麦比乌斯带
數學家們吐露，
麥比烏斯帶只有單面，
如果你要將它分成兩半，
你將會感到十分可笑，
因為分開后還是一條帶。
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莫比烏斯環的奇妙之處有三：
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一、莫比烏斯環只存在一個面。
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二、如果沿著莫比烏斯環的中間剪開，將會形成一個比原來的莫比烏斯環空間大一倍的、具有正反兩個面的環（環0），而不是形成兩個莫比烏斯環或兩個其它形式的環。
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三、如果再沿著環0的中間剪開，將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，且這兩個環是相互套在一起的（環1和環2），從此以后再沿著環1和環2以及因沿著環1和環2中間剪開所生成的所有環的中間剪開，都將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，永無止境……且所生成的所有的環都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯系而獨立存在。
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??? 數學不僅可以在最宏大的規模上幫助進行形狀設計，如3層半樓層高的復活節彩蛋，而且還可以在微小的范圍內幫助設計。本章將敘述美國博爾德市科羅拉多大學的戴維·沃爾巴及其同事們如何在奇特的麥比烏斯帶中合成分子的故事。
神秘的麥比烏斯帶是數學家們的寵物。你可以用一條窄紙條制作麥比烏斯帶，例如取一條加法器用紙帶，半扭轉，再把紙帶兩端連接，形成一閉合環，就成為麥比烏斯帶。
麥比烏斯帶只有單邊，也只有單面。如果你用一把漆刷沿著紙帶方向刷漆，那么你將發現，當漆刷回到起點時，它已漆滿整個紙帶的表面。如果你沿著紙帶的一面做一種魔術記號，那么你也會立即相信，紙帶只有一個邊。
如果你沿著紙帶方向把麥比烏斯帶剪成兩半，果然，就像五打行油詩所說的，它仍然還是一條帶子。
1858年，法國巴黎的一家科學協會為數學方面的一篇最優秀論文頒了獎。在這次競賽提交的論文中，德國萊比錫市的數學家奧古斯特·費迪南德·麥比烏斯“發現了”這種曲面，就是現在以他的名字命名的曲面。麥比烏斯僅用純數學觀點論述了他的發現，例如，沒有討論自然界中存在著麥比烏斯帶分子的可能性。
的確麥比烏斯不會想到諸如麥比烏斯帶分子存在的可能性，這是因為當時的有機化學科學還處于萌芽階段，人們即使對最簡單的分子形狀也一無所知，更不用說對數學有意義的復雜分子了。在麥比烏斯發現的同時，德國波恩大學的奧古斯特·凱庫勒宣布他的發現：碳原子可以連接形成長鏈，它將成為有機化學的基礎。
4年前，凱庫勒在倫敦的公共馬車上，首次在幻想中思考了碳鏈的問題。他回憶說：“那是一個晴朗的夏夜，我乘坐末班公共馬車回家，和往常一樣坐在‘車頂的’座位上，通過大城市中沒有行人的街道，在平時，那是個充滿活力的城市。我陷入幻想，并且好像看見許多原子在我眼前歡跳……我常常看到兩個較小的原子如何聯合形成偶原子，1個較大的原子如何環抱著兩個較小的原子；還有更大的原子如何抓住3個甚至4個較小的原子不放，同時，它們整體如何跳著眼暈的舞蹈快速旋轉著。我也看到較大的原子如何形成鏈子……無論如何，我也要花些夜里的時間，把這些幻想中形成的形態輪廓寫進論文中。”
