講解Python在線性代數中的應用，包括：

一、矩陣創建

先導入Numpy模塊，在下文中均采用np代替numpy

1 import numpy as np

矩陣創建有兩種方法，一是使用np.mat函數或者np.matrix函數，二是使用數組代替矩陣，實際上官方文檔建議我們使用二維數組代替矩陣來進行矩陣運算；因為二維數組用得較多，而且基本可取代矩陣。

1 >>> a = np.mat([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) #使用mat函數創建一個2X3矩陣

2 >>>a3 matrix([[1, 2, 3],4 [4, 5, 6]])5 >>> b = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])#np.mat和np.matrix等價

6 >>>b7 matrix([[1, 2, 3],8 [4, 5, 6]])9 >>> a.shape #使用shape屬性可以獲取矩陣的大小

10 (2, 3)

1 >>> c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) #使用二維數組代替矩陣，常見的操作通用

2 >>> c#注意c是array類型，而a是matrix類型

3 array([[1, 2, 3],4 [4, 5, 6]])

單位陣的創建

1 >>> I = np.eye(3)2 >>>I3 array([[ 1., 0., 0.],4 [ 0., 1., 0.],5 [ 0., 0., 1.]])

矩陣元素的存取操作：

1 >>> a[0]#獲取矩陣的某一行

2 matrix([[1, 2, 3]])3 >>> a[:, 0].reshape(-1, 1)#獲取矩陣的某一列

4 matrix([[1],5 [4]])6 >>> a[0, 1]#獲取矩陣某個元素

7 2

二、矩陣乘法和加法

矩陣類型，在滿足乘法規則的條件下可以直接相乘

1 >>> A = np.mat([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])#使用mat函數

2 >>> B = np.mat([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])3 >>> A #注意A, B都是matrix類型，可以使用乘號，如果是array則不可以直接使用乘號

4 matrix([[1, 2, 3],5 [3, 4, 5],6 [6, 7, 8]])7 >>>B8 matrix([[5, 4, 2],9 [1, 7, 9],10 [0, 4, 5]])11 >>> A * B#學過線性代數的都知道：A * B != B * A

12 matrix([[ 7, 30, 35],13 [ 19, 60, 67],14 [ 37, 105, 115]])15 >>> B *A16 matrix([[ 29, 40, 51],17 [ 76, 93, 110],18 [ 42, 51, 60]])

如果是使用數組代替矩陣進行運算則不可以直接使用乘號，應使用dot()函數。dot函數用于矩陣乘法，對于二維數組，它計算的是矩陣乘積，對于一維數組，它計算的是內積。

1 >>> C = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])2 >>> D = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])3 >>> C #C, D都是array類型，不能直接使用乘號，應該使用dot()函數

4 array([[1, 2, 3],5 [3, 4, 5],6 [6, 7, 8]])7 >>>D8 array([[5, 4, 2],9 [1, 7, 9],10 [0, 4, 5]])11 #>>> C * D, Error, 注意這不是矩陣乘法！！！

12 >>> np.dot(C, D)#正確的寫法，得到的結果和上一段代碼的第11行的結果的一樣的。

13 array([[ 7, 30, 35],14 [ 19, 60, 67],15 [ 37, 105, 115]])

如何理解對于一維數組，它計算的是內積？？？

注意：在線性代數里面講的維數和數組的維數不同，如線代中提到的n維行向量在Python中是一維數組，而線代中的n維列向量在Python中是一個shape為(n, 1)的二維數組！

第16行，第18行：F是一維數組，G是二維數組，維數不同，個人認為相乘沒有意義，但是16行沒有錯誤，18行報錯。關于dot()的乘法規則見：NumPy-快速處理數據--矩陣運算

1 >>> E = np.array([1, 2, 3])2 >>> F = np.array([4, 3, 9])3 >>> E.shape#E,F都是一維數組

4 (3,)5 >>>np.dot(E, F)6 37

7 >>>np.dot(F, E)8 37

9 >>> G = np.array([4, 3, 9]).reshape(-1, 1)10 >>>G11 array([[4],12 [3],13 [9]])14 >>> G.shape

15 (3, 1)16 >>> np.dot(F, G)#因此dot(F, G)不再是內積，而是一個只有一個元素的數組

17 array([106])18 >>> np.dot(G, F)#ValueError: shapes (3,1) and (3,) not aligned: 1 (dim 1) != 3 (dim 0)

19 >>> E.shape = (1, -1)#把E改為二維數組

20 >>>E21 array([[1, 2, 3]])22 >>>E.shape23 (1, 3)24 >>> np.dot(G, E)#3×1的G向量乘以1×3的E向量會得到3×3的矩陣

25 array([[ 4, 8, 12],26 [ 3, 6, 9],27 [ 9, 18, 27]])

矩陣的加法運算

1 >>> A + B#矩陣的加法對matrix類型和array類型是通用的

2 matrix([[ 6, 6, 5],3 [ 4, 11, 14],4 [ 6, 11, 13]])5 >>> C +D6 array([[ 6, 6, 5],7 [ 4, 11, 14],8 [ 6, 11, 13]])

