學習教程來自:GAMES201：高級物理引擎實戰指南2020
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筆記內容大多為課程內容的翻譯和轉述，外加一些自己的理解，若有不正確的地方懇請大家交流和指正

筆記

0. 顯式時間積分器和隱式時間積分器對比

顯式容易實現，數值上不穩定，對dt更敏感。
隱式較難實現（通常需要求解線性系統、多次迭代、求倒數等），但允許較大dt。

1. 模擬彈性物體

彈性材質是很多材質的基礎（viscoelastic粘彈性, elastoplastic彈性塑料, viscoplastic粘塑性，等）

1.1 形變 Deformation

deformation map ?（向量函數）把物質的靜止位置Xrest映射到形變位置Xdeformed

將此函數對靜止位置求導，得到形變梯度F

J（Jacobian）=形變后體積/靜止體積=矩陣F的行列式

1.2 彈性 Elasticity

材料具有恢復到靜止狀態的性質

超彈性模型Hyperelasticity
ψ：勢能函數，表示單位體積的應變勢能的密度（strain energy density function）。定義了應力和應變的關系
Stress：應力，材料內部的彈性力，用來恢復材料的體積形狀的內力
Strain：應變，材料形變的度量，可用形變梯度F替換

1.3 應力張量 Stress tensor

一個3x3矩陣/2階張量，取材料微元內部的截面的法向量乘以Stress tensor，可以得到對周圍鄰居施加的力（應力？）（Traction）

3種常見的Stress tensor：P、τ、σ
PK1（The First Piola-Kirchhoff stress tensor）：對ψ求導，在rest空間下計算得到應力張量（Stress tensor），不對稱

Kirchhoff stress tensor：在形變后的空間計算得到，對稱
Cauchy stress tensor：在形變后的空間計算，對稱（由于角動量守恒）

三者的關系的理解：3個都是stress tensor，Kirchhoff=形變梯度的行列式乘以Cauchy=PK1乘以形變梯度的轉置。J形變梯度的行列式表示形變后體積的變化比值。F轉置表示材料從rest space（形變前空間）到形變后的空間，F轉置求逆則相反，從形變后的空間到rest space。

1.4 幾個描述彈性材料的屬性 Elastic moduli

楊氏模量 Young’s modulus E：應力/應變之比，單位是Pa(N/m^2) ，描述固體材料抵抗形變能力的物理量，是沿縱向的彈性模量

泊松比 Poisson’s ratio ν ：橫向正應變和軸向正應變的比值，泊松比較大時更接近不可壓縮，例如皮筋為正的泊松比，是反映材料橫向變形的彈性常數

注意：以下的量均可根據楊氏模量和泊松比計算出，故一般只給出1和2即可得到材料的彈性屬性

體積模量/體變模量 Bulk modulus K ：壓強和體積變化的關系，單位Pa，V為原本的體積

Lamé’s first parameter μ

Lamé’s second parameter λ（切變模量/剪切模量/G）：剪切應力與應變的比值，越大材料剛性越大，難以剪切

1.5 常見的超彈性模型

Linear elasticity：更適用于小范圍的形變，材料在模擬時旋轉后不再符合物理規律

Neo-Hookean模型：

修正后的Corotated模型：其中σi時F的奇異值/特征值（singular values）

2. 有限元 FEM

Finite element method：一個使用了weak formulations的離散化方法，把空間分為一個個Element（如三角元素）

2.1 彈性系統中的有限元

由于形變梯度（deformation gradient）F在一個有限元元素（element）里是一個常數，deformation map ?成為一個仿射變換（affine）

元素的彈性勢能：能把勢能密度在體積上積分得到，由于F是一個常數，故密度也是常數，積分結果為體積乘以密度
勢能定義：-力關于位置求導數 dw = -f ds

2.2 形變梯度F的計算

以下為2維空間下，三角形作為元素的求解F（2x2矩陣）過程，已知deformation map如下

將x分別拆分為三角形3個頂點的位置

1-3 2-3化簡

構建矩陣B和D直接求，其中B可提前計算出（其只和靜止位置相關）

2.3 更新速度和位置

顯式積分器方法，Semi-implicit Euler (aka. symplectic Euler)

其中只求f即可，過程：勢能求導=每個元素的勢能求導再求和=拆出每個元素的勢能，并使用鏈式求導法則=用PK1替換（V為常數，只剩下PK1和F導數）

隱式積分器方法，backward Euler，其中f部分已經再上邊求出，式中需要再對f求一次導數（二階導數），M為對角矩陣，存儲每個節點的質量

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Games201学习笔记2：拉格朗日视角2的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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