11年以后，1865年，凱庫勒認識到碳鏈子可以環繞著旋轉，形成環。而夢幻又一次給他以靈感。“我坐著編寫教科書，然而工作毫無進展，我的思維開了小差。我把椅子轉向取暖壁爐，并打起盹來。原子再次在我眼前歡跳。這時較小的原子謹慎地呆在基底上。我的心靈眼睛通過這種重復景象而更加敏銳，現在可以辨別出多種形體中較大的結構，長長地排列成行，有時還更緊密地拼接在一起；整行迂回曲折像蛇一樣運動。瞧！那是什么？有一條蛇咬住了它自己的尾巴，嘲弄般地在我眼前快速旋轉，仿佛一道閃電，把我驚醒了……當天晚上，我就推斷出假設的結論。”
首先，凱庫勒推導出苯的結構，它由6個碳原子和6個氫原子組成。凱庫勒斷定，6個碳原子形成六角形，各帶有一個氫原子與每個碳原子相連。
自從凱庫勒辨明苯的形狀以來，120年內有機化學家們當然發現了更為復雜的分子的形狀，諸如雙螺旋的脫氧核糖核酸分子。但只是在近些年，化學家們才觀察到形狀呈麥比烏斯帶的分子。
麥比烏斯分子不是在自然界中發現的，而是由戴維·沃爾巴及其同事們在實驗室里合成的。開始時，他用形狀像一架3級梯子的分子合成。（梯子的每級實際上是一個碳-碳的雙鍵，這里可以忽略掉。）然后使梯子環繞著彎曲，再把兩端連接，使其實際上形成一個環狀物。
環形物中一半僅僅是一條環形帶，而在另一半，當它兩端連接時，將半截扭轉，從而形成一條麥比烏斯帶。
麥比烏斯帶分子與麥比烏斯紙帶一樣，都具有許多神秘的性能。如果3個碳雙健全部斷開，那么分子仍然還是單個分子。碳雙鍵的斷開，相當于沿著紙帶的中線環繞著把麥比烏斯帶分成兩半。對于分子和紙帶兩者來說，結果都是單帶，只是其周長為原來的兩倍。
化學家們很早就已知道，兩種化合物可以有同樣的分子式（即由同樣化學成分嚴格地按同樣比例組成的化合物），但卻以性質不同的化學實體存在。如果同樣的化學成分以不同的方式或以不同的角度相互鍵合時，這種現象就可能發生。然而，兩種具有同樣分子式的化合物，甚至具有同樣的化學鍵，其在化學性質上也可能不同。怎么會有這種可能呢？
一門叫做拓撲學的數學分支學科可以解釋這種現象。它是研究物體在不斷發生變形時其性質仍然保持不變的數學學科。設想某物體是由柔性橡膠制成。拓撲學家想要知道，當物體受到推拉但不戳破或撕裂時，什么性質仍然保持不變。可用麥比烏斯帶這個實例形象地說明這種抽象概念。假設你有一條橡膠的麥比烏斯帶，你可以用一切可能的方法使它伸縮。不管你用多少種方法也都不能使它變形，最后得到的形狀總是只有單面。因此，只有單面的性質就是拓撲學家們所關心的事。當一種形狀能夠連續變形成為另一種形狀時，從拓撲學上看，兩種形狀被認為是等價的，所以，不管把麥比烏斯帶伸縮成什么形狀，從拓撲學的定義來說，它們也都是等價的。
現在考慮兩條麥比烏斯帶，一條用橡膠帶朝某一方向扭轉而成，另一條也用橡膠帶但朝相反方向扭轉制成。
從拓撲學上看，這兩條麥比烏斯帶是否等價？它們不等價。兩者都不可能變形成為另一種形狀。如果你從鏡子里看這兩條帶子中的一條，那么你會看到，其映像很像另一條帶；兩條帶互成鏡像。
這里我必須停下來發表一項否認聲明，以避免數學家們來信惡意攻擊。數學家們都是一群怪人，拓撲學家們都不把自己局限在三維空間之中。而在四維空間中，他們卻能證明，鏡子里的麥比烏斯帶可以互相轉變。然而我仍將堅持把我們的討論限于三維之內，因為我們探究的主要對象分子的形狀總是在三維中觀察到的。因此，我要重申，在三維中，鏡像的麥比烏斯帶從拓撲學來看是截然不同的。
成分一樣而且化學鍵相同的兩種化學化合物為什么會有性質截然不同的實體，關鍵在于從拓撲學上看，可能存在著截然不同的鏡像。
因為右手和左手都是眾所周知的鏡像，所以人們習慣地把與其鏡像相反的物體稱為左手的或右手的。在一對鏡像物中，究竟哪一個叫做像，是一個習慣問題。這正如街道的右側不存在絕對位置一樣，它取決于你行走的方向。兩種麥比烏斯帶已被人們稱為右旋和左旋的麥比烏斯帶，但是不必擔心何者右旋，何者左旋。分子也存在右旋和左旋形式，人們稱它們為手性，它是從希臘詞“手（Cheir）”借用來的。
