最自然的数字——e
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相對它的唯一競爭者??來說,??就像是初來乍到的。?由于其可追溯到巴比倫時期的輝煌歷史而顯得更具威嚴,而??卻沒有什么值得稱道的歷史為其添彩。常數??是年輕而充滿生機的,當涉及“增長”時,它就會出現。無論是人口、金錢或其他的自然數量,它們的增長總是不可避免地會涉及??。
?是一個近似值為??的數。那么它為什么這么特別呢?它并不是一個隨機產生的數,而是數學中最偉大的常數之一。它萌發于 17 世紀早期,那時,幾個數學家正致力于如何闡明對數的思想,這個偉大的發明使得大數之間的乘法可以轉換為加法。
但是,故事真正開始于 17 世紀。當時,瑞士的伯努利家族像個生產數學家的工廠,涌現了一批杰出的數學家,而雅各布 ·伯努利正是這個家族的一員。1683 年,雅各布開始研究復利的問題。
金錢,金錢,金錢
假設我們考慮??年定期存款,利率為?,初始存款(稱為本金)為£。當然我們幾乎不可能得到??這么高的利息,這個數字僅僅是為了便于計算,我們完全可以將其推廣到真實的利率,例如??或??。同理,如果我們假定本金為£?的話,那么計算過程中的所有數字都要乘以?倍。
在第一年結束后,按??的利率來算,我們現在擁有了本金以及相應的利率£。也就是說,現在的總額高達£。現在我們假設將利率降低到?,但是每半年單獨結算一次。在前半年結束后,我們得到了??便士的利息,總額增加到£?。所以,在全年結束時,我們將以這個基數計算利率,共得到??便士的利息。一年結束后,我們最初的存款£?增長到了£?!通過每半年計算一次復利,我們得到了額外??便士的利息。雖然這看起來很少,但是如果我們投資了£的本金,我們最后得到的將是£,而不是£。通過半年復利的計算方法,我們得到了額外的£。
但是,如果每半年計算一次復利可以使我們的本金獲得更多的利息,銀行也同樣可以從我們欠銀行的債務上獲得更多的利息,所以我們一定要小心!現在假設將一年劃分為??個季度,每個季度的利率為??。經過類似的計算,我們發現本金£?增加到了£。我們的錢在增加,對于£?的本金來說,如果能進一步減小計算利息的周期和利率,我們將能獲得更多的利息。
我們的錢會無限增長下去,并使我們變為百萬富翁嗎?如果我們將一年時間繼續劃分為越來越短的周期,這個“極限過程”最終將使本息和停留在某一個常數上,如下表所示。當然,現實中計算復利的最短周期是每天(銀行正是這么做的)。這個過程的數學結論是,這個極限值(數學家稱之為e )是將復利的計算變得連續發生時,£?的本金最后所獲得的本息和。這是個好消息還是壞消息呢?你應該知道答案:如果你是在存款,那么它是好消息;如果你欠銀行錢,它就是壞消息。這是一個“?學習”的問題。
e的精確值
和??一樣,??也是一個無理數,因此,我們也無法知道它的精確數值。將?擴展到小數點后??位的結果是?
如果僅僅使用分數,并且限定分母和分子都是??位數的話,?的最佳近似是??。有趣的是,如果將分母和分子限定到??位數,則最佳近似是??。第二個分數恰好為第一個分數的一個回文展開:一一一數學總是習慣于給我們奉上一些小的驚喜。關于??的一個著名的展開序列為:
上式中的階乘用感嘆號來表示更方便一些。例如,。根據這種表示法,??可以表示為我們更熟悉的形式
因此,數字??看起來應該有一定的模式。從數學性質來說,??比??更加“對稱”。
如果你想知道一種記住??的前幾位數字的方法,嘗試一下這個:“Weattempt a mnemonic to remember a strategy to memorize this count...”,每個單詞中的字母個數依次代表??中小數點后面的數字。如果你熟悉美國的歷史,應該將??記為“?Andrew Jackson Andrew Jackson”,因為安德魯 ·杰克遜(外號“老山胡桃”)是在??年當選為美國第??任總統的。有很多幫助記憶??的方法,它們的趣味在于它們所涉及的離奇事物,而并非在數學上有過人之處。
歐拉在 1737 年證明了??是無理數(而不是分數)。1840 年,法國數學家劉維爾證明了??不是**任何**??次方程的解,而在 1873 年,他的同胞埃爾米特,開創性地證明了??是超越的(不是任何代數方程的解)。這里重要的是埃爾米特所使用的方法。?年之后,林德曼沿用埃爾米特的方法證明了?是超越的,而這個問題顯得更惹人注目。
舊的問題剛剛解決,新的問題又會接踵而來。?的??次冪也是超越的嗎?這個表述顯得如此怪誕,但是還能有什么更好的表述呢?它至今仍未被嚴謹地證明,按照數學的嚴格標準,它仍應算作猜想。數學家們的證明已經很接近了,證明出了它和??的??次冪不可能同時都是超越的。接近了,但是還不夠接近!
?和??之間的關系非常令人著迷!??和??的值非常接近,但是我們很容易證明?(無需精確計算它們的數值)。如果使用計算器算一下,你會發現它們的近似值為??。
e很重要嗎
?主要出現在涉及增長的地方。比如說經濟增長和人口增長。與其相關的還有用??決定曲線來描述放射性衰變。
數字??也出現在與增長無關的地方。蒙特莫特(Pierre Montmort)在18世紀研究了一個概率問題,隨后對該問題的研究推廣開來。簡單地說,一群人去吃午飯,吃完后要離開時隨機拿起一頂帽子。那么沒有人拿到自己帽子的概率為多大?
可以證明這個概率是?(大約?),所以至少有一個人拿到了他自己帽子的概率為?(?)。這只是它在概率論中諸多應用中的一個。用于描述小概率事件的泊松分布是另一個例子。這些都是較早的應用,但還不只這些。詹姆士·斯特林利用??和??得到了一個對階乘??的著名近似:在統計學中,正態分布的“鐘形曲線”涉及?:在工程學中,懸索橋纜索的曲線取決于??。如此列舉下去的清單是無窮無盡的。
一個驚世駭俗的恒等式
數學中最吸引人眼球的等式也涉及??。當我們思考數學中的著名數字時,我們會想到??以及虛數??。下面的式子真的成立嗎?
成立:這個結果要歸功于歐拉。
也許,??的重要性就在于它的神秘吸引和魅惑了一代代的數學家。總而言之,??是無可替代的。不知為何作家E.V. 懷特(或許他還有一個筆名)要花費那么多力氣完成了一部不含字母??的小說,他的《蓋茨比》(Gadspy)確實就是一部這樣的小說。很難想象一個數學家想要或是有能力寫這樣一本沒有??的教科書。
來源:圖靈新知
—?THE END —
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總結
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