雖然有回歸兩個字，但是依然是解決的時分類問題，是最經典的二分類算法。
分類算法有很多，例如支持向量機和神經網絡。而邏輯回歸算法應用的比較廣，往往是優先選擇的算法。

Sigmod函數

表達式：
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{?z}}$$

自變量取值為任意實數，值域[0,1]
在線性回歸中的結果預測出一個值，將這個值放到這個sigmod中，得到一個輸出結果，而這個結果可以表示為概率值。

假設預測函數： $h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}x)=\frac{1}{1+e^{?{\theta }^{T}x}}$，
其中 ${\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_{2}x+,...,{\theta }_{n}x={\sum }_{i=1}^n{\theta }_i{x}_i={\theta }^{T}x$

假設這是一個二分類任務：
$$\{\begin{array}{l}P(y=1|x;\theta )=h_{\theta }(x)\\ P(y=0|x;\theta )=1?h_{\theta }(x)\end{array}$$
可以將上面的公式進行整合：
$$P(y|x;\theta )=(h_{\theta }(x){)}^y(1?h_{\theta }(x){)}^{1?y}$$
上面的公式對于二分類任務(0,1)，整合后y取0只保留$(1?h_{\theta }(x){)}^{1?y}$，y取1只保留$(h_{\theta }(x){)}^y$

邏輯回歸似然函數

$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{m}P(y_i|x_i;\theta )=\prod _{i=1}^m(h_{\theta }(x_i{)}^{y_i}(1?h_{\theta }(x_i){)}^{1?y_i})$$
對數似然函數為：
$$l(\theta )=logL(\theta )=\sum _{i=1}^m(y_{i}log{h}_{\theta }(xi)+(1?y)log(1?h_{\theta }(xi)))$$
而似然函數是要求一個最大值，此時應用梯度上升求最大值，但是一般通過引入$J(\theta )=?\frac{1}{m}l(\theta )$轉換為梯度下降任務。

其中${\theta }_j$表示第$j$個特征。最終結果為$\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)?y_i)x_i^j$
其中$x_i^j$表示第$i$個樣本第$j$個特征。

更新參數${\theta }_j$

$${\theta }_j:={\theta }_j?\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)?y_i)x_i^j$$
其中$\alpha$表示步長，${\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)?y_i)x_i^j$表示方向，$\frac{1}{m}$表示綜合考慮每一個樣本。

多分類softmax

上面都是基于二分類的邏輯回歸，而對于一個多分類問題，往往使用softmax算法，公式如下：
$$h_{\theta }(x^{(i)})=?\begin{array}{c}p(y^{(i)}=1|x^{(i)};\theta )\\ p(y^{(i)}=2|x^{(i)};\theta )\\ ?\\ p(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta )\end{array}?=\frac{1}{{\sum }_{j=1}^k{e}^{{\theta }_j^T{x}^{(i)}}}?\begin{array}{c}{e}^{{\theta }_1^T{x}^{(i)}}\\ e^{{\theta }_2^T{x}^{(i)}}\\ ?\\ e^{{\theta }_k^T{x}^{(i)}}\end{array}?$$

python實現最簡單的邏輯回歸

我們將建立一個邏輯回歸模型來預測一個學生是否被大學錄取。假設你是一個大學系的管理員，你想根據兩次考試的結果來決定每個申請人的錄取機會。你有以前的申請人的歷史數據，你可以用它作為邏輯回歸的訓練集。對于每一個培訓例子，你有兩個考試的申請人的分數和錄取決定。為了做到這一點，我們將建立一個分類模型，根據考試成績估計入學概率。

數據

34.62365962451697,78.0246928153624,0 30.28671076822607,43.89499752400101,0 35.84740876993872,72.90219802708364,0 60.18259938620976,86.30855209546826,1 79.0327360507101,75.3443764369103,1 45.08327747668339,56.3163717815305,0 61.10666453684766,96.51142588489624,1 75.02474556738889,46.55401354116538,1 76.09878670226257,87.42056971926803,1 84.43281996120035,43.53339331072109,1

