1.判別模型與生成模型

上篇報告中提到的回歸模型是判別模型，也就是根據(jù)特征值來求結(jié)果的概率。形式化表示為，在參數(shù)確定的情況下，求解條件概率。通俗的解釋為在給定特征后預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)的概率。

比如說要確定一只羊是山羊還是綿羊，用判別模型的方法是先從歷史數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)到模型，然后通過提取這只羊的特征來預(yù)測出這只羊是山羊的概率，是綿羊的概率。換一種思路，我們可以根據(jù)山羊的特征首先學(xué)習(xí)出一個山羊模型，然后根據(jù)綿羊的特征學(xué)習(xí)出一個綿羊模型。然后從這只羊中提取特征，放到山羊模型中看概率是多少，再放到綿羊模型中看概率是多少，哪個大就是哪個。形式化表示為求（也包括，y是模型結(jié)果，x是特征。

利用貝葉斯公式發(fā)現(xiàn)兩個模型的統(tǒng)一性：

由于我們關(guān)注的是y的離散值結(jié)果中哪個概率大（比如山羊概率和綿羊概率哪個大），而并不是關(guān)心具體的概率，因此上式改寫為：

其中稱為后驗(yàn)概率，稱為先驗(yàn)概率。

由，因此有時稱判別模型求的是條件概率，生成模型求的是聯(lián)合概率。

常見的判別模型有線性回歸、對數(shù)回歸、線性判別分析、支持向量機(jī)、boosting、條件隨機(jī)場、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。

常見的生產(chǎn)模型有隱馬爾科夫模型、樸素貝葉斯模型、高斯混合模型、LDA、Restricted Boltzmann Machine等。

這篇博客較為詳細(xì)地介紹了兩個模型：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=248173&do=blog&id=227964

2.高斯判別分析（Gaussian discriminant analysis）

1） 多值正態(tài)分布

多變量正態(tài)分布描述的是n維隨機(jī)變量的分布情況，這里的變成了向量，也變成了矩陣。寫作。假設(shè)有n個隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn。的第i個分量是E(Xi)，而。

概率密度函數(shù)如下：

其中|是的行列式，是協(xié)方差矩陣，而且是對稱半正定的。

當(dāng)是二維的時候可以如下圖表示：

其中決定中心位置，決定投影橢圓的朝向和大小。

如下圖：

對應(yīng)的都不同。

2） 模型分析與應(yīng)用

如果輸入特征x是連續(xù)型隨機(jī)變量，那么可以使用高斯判別分析模型來確定p(x|y)。

模型如下：

輸出結(jié)果服從伯努利分布，在給定模型下特征符合多值高斯分布。通俗地講，在山羊模型下，它的胡須長度，角大小，毛長度等連續(xù)型變量符合高斯分布，他們組成的特征向量符合多值高斯分布。

這樣，可以給出概率密度函數(shù)：

最大似然估計如下：

注意這里的參數(shù)有兩個，表示在不同的結(jié)果模型下，特征均值不同，但我們假設(shè)協(xié)方差相同。反映在圖上就是不同模型中心位置不同，但形狀相同。這樣就可以用直線來進(jìn)行分隔判別。

求導(dǎo)后，得到參數(shù)估計公式：

是訓(xùn)練樣本中結(jié)果y=1占有的比例。

是y=0的樣本中特征均值。

是y=1的樣本中特征均值。

是樣本特征方差均值。

如前面所述，在圖上表示為：

直線兩邊的y值不同，但協(xié)方差矩陣相同，因此形狀相同。不同，因此位置不同。

3） 高斯判別分析（GDA）與logistic回歸的關(guān)系

將GDA用條件概率方式來表述的話，如下：

y是x的函數(shù)，其中都是參數(shù)。

進(jìn)一步推導(dǎo)出

這里的是的函數(shù)。

這個形式就是logistic回歸的形式。

也就是說如果p(x|y)符合多元高斯分布，那么p(y|x)符合logistic回歸模型。反之，不成立。為什么反過來不成立呢？因?yàn)镚DA有著更強(qiáng)的假設(shè)條件和約束。

如果認(rèn)定訓(xùn)練數(shù)據(jù)滿足多元高斯分布，那么GDA能夠在訓(xùn)練集上是最好的模型。然而，我們往往事先不知道訓(xùn)練數(shù)據(jù)滿足什么樣的分布，不能做很強(qiáng)的假設(shè)。Logistic回歸的條件假設(shè)要弱于GDA，因此更多的時候采用logistic回歸的方法。

