一、一元函數插值

已知函數y=f(x)在區間[a,b]上的n+1個不同點的函數值為，若存在一個簡單函數F(x), 使，稱F(x)為f(x)在區間[a,b]上的插值函數，稱(xi, yi)為插值節點。若F(x)為多項式，稱為多項式插值(或代數插值) ；常用的代數插值方法有：拉格朗日插值，牛頓插值。

n次代數插值：已知f(x)在n+1個點x0,x1,…,xn處的函數值為 y0,y1,…,yn ， 求一個n次多項式函數Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi, (i=0,1,…,n). 若Pn(x)按下述方式構造，稱為拉格朗日插值

其中Li(x) 為n次多項式：

稱為拉格朗日插值基函數．

特別地:?

（1）已知兩個節點時，得線性插值多項式:

（2）已知三個節點時，得拋物插值多項式:

（3）已知n+1個節點時，可得n次拉格朗日插值多項式。

關于代數插值：

可以看出，當節點較多時，多項式的次數增高，插值函數出現振蕩，精度變低。因此，為了保證精度，在節點較多時，一般采用分段插值，但這樣在分段點光滑性較差。Matlab采用的多項式插值都是分段插值法。從圖形還可以看出，對解析函數，插值精度高；對有奇點的函數，插值精度低。多項式插值對靠近插值區間中點的部分插值精度高，遠離中點部分精度低。

規則網點的插值

y=interp1(x0,y0,x,'method')，y是對應x插值后獲得的因變量，x0和y0為初始數據的自變量和因變量

Method 的選項有 ‘nearest’, ‘next’, ‘previous’, ‘linear’,‘spline’,‘pchip’, 和 'cubic'. 缺省的機器設置為'linear'.

插值效果：

參考程序：

xdata=0:pi/6:2*pi; ydata=sin(xdata); x=0:pi/20:2*pi; subplot(2,2,1) y=interp1(xdata,ydata,x,'nearest'); plot(xdata,ydata,'p',x,y,'k-') title('nearest') subplot(2,2,2) y=interp1(xdata,ydata,x,'linear'); plot(xdata,ydata,'p',x,y,'k-') title('linear') subplot(2,2,3) y=interp1(xdata,ydata,x,'cubic'); plot(xdata,ydata,'p',x,y,'k-') title('cubic') subplot(2,2,4) y=interp1(xdata,ydata,x,'spline'); plot(xdata,ydata,'p',x,y,'k-') title('spline')

?插值誤差：

參考程序：

xdata=0:pi/6:2*pi; ydata=sin(xdata); x=0:pi/20:2*pi; yy=sin(x); subplot(2,2,1) y=interp1(xdata,ydata,x,'nearest'); plot(x,y-yy,'k-') title('nearest') subplot(2,2,2) y=interp1(xdata,ydata,x,'linear'); plot(x,y-yy,'k-') title('linear') subplot(2,2,3) y=interp1(xdata,ydata,x,'curve'); plot(x,y-yy,'k-') title('curve') subplot(2,2,4) y=interp1(xdata,ydata,x,'spline'); plot(x,y-yy,'k-') title('spline')

?小tips：插值中使用較多的是分段線性插值和三次樣條插值。

三次樣條插值是解決一維插值問題最常用的方法， Matlab中實現三次樣條插值的方法有：

yi=interp1(x,y,xi,’spline’)

使用spline函數：

yi=spline(x, y, xi) ，效果同 1?

pp=spline(x, y)，獲得三次樣條插值的分段多項式pp，可使用ppval計算插值

使用csape函數：pp=csape(x, y)，可以添加參數選擇邊界條件

例1：通過實驗測得某函數的一組數據如下，試作出其插值函數的圖形。

解法一：

x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y=[0,1.2,1.65,2.1,2.15,2.0,1.85,1.65,1.55,1.25]; xi=0:0.1:15; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); yi1=interp1(x,y,xi, 'linear'); yi2=interp1(x,y,xi, 'cubic'); plot(x,y,'*',xi,yi,'r-',xi,yi1,'b-',xi,yi2,'g-') legend('節點','三次樣條插值','線性插值','立方插值')

解法二：

x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y=[0,1.2,1.65,2.1,2.15,2.0,1.85,1.65,1.55,1.25]; xx=0: 0.1: 15; S=csape(x, y); %Sa=spline(x, y) ; P=S.coefs; %Pa=Sa.coefs; yy=ppval(S,xx); plot(x,y,'o',xx,yy,'r');

關于pp形式：

pp就是分段多項式，百語句形如：
breaks = -5:-1;
coefs = -22:-11;
pp = ppmak(breaks,coefs)

其中：breaks就是各度段的端點值，-5，-4，-3，-2，-1，有問4個區間
coefs就是每段多項式的系數，答共有12個值，12/4=3，則有回4個多項式，每個多項式的最高次答數是3

二、 二元函數插值?

