矩陣乘法原理

? ? ? ? 注意這里的矩陣是《線性代數》中的矩陣，矩陣乘法指的是兩個內標相同的矩陣相乘得到新矩陣的過程。

? ? ? ?設有矩陣為矩陣，有矩陣為矩陣，則矩陣相乘結果如下：

?? ?

矩陣乘法應用

? ? ? ? 矩陣乘法的應用在于能夠加快遞推速度，對于一個n*s的矩陣，可以化成程序中的二維數組，則代表第行第列元素（下標從0開始）

? ? ? ? 對于常規遞推，通常是有的形式，也就是常說的：大規模問題需要分解成小問題，并且借助小問題規模的答案進行解決。

? ? ? ? 矩陣乘法的原理是通過將有限個預備狀態用矩陣存放，并且用另一個對應矩陣作為系數，在

通過矩陣運算來減少線性遞推。

斐波那契數列

? ? ? ? 斐波那契數列指的是第一項第二項均為1，第三項開始每項都等于前兩項之和的數列。

? ? ? ? 設為第個斐波那契數列的值，顯然有，如果考慮用程序實

現的話，那么應該是，其中第一項第二項均已賦初值為1，這樣可以求解到我們所需要的第個斐波那契數的值，由于時間復雜度為，也就是最多能進行級別的運算，如果超過這個級別的數據規模就會超時。

? ? ? ? ?考慮矩陣乘法加速遞推，步驟如下

（1）令? 得到

（2）考慮如何把，也就是思考

（3）顯然我們希望把第二項放到第一項，然后原本的第一項變成原來的第一項和第二項之和

（4）那么則我們希望通過一個矩陣，有

（5）有了結果，逆推矩陣A很簡單，因為我們可以通過乘法的本質來逆推得到

? ? ? ? 考慮逆推出矩陣A的結構，步驟如下：

（1）首先矩陣A的外標肯定是1，否則不符合矩陣相乘的規則，那么應該是一個2*n的矩陣

再由1*2 *A=1*2 ，說明內標也是2,（因為n*s × s*m=n*m)

（2）設，由矩陣乘法得到：

，

聯立解得：

? ? ? ? A12=1,A22=1,A11=0,A21=1;

? ? ? ? 考慮程序實現矩陣快速遞推，步驟如下：

（1）由于?，此時借助快速冪的思想

當n為奇數的時候，等價于求，為偶數時，等價于求，這樣可以在對數的復雜度

內求出。當然我們可以為奇數的時候讓Fn與其相乘，為偶數時其自乘。

代碼如下：

#include <iostream> #include <cstring> typedef long long ll; using namespace std; const int N=10007; void mul(int f[2],int a[2][2]){int c[2];memset(c,0,sizeof c);for(int j=0;j<2;j++){for(int k=0;k<2;k++){c[j]=(c[j]+(ll)f[k]*a[k][j])%N;//c[i][j]=f[i][k]*a[k][j]//由于f只有一層 所以只需要枚舉j和k }}memcpy(f,c,sizeof c);return; }void mulself(int a[2][2]){int c[2][2];memset(c,0,sizeof c);for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){for(int k=0;k<2;k++){//a有兩層 需要枚舉i,j，然后再枚舉kc[i][j]=(c[i][j]+(ll)a[i][k]*a[k][j])%N;}}}memcpy(a,c,sizeof c);//備份拷貝，如果邊決策邊賦值會影響 return; }int main(){int n;scanf("%d",&n);int a[2][2]={{0,1},{1,1}};int f[2]={0,1};while(n){if(n&1)mul(f,a);mulself(a);n/=2;}printf("%d",f[0]);}

時間復雜度：可以理解成將只有一次操作執行了mul，其余都在進行快速冪，這樣來看

mul操作是常數級別，只有mulself是需要執行logn次的，所以是

? ? ? 我在藍橋杯官方訓練系統中找到了斐波那契的模板題，時間對比如下：

（普通遞推）

（使用矩陣相乘）

最后：矩陣相乘大概就是用矩陣的角度看待遞推，將遞推的變化盡可能化成矩陣相乘后的結果，

不過設出F和A并不容易。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学知识-矩阵乘法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。