今天的CSDN問(wèn)答專欄里出現(xiàn)了一個(gè)實(shí)戰(zhàn)中遇到的問(wèn)題：現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，一組是時(shí)間序列，一組是對(duì)應(yīng)時(shí)間序列的旋轉(zhuǎn)角度，請(qǐng)問(wèn)怎樣計(jì)算某一時(shí)刻的角速度呢？

時(shí)間（s）角度（°）

192	7.085
193	10.497
194	14.019
195	17.683
196	21.487
197	25.403
198	29.402
199	33.467

顯然，這是一個(gè)求導(dǎo)即可解決的問(wèn)題。如果將時(shí)間記作t，將旋轉(zhuǎn)角度記作θ，那么θ就是t的函數(shù)：

對(duì)上式求導(dǎo)，就得到角速度v對(duì)時(shí)間t的函數(shù)：

通常，我們把第1個(gè)公式叫做原函數(shù)，把第2個(gè)公式叫做導(dǎo)函數(shù)。有了原函數(shù)，利用六大基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，或者應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，一般都可以得到導(dǎo)函數(shù)。

然而，本問(wèn)題的原函數(shù)f(t)在哪里呢？我們手頭有的，不過(guò)是兩組離散的測(cè)量數(shù)據(jù)而已。漫說(shuō)f(t)不見(jiàn)蹤影，就算f(t)已經(jīng)存在，倘若不是基本初等函數(shù)的話，恐怕大多數(shù)程序員也早已忘記如何求導(dǎo)了吧？

看起來(lái)真的是山窮水盡無(wú)從下手了。不過(guò)呢，不用擔(dān)心，今天推薦一個(gè)通用的求導(dǎo)方法，可以幫助程序員徹底擺脫求導(dǎo)的困惑。這個(gè)通用方法有兩個(gè)步驟：第一步是通過(guò)離散數(shù)據(jù)找到原函數(shù)，第二步是不依賴于求導(dǎo)公式和技巧就可以得到導(dǎo)函數(shù)，無(wú)論原函數(shù)有多么復(fù)雜。

1. 尋找原函數(shù)

從兩組離散數(shù)據(jù)中找到它們之間的內(nèi)在關(guān)系，是一個(gè)回歸問(wèn)題，而數(shù)據(jù)插值就是對(duì)回歸函數(shù)的應(yīng)用。這啟發(fā)了我從scipy的插值問(wèn)題中尋找回歸函數(shù)。為了使方法更具通用性，下面的代碼用自變量x代替時(shí)間t，用因變量y代替旋轉(zhuǎn)角度θ，借助scipy模塊的一維插值函數(shù)interp1d，輕松得到了本文開(kāi)始給出的兩組數(shù)據(jù)間隱含的函數(shù)關(guān)系。

>>>?import?numpy?as?np >>>?from?scipy?import?interpolate >>>?_x?=?np.linspace(192,199,8) >>>?_y?=?np.array([7.085,10.497,14.019,17.683,21.487,25.403,29.402,33.467]) >>>?f?=?interpolate.interp1d(_x,?_y,?kind='cubic')

這段代碼最后得到的f，就是旋轉(zhuǎn)角度對(duì)于時(shí)間的函數(shù)，自變量的值域范圍限定在原始的時(shí)間數(shù)據(jù)的變化范圍內(nèi)。現(xiàn)在我們可以用它來(lái)計(jì)算192~199范圍內(nèi)任意時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)角度了。

>>>?f(193.3) array(11.54026091) >>>?f(193.35) array(11.71517478) >>>?f(193.351) array(11.71867619)

分別輸入193.3、193.35、193.351等時(shí)刻，簡(jiǎn)單測(cè)試了一下，看上去還都挺象那么回事兒。

2. 求解導(dǎo)函數(shù)

原函數(shù)找是找到了，卻猶抱琵琶半遮面，究竟什么模樣，我們還是不得而知。沒(méi)關(guān)系，下面這個(gè)通用的求導(dǎo)方法根本不在意原函數(shù)長(zhǎng)什么樣，只要原函數(shù)是真實(shí)存在的，就足夠了。這個(gè)方法的原理，就是令自變量x在某處有一個(gè)極小的增量dx，將因變量y的增量dy與dx之比近似視為函數(shù)在該處的導(dǎo)數(shù)。這里默認(rèn)dx=1.0X10的-10次方，如有必要，還可以將其設(shè)置為更小的數(shù)值。

>>>?def?get_derivative(f,?delta=1e-10):"""導(dǎo)函數(shù)生成器"""def?derivative(x):"""導(dǎo)函數(shù)"""return?(f(x+delta)-f(x))/deltareturn?derivative

這不是一個(gè)閉包函數(shù)嗎？熟悉閉包的讀者一眼就會(huì)看出來(lái)。沒(méi)錯(cuò)，導(dǎo)函數(shù)生成器就是一個(gè)閉包函數(shù)，只要告訴它原函數(shù)，它就返回對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)。用剛才得到的旋轉(zhuǎn)角度關(guān)于時(shí)間的原函數(shù)來(lái)測(cè)試一下，輕松得到其導(dǎo)函數(shù)，也就是旋轉(zhuǎn)角速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。

>>>?fd?=?get_derivative(f)

用這個(gè)導(dǎo)函數(shù)計(jì)算一下193.5和195.8兩個(gè)時(shí)刻的角速度：

>>>?fd(193.5) 3.590830143540664 >>>?fd(195.8) 3.8961776076555026

至此，問(wèn)題得解。

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總結(jié)

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