文章目錄

• 一、基本原理
• 二、原理深入講解
• • 1 、切線是曲線的線性逼近
  • 2、 牛頓-拉夫遜法
  • 3 、牛頓-拉夫遜法是否總是收斂（總是可以求得足夠近似的根）？
• 三、pythons實(shí)例
• 總結(jié)

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一、基本原理

????對(duì)于一個(gè)方程 f ( x ) = 0 ，我們將函數(shù) f ( x )單獨(dú)考慮。
????若函數(shù) f ( x ) (n+1)階可導(dǎo)，則我們?cè)诔跏贾?x = x ₀ 處進(jìn)行泰勒展開，可得：

????令 x ? x ₀= Δ x ，然后將上述泰勒公式一階展開，忽略余項(xiàng)可得：

???令其等于 f ( x ) = 0，可得：

???從而求出：

二、原理深入講解

1 、切線是曲線的線性逼近

???要講牛頓迭代法之前我們先說(shuō)一個(gè)關(guān)鍵問題：切線是曲線的線性逼近。
???這個(gè)是什么意思呢？我們來(lái)看一看，下面是 f(x)=x^2 的圖像：

???我們隨便選一點(diǎn)f(x) 上的一點(diǎn)(a,f(a))作它的切線：

???我們?cè)贏點(diǎn)處放大圖像：

???上圖中，紅色的線是f(x)，黑色的是A點(diǎn)處的切線，可以看出放大之后切線和f(x)非常接近了。很明顯，如果我們進(jìn)一步放大圖像，A點(diǎn)切線就越接近f(x)。

???因?yàn)榍芯€是一條直線（也就是線性的），所以我們可以說(shuō)，A點(diǎn)的切線是f(x)的線性逼近。離A點(diǎn)距離越近，這種逼近的效果也就越好，也就是說(shuō)，切線與曲線之間的誤差越小。所以我們可以說(shuō)在A點(diǎn)附近，“切線約等于 f(x) ”。

2、 牛頓-拉夫遜法

???牛頓-拉夫遜法提出來(lái)的思路就是利用切線是曲線的線性逼近這個(gè)思想。
???牛頓、拉夫遜們想啊，切線多簡(jiǎn)單啊，研究起來(lái)多容易啊，既然切線可以近似于曲線，我直接研究切線的根不就成了。
然后他們觀察到這么一個(gè)事實(shí)：

???隨便找一個(gè)曲線上的A點(diǎn)（為什么隨便找，根據(jù)切線是切點(diǎn)附近的曲線的近似，應(yīng)該在根點(diǎn)附近找，但是很顯然我們現(xiàn)在還不知道根點(diǎn)在哪里），做一個(gè)切線，切線的根（就是和x軸的交點(diǎn)）與曲線的根，還有一定的距離。牛頓、-拉夫遜們想，沒關(guān)系，我們從這個(gè)切線的根出發(fā)，做一根垂線，和曲線相交于B點(diǎn)，繼續(xù)重復(fù)剛才的工作：

???之前說(shuō)過(guò)，B點(diǎn)比之前A點(diǎn)更接近曲線的根點(diǎn)，牛頓、拉弗森們很興奮，繼續(xù)重復(fù)剛才的工作：

???第四次就已經(jīng)很接近曲線的根了

???經(jīng)過(guò)多次迭代后會(huì)越來(lái)越接近曲線的根（下圖進(jìn)行了50次迭代，哪怕經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次迭代也只會(huì)更接近曲線的根，用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)就是，迭代收斂了）：

3 、牛頓-拉夫遜法是否總是收斂（總是可以求得足夠近似的根）？

我們來(lái)看看收斂的充分條件：
若
f(x)
二階可導(dǎo)，那么在待求的零點(diǎn)
x
周圍存在一個(gè)區(qū)域，只要起始點(diǎn)
x_0
位于這個(gè)鄰近區(qū)域內(nèi)，那么牛頓-拉弗森方法必定收斂。

???也就是說(shuō)，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，用切線代替曲線這個(gè)直覺是合理的。但是，因?yàn)槲覀儾恢栏c(diǎn)到底在哪里，所以起始點(diǎn) x_0 選擇就不一定在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，那么這個(gè)直覺就不可靠了。
駐點(diǎn)

???起始點(diǎn)不幸選擇了駐點(diǎn)，從幾何上看切線根本沒有根。
從代數(shù)上看，x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f’(x_n)沒有意義。
越來(lái)越遠(yuǎn)離的不收斂

循環(huán)震蕩的不收斂

不能完整求出所有的根

三、pythons實(shí)例

???牛拉法主要流程

???以 x ² ? 4 x - 4 = 0 為例，設(shè)計(jì) Python 程序：

import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as pltdef fun(x):y = x ** 2 - 4 * x - 1return ydef fun_diff(x):y = 2 * x - 4return ydef Netwon(x0, func, dfunc):# 迭代條件e = 1e-5x = np.zeros(2)x[0] = x0x[1] = x0 - func(x[0]) / dfunc(x[0])while abs(func(x[0])) > e:#在0附近x[0] = x[1]x[1] = x[0] - func(x[0]) / dfunc(x[0])return x[1]if __name__ == '__main__':x=np.arange(-5,5,0.1)y=fun(x)x1=Netwon(0, fun, fun_diff) #牛拉法求得的點(diǎn)plt.plot(x,y)plt.xlim(-5, 5)plt.ylim(-10, 50)plt.scatter(x1,fun(x1),color='red')plt.show()

總結(jié)

應(yīng)用牛頓-拉夫遜方法，要注意以下問題：
函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)最好是二階可導(dǎo)的
起始點(diǎn)對(duì)求根計(jì)算影響重大，可以增加一些別的判斷手段進(jìn)行試錯(cuò)

作者：電氣-余登武

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的牛顿-拉夫逊法 原理讲解以及python算例实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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