右旋和左旋麥比烏斯帶都是鏡像形狀的實例，從拓撲學來看，它們在性質上是截然不同的，但有著等價的鏡像形狀。現以一簡單圖形為例，一個圓形是它本身的鏡像，顯然，從拓撲學上看，圓形與它本身是等價的。
另一個例子是字母R及其鏡像Я。若用軟橡膠制成圖形R，那么可以用拓撲學的變形方法把它變換成為它的鏡像。
可是，分子不是軟橡膠制成的，物理的約束力防止它們以任何方式發生變形。盡管如此，R形分子還是能夠轉變成為它的鏡像，無須彎曲變形——的確根本不需要彎曲。這次，如果把用硬塑料制成的字母圖形R及其鏡像Я放在桌子上，那么，只要把它拿起來翻轉，就能使其中一個變成另一個。
這種變換由于物體始終保持其剛性，所以叫做剛性變換。
許多有機分子都是剛性的手性分子：它與它的鏡像在剛性上是截然不同的。人體明顯偏愛某種手征的手性分子。例如，大多數的蛋白質都是由左旋氨基酸和右旋糖組成的。當手性分子在人體內合成時，只能產生具有所需手征的手性分子。
但是，當諸如藥物等手性分子在實驗室內用非生物方法合成時，結果都是右旋與左旋形式分子的對半混合。當病人服藥時，由于難于除掉不是所需形式的分子，所以服用的是混合物。一般說來，非所需形式的分子在生物學上是惰性的，而且只是經過身體，無任何作用。有時還是有害的。60年代初期，就曾發生給妊娠婦女
服用擦里多米德藥物事件。藥物中的右旋分子具有所需的鎮靜藥性，而左旋分子卻能造成新生兒畸形。
英國倫敦皇家學院化學教授斯蒂芬·梅森在英國周刊《新科學家》發表的文章中，注意到收入標準藥物手冊中的486種合成生產的手性藥物，只有88種是由所需的手征分子組成的。其余的398種全都是對半的混合物。梅森得出了結論：“它們都是在特定環境（人體）中使用，某種手征會得到特別的偏愛。可是，效果又會怎樣呢？”
當一位有機化學家分析一種新分子時，首先要做的事是試圖確定分子是否剛性的手性分子，即在剛性上與其鏡像是否截然不同。這里可借助于拓撲學。從拓撲學上看，如果分子與其鏡像性質不同，那么它們在剛性上也是不同的，因為剛性變換只能是許多通過拓撲學完成的變換中的一種。還以上面討論過的R及其鏡像Я作為例子。在從一個變形成為另一個時，可以得到一種中間的形狀Я，它具有對稱性，其左半是其右半的鏡像。
拓撲學家們知道，如果一種形狀能夠變形成為某種具有反射對稱性的形狀，那么該形狀本身就能夠變形成為其鏡像。這就意味著，如果化學家能夠讓分子獲得具有反射對稱性的形狀，那么，他就能消除分子的手性。
這種見解往往證明是有用的。沃爾巴已經從三級梯形分子中合成出分子的麥比烏斯帶，他請我去直接觀察從兩級梯形分子中合成的類似方法。所得到的形狀是手性嗎？如下圖所示，由于它能變換成為具有反射對稱性的形狀，所以不是手性的。
可惜，這種解釋對于三級麥比烏斯分子似乎不起作用。經過許多思考實驗之后，沃爾巴推測，好像它不可能變形成為具有反射對稱性的形狀。如果變形后已經顯示出反射對稱性，那么他就會斷定，三級麥比烏斯形狀可以變形成為它的鏡像。可是，這樣的逆敘正確嗎？任何變形未能顯示出反射對稱性，是否意味著分子本身就不能變形成為其鏡像？
毛病就出在答案太容易上。沃爾巴請我考慮兩只橡膠手套，一只為右手的，另一只則是左手的。
手套顯然都是鏡像的，可是從拓撲學來看，它們等價嗎？當然，手套在剛性上是不等價的，因為如果我們像翻轉字母R那樣翻轉兩只手套中的一只來獲得鏡像，那是行不通的。然而，如果我們把任何一只手套從里往外翻轉，那么就能使手套成為等價。
（拓撲學家因而發現它自己處在一個奇特的位置上，既不能認為手套是右手的，也不能認為是左手的。）在把手套從里往外翻轉的過程中，手套在任何步驟都不具有反射對稱性。