例如，訓(xùn)練數(shù)據(jù)滿足泊松分布，

，

那么p(y|x)也是logistic回歸的。這個時候如果采用GDA，那么效果會比較差，因?yàn)橛?xùn)練數(shù)據(jù)特征的分布不是多元高斯分布，而是泊松分布。

這也是logistic回歸用的更多的原因。

3.樸素貝葉斯模型

在GDA中，我們要求特征向量x是連續(xù)實(shí)數(shù)向量。如果x是離散值的話，可以考慮采用樸素貝葉斯的分類方法。

假如要分類垃圾郵件和正常郵件。分類郵件是文本分類的一種應(yīng)用。

假設(shè)采用最簡單的特征描述方法，首先找一部英語詞典，將里面的單詞全部列出來。然后將每封郵件表示成一個向量，向量中每一維都是字典中的一個詞的0/1值，1表示該詞在郵件中出現(xiàn)，0表示未出現(xiàn)。

比如一封郵件中出現(xiàn)了“a”和“buy”，沒有出現(xiàn)“aardvark”、“aardwolf”和“zygmurgy”，那么可以形式化表示為：

假設(shè)字典中總共有5000個詞，那么x是5000維的。這時候如果要建立多項(xiàng)式分布模型（二項(xiàng)分布的擴(kuò)展）。

多項(xiàng)式分布（multinomial distribution） 某隨機(jī)實(shí)驗(yàn)如果有k個可能結(jié)局A1，A2，…，Ak，它們的概率分布分別是p1，p2，…，pk，那么在N次采樣的總結(jié)果中，A1出現(xiàn)n1次，A2出現(xiàn)n2次，…，Ak出現(xiàn)nk次的這種事件的出現(xiàn)概率P有下面公式：（Xi代表出現(xiàn)ni次）

對應(yīng)到上面的問題上來，把每封郵件當(dāng)做一次隨機(jī)試驗(yàn)，那么結(jié)果的可能性有種。意味著pi有個，參數(shù)太多，不可能用來建模。

換種思路，我們要求的是p(y|x)，根據(jù)生成模型定義我們可以求p(x|y)和p(y)。假設(shè)x中的特征是條件獨(dú)立的。這個稱作樸素貝葉斯假設(shè)。如果一封郵件是垃圾郵件（y=1），且這封郵件出現(xiàn)詞“buy”與這封郵件是否出現(xiàn)“price”無關(guān)，那么“buy”和“price”之間是條件獨(dú)立的。

形式化表示為，（如果給定Z的情況下，X和Y條件獨(dú)立）：

也可以表示為：

回到問題中

這個與NLP中的n元語法模型有點(diǎn)類似，這里相當(dāng)于unigram。

這里我們發(fā)現(xiàn)樸素貝葉斯假設(shè)是約束性很強(qiáng)的假設(shè)，“buy”從通常上講與“price”是有關(guān)系，我們這里假設(shè)的是條件獨(dú)立。（注意條件獨(dú)立和獨(dú)立是不一樣的）

建立形式化的模型表示：

那么我們想要的是模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上概率積能夠最大，即最大似然估計如下：

注意這里是聯(lián)合概率分布積最大，說明樸素貝葉斯是生成模型。

求解得：

最后一個式子是表示y=1的樣本數(shù)占全部樣本數(shù)的比例，前兩個表示在y=1或0的樣本中，特征Xj=1的比例。

然而我們要求的是

實(shí)際是求出分子即可，分母對y=1和y=0都一樣。

當(dāng)然，樸素貝葉斯方法可以擴(kuò)展到x和y都有多個離散值的情況。對于特征是連續(xù)值的情況，我們也可以采用分段的方法來將連續(xù)值轉(zhuǎn)化為離散值。具體怎么轉(zhuǎn)化能夠最優(yōu)，我們可以采用信息增益的度量方法來確定（參見Mitchell的《機(jī)器學(xué)習(xí)》決策樹那一章）。

比如房子大小可以如下劃分成離散值：

4.拉普拉斯平滑

樸素貝葉斯方法有個致命的缺點(diǎn)就是對數(shù)據(jù)稀疏問題過于敏感。

比如前面提到的郵件分類，現(xiàn)在新來了一封郵件，郵件標(biāo)題是“NIPS call for papers”。我們使用更大的網(wǎng)絡(luò)詞典（詞的數(shù)目由5000變?yōu)?5000）來分類，假設(shè)NIPS這個詞在字典中的位置是35000。然而NIPS這個詞沒有在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中出現(xiàn)過，這封郵件第一次出現(xiàn)了NIPS。那我們算概率的時候如下：

