數(shù)高于三維時,我們將束手無策。另外,并非所有的混沌現(xiàn)象都存在著混沌吸引子(如Logist映射)。
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李雅譜諾夫指數(shù)和維數(shù)
有關(guān)非線性動力學(xué)的研究工作已提出了一些定量刻劃復(fù)雜動力學(xué)性態(tài)的量度。其中兩個最常用的量是李雅譜諾夫指數(shù)(Lyapunov Exponent)和維數(shù)(Dimension),它們分別量度動力學(xué)性態(tài)的規(guī)則性程度和幾何結(jié)構(gòu)。李雅譜諾夫指數(shù)描述了系統(tǒng)軌跡收斂或發(fā)散的比率,當(dāng)一個系統(tǒng)中同時存在正的和負(fù)的李雅譜諾夫指數(shù)時,便意味著混沌的存在。事實上李雅譜諾夫指數(shù)的重要作用之一就是判斷系統(tǒng)的混沌行為。我們這里的維數(shù)是指的混沌吸引子所具有的分?jǐn)?shù)維維數(shù)。在相空間中維數(shù)反映描述了在相空間中運動所需要的不多不少的變量個數(shù),而在吸引子中維數(shù)則說明了刻畫該吸引子所必需的信息量。
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