1.1 引入庫

import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline

查看數據情況：

positive=pdData[pdData['Admitted']==1] negative=pdData[pdData['Admitted']==0]fig,ax=plt.subplots(figsize=(10,5)) ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o',label='Admitted') ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x',label='Not Admitted') ax.legend() ax.set_xlabel('Exam 1 score') ax.set_ylabel('Exam 2 score')

輸出結果如下：

2要完成的模塊

• sigmod：映射到概率的函數
• model：返回預測結果值
• cost：計算參數損失
• gradient：計算每個參數的梯度方向
• descent：進行參數更新
• accuracy：計算精度

2.1目標

建立分類器，求解出三個參數${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2$，其中${\theta }_1$對應第一個考試成績，${\theta }_2$對應第二個考試成績，${\theta }_0$對應偏置項。
設置閾值，根據閾值判斷錄取結果。

2.2 sigmod函數

def sigmod(z):return 1/(1+np.exp(-1))

舉例展示：

nums = np.arange(-10, 10, step=1) fig,ax=plt.subplots(figsize=(12, 4)) ax.plot(nums,sigmod(nums),'r')

2.3 model

def model(X, theta):return sigmod(np.dot(X, theta.T)) # 進行矩陣乘法

$$({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2)\times ?\begin{array}{c}1\\ x_1\\ x_2\end{array}?={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$$
構造初始化數據：

pdData.insert(0, 'Ones', 1) # 添加列,列名Ones，數據全為1 orig_data = pdData.values # 將DataFrame轉為矩陣cols = orig_data.shape[1] #獲取列數量 4 X = orig_data[:,0:cols-1] # 獲取第一列、第二列、第三列數據 y = orig_data[:,cols-1:cols] #獲取第四列數據 theta = np.zeros([1,3]) # 創建1行3列的零矩陣

查看數據X：

查看標簽y：

查看參數$\theta$:

查看shape：

2.4 損失函數

將上面所講的對數似然函數取負號，因為要轉為梯度下降：
$$D(h_{\theta }(x),y)=?ylog(h_{\theta }(x))?(1?y)log(1?h_{\theta }(x))$$
求平均損失：
$$J(\theta )=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}D(h_{\theta }(x_i),y_i)$$

def cost(X,y,theta):left=np.multiply(-y, np.log(model(X,theta)))right=np.multiply(1-y,np.log(1-model(X,theta)))return np.sum(left - right)/(len(X))

運行損失函數：

cost(X,y,theta)

結果如下：

0.6931471805599453

2.5 計算梯度

根據上面得出的偏導公式：
$$\frac{?J}{?{\theta }_j}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n(h_{\theta }(x_i)?y_i)x_i^j$$
m表示樣本個數，n表示參數$\theta$個數

def gradient(X,y,theta):grad = np.zeros(theta.shape) # 當前有三個參數，因此有三個梯度，梯度與theta一一對應error = (model(X,theta) - y).ravel() # 將負號提到里面for j in range(len(theta.ravel())): # 3個參數，求三次偏導term = np.multiply(error, X[:,j])grad[0,j] = np.sum(term)/len(X)return grad

這樣就獲取到三個特征的梯度。

3 批量梯度下降GD、隨機梯度下降SGD、小批量梯度下降的各自表現

STOP_ITER=0 # 迭代次數，按照迭代次數停止， STOP_COST=1 # 損失變化，可以看迭代前的目標函數，和迭代后的目標函數，如果這兩次迭代生成的目標函數差異非常小，就可以停止 STOP_GRAD=2 # 梯度變化，梯度如果變化很小，那么可以停止def stopCriterion(type, value, threshold):# 設定三種不同的停止策略if type == STOP_ITER: return value > thresholdelif type == STOP_COST: return abs(value[-1]-value[-2]) < thresholdelif type == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold

3.1 數據洗牌

防止數據有一定的規律，讓模型的泛化能力能強，對數據進行洗牌，

import numpy.random#洗牌 def shuffleData(data):np.random.shuffle(data)cols = data.shape[1]X = data[:, 0:cols-1]y = data[:, cols-1:]return X,y