由于NIPS在以前的不管是垃圾郵件還是正常郵件都沒出現(xiàn)過，那么結(jié)果只能是0了。

顯然最終的條件概率也是0。

原因就是我們的特征概率條件獨(dú)立，使用的是相乘的方式來得到結(jié)果。

為了解決這個問題，我們打算給未出現(xiàn)特征值，賦予一個“小”的值而不是0。

具體平滑方法如下：

假設(shè)離散型隨機(jī)變量z有{1,2,…,k}個值，我們用來表示每個值的概率。假設(shè)有m個訓(xùn)練樣本中，z的觀察值是其中每一個觀察值對應(yīng)k個值中的一個。那么根據(jù)原來的估計方法可以得到

說白了就是z=j出現(xiàn)的比例。

拉普拉斯平滑法將每個k值出現(xiàn)次數(shù)事先都加1，通俗講就是假設(shè)他們都出現(xiàn)過一次。

那么修改后的表達(dá)式為：

每個z=j的分子都加1，分母加k。可見。

這個有點(diǎn)像NLP里面的加一平滑法，當(dāng)然還有n多平滑法了，這里不再詳述。

回到郵件分類的問題，修改后的公式為：

5.文本分類的事件模型

回想一下我們剛剛使用的用于文本分類的樸素貝葉斯模型，這個模型稱作多值伯努利事件模型（multi-variate Bernoulli event model）。在這個模型中，我們首先隨機(jī)選定了郵件的類型（垃圾或者普通郵件，也就是p(y)），然后一個人翻閱詞典，從第一個詞到最后一個詞，隨機(jī)決定一個詞是否要在郵件中出現(xiàn)，出現(xiàn)標(biāo)示為1，否則標(biāo)示為0。然后將出現(xiàn)的詞組成一封郵件。決定一個詞是否出現(xiàn)依照概率p(xi|y)。那么這封郵件的概率可以標(biāo)示為。

讓我們換一個思路，這次我們不先從詞典入手，而是選擇從郵件入手。讓i表示郵件中的第i個詞，xi表示這個詞在字典中的位置，那么xi取值范圍為{1,2,…|V|}，|V|是字典中詞的數(shù)目。這樣一封郵件可以表示成，n可以變化，因?yàn)槊糠忄]件的詞的個數(shù)不同。然后我們對于每個xi隨機(jī)從|V|個值中取一個，這樣就形成了一封郵件。這相當(dāng)于重復(fù)投擲|V|面的骰子，將觀察值記錄下來就形成了一封郵件。當(dāng)然每個面的概率服從p(xi|y)，而且每次試驗(yàn)條件獨(dú)立。這樣我們得到的郵件概率是。居然跟上面的一樣，那么不同點(diǎn)在哪呢？注意第一個的n是字典中的全部的詞，下面這個n是郵件中的詞個數(shù)。上面xi表示一個詞是否出現(xiàn)，只有0和1兩個值，兩者概率和為1。下面的xi表示|V|中的一個值，|V|個p(xi|y)相加和為1。是多值二項(xiàng)分布模型。上面的x向量都是0/1值，下面的x的向量都是字典中的位置。

形式化表示為：

m個訓(xùn)練樣本表示為：

表示第i個樣本中，共有ni個詞，每個詞在字典中的編號為。

那么我們?nèi)匀话凑諛闼刎惾~斯的方法求得最大似然估計概率為

解得，

與以前的式子相比，分母多了個ni，分子由0/1變成了k。

舉個例子：

X1	X2	X3	Y
1	2	-	1
2	1	-	0
1	3	2	0
3	3	3	1

假如郵件中只有a，b，c這三詞，他們在詞典的位置分別是1,2,3，前兩封郵件都只有2個詞，后兩封有3個詞。

Y=1是垃圾郵件。

那么，

假如新來一封郵件為b，c那么特征表示為{2,3}。

那么

那么該郵件是垃圾郵件概率是0.6。

注意這個公式與樸素貝葉斯的不同在于這里針對整體樣本求的，而樸素貝葉斯里面針對每個特征求的，而且這里的特征值維度是參差不齊的。

這里如果假如拉普拉斯平滑，得到公式為：

表示每個k值至少發(fā)生過一次。

另外樸素貝葉斯雖然有時候不是最好的分類方法，但它簡單有效，而且速度快。

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編輯?∑Pluto

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總結(jié)

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