近世代數--子環--怎么判斷是不是子環？

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

• 環ring：$(R,+,?),?a,b,c\in R$

  • $R1$：$“+”$滿足交換律，$a+b=b+a$
  • $R2$：$“?”$滿足結合律，$a?(b?c)=(a?b)?c$
  • $R3$：$“+”“?”$滿足分配律，$a?(b+c)=a?b+a?c,(b+c)?a=b?a+c?a$

• 子環subring：設$(R,+,?)$是一個環，$S$是$R$的一個非空子集，$S?R,$如果$S$關于$R$的運算構成環(滿足$R1、R2、R3$)，則稱$S$為$R$的子環，記作$S<R$。

• 子環的充分必要條件：$(R,+,?)$是一個環，$S?R$，$S$是$R$的子環的充分必要條件：

  • (1) $(S,+)$是$(R,+)$的加法子群；$?S$關于$R$的減法封閉，即$?a,b\in S,a?b\in S$；
  • (2) $S$關于$R$的乘法封閉，即$?a,b\in S,ab\in S$。
    證明：
    • $S$是$R$的子環$\to (1)(2)$：
      $(S,+,?)$是環$\to (S,+)$是群，$S$關于乘法$?$封閉。
      又因為$S<R$，所以易得$(1)(2)$
    • $(1)(2)\to S$是$R$的子環：
      因為$R1$：環上的加法具有交換律，所以對于環上的子群的元素做加法運算，也滿足交換律；即環上的加法子群$(S,+)$關于加法構成交換群，滿足$R1$；
      $R$滿足$R2$結合律、$R3$分配律，$S?R$，$S$的運算就是$R$的運算，所以$S$也滿足$R2、R3$。

• 子環例子：$I$為$Z$的子環，證明：存在唯一非負整數$d$，使$I=dZ=\{dz|z\in Z\}$。

  • 存在性：
    • 如果$I=\{0\}，$那么$d=0,I=dZ$；
    • $i=\{0\},$有$z>0,$使$z\in I,$取$d=min\{z\in I,z>0\}$，那么有$d\in I,d>0$。
      既然$d\in I,$由環滿足加法封閉性可知，$dZ?I$。現在只要證明$dZ=I$，即$?z\in I,$都可以寫成$z=dq,q\in Z$的形式。
      假設$?z\in I,z=dq+r,d>r$，那么$r=z?dq\in I,$又因為$d=min\{z\in I,z>0\}$，所以$r=0\to z=dq\to dZ=I.$
  • 唯一性： 假設$I=d_{1}Z=d_{2}Z,d_1\ge 0,d_2\ge 0$
    • 如果$d_1=0$，那么$I=\{0\}$，所以$d_2=0\to d_1=d_2$；
    • 如果$d_1>0$，那么$d_2>0$。因為$d_1\in I\to d_1\in d_{2}Z\to d_2\mid d_1$，同理$d_1\mid d_2\to d_1=\pm d_2$，又$d_1>0,d_2>0，$所以$d_1=d_2$。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--子环--怎么判断是不是子环？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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