網格節點數據插值

函數：interp2

格式：z=interp2(x0, y0, z0, x, y, ’method’)

x0,y0,z0:插值節點坐標，要求x0, y0單調；

x, y是被插值點的橫坐標與縱坐標( x, y不能超過x0,y0的范圍)，z是被插值點的函數值。 ?

Method：(1)nearest 最鄰近插值，(2)linear ?雙線性插值，(3)cubic雙三次插值，默認為雙線性插值。

例2：要在一山區修建公路，首先測得一些點的高程（見附件,表中數據為坐標點的高程，單位：米，y軸正向為北)繪制該地地貌圖。

4800	1350	1370	1390	1400	1410	960	940	880	800	690	570	430	290	210	150
4400	1370	1390	1410	1430	1440	1140	1110	1050	950	820	690	540	380	300	210
4000	1380	1410	1430	1450	1470	1320	1280	1200	1080	940	780	620	450	370	350
3600	1420	1430	1450	1480	1500	1550	1510	1430	1300	1200	980	850	750	550	500
3200	1430	1450	1460	1500	1550	1600	1550	1600	1600	1600	1550	1500	1500	1550	1500
2800	950	1190	1370	1500	1200	1100	1550	1600	1550	1380	1070	900	1050	1150	1200
2400	910	1090	1270	1500	1200	1100	1350	1450	1200	1150	1010	880	1000	1050	1100
2000	880	1060	1230	1390	1500	1500	1400	900	1100	1060	950	870	900	930	950
1600	830	980	1180	1320	1450	1420	1400	1300	700	900	850	840	380	780	750
1200	740	880	1080	1130	1250	1280	1230	1040	900	500	700	780	750	650	550
800	650	760	880	970	1020	1050	1200	830	800	700	300	500	550	480	350
400	510	620	730	800	850	870	850	780	720	650	500	200	300	350	320
0	370	470	550	600	670	690	670	620	580	450	400	300	100	150	250
y/x	0	400	800	1200	1600	2000	2400	2800	3200	3600	4000	4400	4800	5200	5600

解：

A = xlsread('新建 XLSX 工作表.xlsx'); [xx,yy]=size(A); Z=A([1:xx-1],[2:yy]); x=0:400:5600; y=4800:-400:0; [X,Y]=meshgrid(x,y); surf(X,Y,Z); %離散圖 figure(2); xi=linspace(0, 5600, 80); yi=linspace(0, 4800, 80); [Xi,Yi]=meshgrid(xi, yi); %%------------------------------- Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,'linear'); %二元插值 linear surf(Xi,Yi,Zi); %%------------------------------- figure(3) Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,'spline'); %二元插值 spline surf(Xi,Yi,Zi); %%------------------------------- figure(4) t=0:100:1600; [c,h]= contourf(Xi,Yi,Zi,t); %等高線 clabel(c, h) colormap cool colorbar

散點數據插值函數

已知n個插值節點(xi, yi, zi), (i=1,2,…,n), 求在點(x,y)處的插值z， matlab提供函數griddata。

格式：cz=griddata(x,y,z,cx,cy,’method’)

其中x,y,z 均為n 維向量，指明所給數據點（插值節點）的橫坐標、縱坐標和豎坐標。cx, cy是給定被插值點的橫坐標和縱坐標，cz為相應點的豎坐標。

若cx,cy是向量，則給定以它們所確定網格點的橫坐標和縱坐標，這時要求cx,cy一個為行向量一個為列向量。 編程時也可先用meshgrid將cx,cy定義成網格矩陣。

例3：在某海域測得一些點(x,y)處的水深z（英尺）如下表，船的吃水深度為5英尺，在矩形區域(75,200)×(-50,150)里那些地方船要避免進入。

x	129	140	103.5	88	185.5	195	105	157.5	107.5	77	81	162	162	117.5
y	7.5	141.5	23	147	22.5	137.5	85.5	-6.5	-81	3	56.5	-66.5	84	-33.5
z	4	8	6	8	6	8	8	9	9	8	8	9	4	9

解：

x=[129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5]; y=[7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5]; z=-[4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9]; [x1,y1]=meshgrid(75:5:200,150:-5:-50); z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4'); surf(x1,y1,z1) figure(2) [c,h]=contourf(x1,y1,z1); clabel(c,h)

三、 三元函數插值

函數：interp3

格式：v?= interp3(x0, y0, z0, v0 , x, y, z ,’method’)

x0,y0,z0,v0為插值數據，x,y,z為被插值的范圍，v代表val

雖然三元圖像不能直觀的畫圖觀察，但是可以通過切割觀察剖面，配合slice函數觀察切片情況

格式：slice(X,Y,Z,V,sx,sy,sz)

X,Y,Z,V為數據，sx,sy,sz可決定切片形式和位置

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB插值问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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