矩陣的數乘運算

1 >>> 2 * A#矩陣的數乘對matrix類型和array類型是通用的

2 matrix([[ 2, 4, 6],3 [ 6, 8, 10],4 [12, 14, 16]])5 >>> 2 *C6 array([[ 2, 4, 6],7 [ 6, 8, 10],8 [12, 14, 16]])

三、矩陣的轉置

1 >>> A = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])2 >>> B = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])3 >>>A4 array([[1, 2, 3],5 [3, 4, 5],6 [6, 7, 8]])7 >>> A.T #A的轉置

8 array([[1, 3, 6],9 [2, 4, 7],10 [3, 5, 8]])11 >>> A.T.T#A的轉置的轉置還是A本身

12 array([[1, 2, 3],13 [3, 4, 5],14 [6, 7, 8]])

驗證矩陣轉置的性質：(A±B)'=A'±B'

1 >>> (A +B).T2 array([[ 6, 4, 6],3 [ 6, 11, 11],4 [ 5, 14, 13]])5 >>> A.T +B.T6 array([[ 6, 4, 6],7 [ 6, 11, 11],8 [ 5, 14, 13]])

驗證矩陣轉置的性質：(KA)'=KA'

1 >>> 10 *(A.T)2 array([[10, 30, 60],3 [20, 40, 70],4 [30, 50, 80]])5 >>> (10 *A).T6 array([[10, 30, 60],7 [20, 40, 70],8 [30, 50, 80]])

驗證矩陣轉置的性質：(A×B)'= B'×A'

1 >>>np.dot(A, B).T2 array([[ 7, 19, 37],3 [ 30, 60, 105],4 [ 35, 67, 115]])5 >>>np.dot(B.T, A.T)6 array([[ 7, 19, 37],7 [ 30, 60, 105],8 [ 35, 67, 115]])

四、方陣的跡

方陣的跡就是主對角元素之和，使用trace()函數獲得方陣的跡：

1 >>>A2 array([[1, 2, 3],3 [3, 4, 5],4 [6, 7, 8]])5 >>>B6 array([[5, 4, 2],7 [1, 7, 9],8 [0, 4, 5]])9 >>> np.trace(A) #A的跡等于A.T的跡

10 13

11 >>>np.trace(A.T)12 13

13 >>> np.trace(A+B)#和的跡 等于 跡的和

14 30

15 >>> np.trace(A) +np.trace(B)16 30

五、計算行列式

1 >>>A2 array([[1, 2],3 [1, 3]])4 >>>np.linalg.det(A)5 1.0

六、逆矩陣/伴隨矩陣

若A存在逆矩陣(滿足det(A) != 0，或者A滿秩)，使用linalg.inv求得方陣A的逆矩陣

1 importnumpy as np2 >>> A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])3 >>>A4 array([[ 1, -2, 1],5 [ 0, 2, -1],6 [ 1, 1, -2]])7 >>> A_det = np.linalg.det(A) #求A的行列式，不為零則存在逆矩陣

8 >>>A_det9 -3.0000000000000004

10 >>> A_inverse = np.linalg.inv(A) #求A的逆矩陣

11 >>>A_inverse12 array([[ 1. , 1. , 0. ],13 [ 0.33333333, 1. , -0.33333333],14 [ 0.66666667, 1. , -0.66666667]])15 >>> np.dot(A, A_inverse) #A與其逆矩陣的乘積為單位陣

16 array([[ 1., 0., 0.],17 [ 0., 1., 0.],18 [ 0., 0., 1.]])19 >>> A_companion = A_inverse * A_det #求A的伴隨矩陣

20 >>>A_companion21 array([[-3., -3., -0.],22 [-1., -3., 1.],23 [-2., -3., 2.]])

七、解一元線性方程

使用np.linalg.solve()解一元線性方程組，待解方程為：

x + 2y + z = 72x- y + 3z = 73x+ y + 2z =18

1 >>> importnumpy as np2 >>> A = np.array([[1, 2, 1], [2, -1, 3], [3, 1, 2]])3 >>> A #系數矩陣

4 array([[ 1, 2, 1],5 [ 2, -1, 3],6 [ 3, 1, 2]])7 >>> B = np.array([7, 7, 18])8 >>>B9 array([ 7, 7, 18])10 >>> x =np.linalg.solve(A, B)11 >>>x12 array([ 7., 1., -2.])13 >>> np.dot(A, x)#檢驗正確性，結果為B

14 array([ 7., 7., 18.])

使用np.allclose()檢測兩個矩陣是否相同：

1 >>> np.allclose(np.dot(A, x), B)#檢驗正確性

2 True

使用?help(np.allclose)?查看?allclose()?的用法：

allclose(a, b, rtol=1e-05, atol=1e-08)

Parameters----------a, b : array_like

Input arrays to compare.

rtol : float

The relative tolerance parameter (see Notes).

atol : float

The absolute tolerance parameter (see Notes).

Returns-------allclose : bool

Returns Trueifthe two arrays are equal within the given

tolerance; False otherwise.