我們也許能夠得出結論，手套是一個反例：某種形狀在拓撲學上與其鏡像等價，但在其變形過程中卻不具備反射對稱性。這種結論可能是錯誤的。只是我們沒有讓手套充分變形。如果我們使勁拽開手套，那么至少在理論上能夠把手套變形成為一個圓盤的形狀，這時手套就具有反射對稱性（沿任何直徑方向都有反射對稱性）。
以上討論的要點是，沃爾巴在化學方面的一些研究已向拓撲學家提出一個重要問題：如果某種形狀在變形過程中不可能具備反射對稱性，那么是否可以得出結論，從拓撲學上看，形狀本身與其鏡像不等價呢？這是一個基本問題，但在數學文獻上，好像還沒有人提出來過。
這個問題整個都牽扯到一個重要的哲學問題：物理科學上的新概念是否常常會啟迪出數學上的新概念？或者反之？換句話說，何者在先，是物理科學，還是數學？許多哲學家遇到過這個問題，這與眾所周知的關于雞和蛋何者在先的問題一樣，答案看來是不會令人滿意的。
在這兩種情況下，人們所得出的結論，似乎不是一個不可置否的證據，而是一個目的性的試驗。一些步柏拉圖后塵的專橫數學家斷言，他們的學科是與物理學實際相脫離的。他們認為，即使沒有可供計數的物體，數字也會存在。不大固執的數學家們則承認，科學與數學是緊密相連的，但他們堅持數學在先。他們提出群論作為證據，群論是數學的一門分支學科，在19世紀30年代誕生，它完全沒有物理學上的用途，只是最近才被粒子物理學家應用，以便用于研究過去20年內發現的亞原子粒子集。
但是，物理學家們則相信他們的學科在先，而且認為歷史是站在他們一邊。例如伊薩克·牛頓創造了數學中著名的分支學科微積分，就是因為他當時需要一種數學工具，用來分析極小的空間與時間間隔。而我認為，數學與科學都相得益彰，才是惟一公正的結論，盡管這種判斷既不鼓舞人心，也不增進知識。麥比烏斯帶的故事就是數學與物理科學之間錯綜復雜相互促進關系的一個很好的實例。1858年的論文競賽中提出的麥比烏斯帶僅僅創立了純數學，現在它在化學中發展起來，而且已被化學家們熟練地運用，又為純理論的數學家提出許多問題。
你可以感到欣慰的是，麥比烏斯帶不僅可以服務于化學家，而且也可以服務于工業家。B．F．古德里奇公司已經獲得麥比烏斯輸送帶的專利權。在普通輸送帶中，帶的一側會有較多的磨損與撕裂。而在麥比烏斯輸送帶中，應力可分布到“兩側”，從而可以延長其使用期一倍。
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麥比烏斯簡介(Mobius，1790～1868)
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德國數學家，天文學家 。1790 年11月17日生于瑙姆堡附近的舒爾普福塔，1868年9月26日卒于萊比錫。1809 年入萊比錫大學學習法律，后轉攻數學、物理和天文。1814 年獲博士學位，1816年任副教授，1829年當選為柏林科學院通訊院士，1844年任萊比錫大學天文與高等力學教授。
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麥比烏斯的科學貢獻涉及天文和數學兩大領域。他領導建立了萊比錫大學天文臺并任臺長。因發表《關于行星掩星的計算》而獲得天文學家的贊譽，此外還著有《天文學原理》和《天體力學基礎》等天文學著作。在數學方面，麥比烏斯發展了射影幾何學的代數方法。他在其主要著作《重心計算》中，獨立于 J. 普呂克等人而創立了代數射影幾何的基本概念——齊次坐標。在同一著作中他還揭示了對偶原理與配極之間的關系，并對交比概念給出了完善的處理。麥比烏斯最為人知的數學發現是后來以他的名字命名的單側曲面——麥比烏斯帶。此外，麥比烏斯對拓撲學球面三角等其他數學分支也有重要貢獻。
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總結
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