3.2 梯度下降

import timedef descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):# data:數據# theta: 參數# batchSize=1 表示隨機梯度下降，batchSize=總樣本數 表示梯度下降，batchSize=（1到總體之間）表示小批量梯度下降# stopType表示停止策略# thresh表示停止策略對應的閾值# alpha表示學習率# 初始化init_time = time.time()i = 0 # 迭代次數k = 0 # batchX, y = shuffleData(data)grad = np.zeros(theta.shape) # 梯度costs = [cost(X, y, theta)] # 損失值while True:grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)k += batchSize # 取batch數量個數據if k >= n:k = 0X, y = shuffleData(data) # 重新洗牌theta = theta-alpha*grad #更新參數costs.append(cost(X, y, theta)) # 重新計算新的損失i += 1if stopType == STOP_ITER: value = ielif stopType == STOP_COST: value = costselif stopType == STOP_GRAD: value = gradif stopCriterion(stopType, value, thresh): breakreturn theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

3.3 執行梯度下降函數

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):#import pdb; pdb.set_trace();theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)if batchSize==n: strDescType = "Gradient"elif batchSize==1: strDescType = "Stochastic"else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)name += strDescType + " descent - Stop: "if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)name += strStopprint ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(name, theta, iter, costs[-1], dur))fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')ax.set_xlabel('Iterations')ax.set_ylabel('Cost')ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')return theta

3.3.1 批量梯度下降GD

3.3.1.1 根據迭代次數進行停止

runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.000001)

按照迭代次數進行停止，迭代5000次，學習率是 0.000001
運行結果：

***Original data - learning rate: 1e-06 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations Theta: [[-0.00027127 0.00705232 0.00376711]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.63 - Duration: 0.77s

其中x軸是迭代次數，y軸是損失值，隨著迭代次數的增加，目標函數逐漸收斂。
當前的時間消耗0.77s。

3.3.1.2 根據損失函數變化進行停止

runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha = 0.001)

設置閾值1E-6，差不多需要迭代110000次。
輸出結果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: costs change < 1e-06 Theta: [[-5.13364014 0.04771429 0.04072397]] - Iter: 109901 - Last cost: 0.38 - Duration: 17.36s

可以看出時間花了17.36s

3.3.1.3 根據梯度值進行停止

runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha = 0.001)

輸出結果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: gradient norm < 0.05 Theta: [[-2.37033409 0.02721692 0.01899456]] - Iter: 40045 - Last cost: 0.49 - Duration: 6.67s

根據第一張圖，看似迭代5000次就已經到達瓶頸了，其實如果迭代11萬次依然可以達到一個很高的準確率，所以不要被一張圖蒙蔽了。

3.3.2 隨機梯度下降SGD

每次只迭代一個樣本

3.3.2.1 根據迭代次數進行停止

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)

這里的學習率是0.001，根本不能收斂
輸出結果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Stochastic descent - Stop: 5000 iterations Theta: [[-0.38304524 0.02692472 0.07197214]] - Iter: 5000 - Last cost: 1.98 - Duration: 0.27s

而當我們的學習率改為0.000001后，輸出結果如下：

3.3.3 小批量梯度下降

每次只迭代一批樣本

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)

輸出結果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Mini-batch (16) descent - Stop: 5000 iterations Theta: [[-0.35752768 0.01835205 0.0004876 ]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.61 - Duration: 0.35s

與上面的圖像相似，同樣可以通過修改學習率進行改善：

除了將學習率調小之外，還有其他方式來改善。
可以通過對數據進行標準化，將數據按其屬性（按列進行）減去其均值，然后除以其方差。最后得到的結果是，對每個屬性/每列來說所有數據都聚集在0附近，方差值為1。實現方式如下：

from sklearn import preprocessing as ppscaled_data = orig_data.copy() scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3]) runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)

輸出結果如下：

***Scaled data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations Theta: [[0.3080807 0.86494967 0.77367651]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.38 - Duration: 0.86s

昨晚sklearning之后，變得收斂了。

4. 精度

def predict(X, theta):return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]scaled_X = scaled_data[:, :3] y = scaled_data[:, 3] predictions = predict(scaled_X, theta) correct = [1 if ((a==1 and b==1) or (a==0 and b==0)) else 0 for (a,b) in zip(predictions, y)] accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct)) print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习(三)逻辑回归以及python简单实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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