八、計算矩陣距離

矩陣的距離，這里是的是歐幾里得距離，其他距離表示方法我們以后再談，這里說一下如何計算兩個形狀相同矩陣之間的距離。

1 >>> A = np.array([[0, 1], [1, 0]])#先創建兩個矩陣

2 >>> B = np.array([[1, 1], [1, 1]])3 >>> C = A - B #計算距離矩陣C

4 >>>C5 array([[-1, 0],6 [ 0, -1]])7 >>> D = np.dot(C, C)#距離矩陣的平方

8 >>> E = np.trace(D) #計算矩陣D的跡

9 >>>E10 2

11 >>> E ** 0.5 #將E開平方得到距離

12 1.4142135623730951

關于計算矩陣距離我也不理解。網上看的帖子，先記下來

九、矩陣的秩

numpy包中的linalg.matrix_rank方法計算矩陣的秩：

1 >>> importnumpy as np2 >>> I = np.eye(3)#先創建一個單位陣

3 >>>I4 array([[ 1., 0., 0.],5 [ 0., 1., 0.],6 [ 0., 0., 1.]])7 >>> np.linalg.matrix_rank(I)#秩

8 3

9 >>> I[1, 1] = 0#將該元素置為0

10 >>>I11 array([[ 1., 0., 0.],12 [ 0., 0., 0.],13 [ 0., 0., 1.]])14 >>> np.linalg.matrix_rank(I)#此時秩變成2

15 2

十、求方陣的特征值特征向量

1 >>> importnumpy as np2 >>> x = np.diag((1, 2, 3))#創建一個對角矩陣！

3 >>>x4 array([[1, 0, 0],5 [0, 2, 0],6 [0, 0, 3]])7 >>> a,b = np.linalg.eig(x)#特征值保存在a中，特征向量保存在b中

8 >>>a9 array([ 1., 2., 3.])10 >>>b11 array([[ 1., 0., 0.],12 [ 0., 1., 0.],13 [ 0., 0., 1.]])

根據公式?Ax = λx?檢驗特征值與特征向量是否正確：

1 for i in range(3):#方法一

2 if np.allclose(np.dot(a[i], b[:, i]), x[:, i]):#np.allclose()方法在第七節提到過

3 print 'Right'

4 else:5 print 'Error'

6

7 for i in range(3):#方法二

8 if (np.dot(a[i], b[:, i]) ==x[:, i]).all():9 print 'Right'

10 else:11 print 'Error'

注意，如果寫成?if np.dot(a[i], b[:, i]) == x[:, i]:?是錯誤的：(矩陣包含有多個值，應該使用a.any()或者a.all()判斷)

ValueError: The truth value of an array with more than one element is ambiguous. Use a.any() or a.all()

十一、判斷正定矩陣

設M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有z'Mz> 0，其中z'?表示z的轉置，就稱M正定矩陣。

判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正。

判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。

判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同于單位陣。

下面用定理1判斷對稱陣是否為正定陣

1 >>> importnumpy as np2 >>> A = np.arange(16).reshape(4, 4)3 >>>A4 array([[ 0, 1, 2, 3],5 [ 4, 5, 6, 7],6 [ 8, 9, 10, 11],7 [12, 13, 14, 15]])8 >>> A = A + A.T #將方陣轉換成對稱陣

9 >>>A10 array([[ 0, 5, 10, 15],11 [ 5, 10, 15, 20],12 [10, 15, 20, 25],13 [15, 20, 25, 30]])14 >>> B = np.linalg.eigvals(A)#求B的特征值，注意：eig()是求特征值特征向量

15 >>>B16 array([ 6.74165739e+01 +0.00000000e+00j,17 -7.41657387e+00 +0.00000000e+00j,18 2.04219701e-15 +3.94306094e-15j,19 2.04219701e-15 -3.94306094e-15j])20

21 if np.all(B>0): #判斷是不是所有的特征值都大于0，用到了all函數，顯然對稱陣A不是正定的

22 print 'Yes'

創建一個對角元素都為正的對角陣，它一定是正定的：

1 >>> A = np.diag((1, 2, 3))#創建對角陣，其特征值都為正

2 >>> B = np.linalg.eigvals(A)#求特征值

3 >>>B4 array([ 1., 2., 3.])5 >>> if np.all(B>0):#判斷特征值是否都大于0

6 print 'Yes'

網上查到更簡便的方法是對對稱陣進行cholesky分解，如果像這樣沒有提示出錯，就說明它是正定的。如果提示出錯，就說明它不是正定矩陣，你可以使用try函數捕獲錯誤值：

1 #-*- coding: utf-8 -*-

2 importnumpy as np3

4 A = np.arange(16).reshape(4, 4)5 A = A +A.T6 printA7 try:8 B =np.linalg.cholesky(A)9 except:10 print ('不是正定矩陣，不能進行cholesky分解。')

當不能進行cholesky分解時，出現的異常是：?LinAlgError: Matrix is not positive definite?，但是但是LinAlgError不是Python標準異常，因此不能使用這條語句。

1 exceptLinAlgError as reason:2 print ('不是正定矩陣，不能進行cholesky分解。\n出錯原因是：' + str(reason))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python求矩阵的秩_Python--线性代数篇的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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