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正文

在上一篇文章中，定義了超實數$\{l|r\}$這個運算
也了解了通過超實數對博弈狀態的定義
但是，還有很多的特殊情況沒有考慮過

特殊狀態“ * ”

當$l=r=0$的時候，我們會發現，已經沒有滿足條件的結果了
但是根據需要，博弈中會出現這樣的情況
兩個子狀態都是先手必敗態，那么答案是什么呢，那很顯然是先手必勝態，由于無法用超實數表示，所以我們要另辟蹊徑
$$?=\{0|0\}$$
這個狀態表示先手必勝態，那么根據定義，我們有$0=\{?|?\}$，這樣一來就成功解決這個問題了，$?$小于所有正數，大于所有負數，和$0$無法比較
定義好了$?$，當然也要定義好與$?$相關的運算
“$?$”與一個正數或負數： 由于我們定義好了$?$的相對大小關系，所以已經完成了
“$?$”與“$?$”： 與自己運算的結果已經給出，$\{?|?\}=0$
“$?$”與$0$： 好像沒有給出，所以需要定義新的狀態

特殊狀態“$\uparrow$” 、“$\downarrow$”

$$\uparrow =\{0|?\}$$
$$\downarrow =\{?|0\}$$
我們現在來看“$\uparrow$”與“$\downarrow$”的一些性質
對于“$\uparrow$”，容易看出“$\uparrow$”是第一個玩家必勝態，所以$\uparrow >0$
另外，“$\uparrow$”小于每一個正數（有證明，但要用到這種定義下的加法），所以類似于“$\uparrow$”就好像正無窮小($0^{+}$)
對于“$\downarrow$”，容易看出“$\downarrow$”是第一個玩家必敗態，所以$\downarrow <0$
類似于“$\uparrow$”，“$\downarrow$”大于每一個負數，所以$\downarrow$可以近似看作負無窮小（$0^{?}$）

新定義了那么多東西，$\{l|r\}$在博弈中的很多運算就差不多解釋完了

整理

左邊的$\Phi <$負數$<\downarrow <0,?<\uparrow <$正數$<$右邊的$\Phi$
對于運算$\{L|R\}$可以轉化為$\{max(L)|min(R)\}$(L，R都是集合)
也就轉化到了$\{l|r\}$的問題了(l、r都是單個數)
如果$l<r$那么$\{l|r\}$的結果:

• 超實數運算
  若$l、r$之間有整數，$\{l|r\}=x$（$l<x<r$且$x$是所有滿足的數中離$0$最近的整數）
  若$l、r$之間無整數，$\{l|r\}=x/y$（$l<x/y<r$且$y=2^k(k\in {\mathbb{Z}}^{?})$且y是所有滿足條件的數中最小的數，x是在滿足前面的條件下的可取值中離$0$最近的整數
• 特殊運算
  $0=\{?|?\}$
  $?=\{0|0\}$
  $\uparrow$={ 0 | $?$ }
  $\downarrow$={ $?$ | 0 }

總結

知道上述的定義，差不多就能解決所有的這一類的OI題目了，但是考慮$0|\uparrow$之類的結果是什么呢，在這里還無法解釋，理解上述內容其實已經夠用了，但是學一樣東西就要學透，所以在下一篇文章中我會寫到加法運算的定義，當然先理解這篇文章的內容是最重要的，當然我所寫的并不十分嚴謹，如果有問題敬請提出，記錄（二）到這里就結束了

update by 2019.1.9：感覺我以前寫的很亂啊，更新一下格式，并且根據理解遷移了一些內容

總結

以上是生活随笔為你收集整理的不平等博弈问题学习记录（二）（对于超实数在博弈下左右相等的扩充）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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