近世代數--極大理想--I是R的極大理想?R/I是域

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

商環類似商群，通過對環、理想限制某些條件，可以構造出不同特點的環。現在我們通過素理想，構造整環；通過極大理想，構造域。

• 極大理想maximal ideal：$M$

  $R$為環，$M$是$R$的真理想，(這里是真理想的定義)，如果對于$R$中任一包含$M$的理想$N$，必有$N=M$或$N=R,$則$M$是$R$的極大理想。

• 極大理想例子：

  • $Z_{18}$的所有極大理想

    $Z_{18}$的所有理想：$<0>、<1>、<2>、<3>、<6>、<9>$

    • $<1>$不是真子集；
    • $<6>?<3>$，不是極大理想；
    • $<9>?<3>$，不是極大理想；
    • $<0>?<3>$，不是極大理想；
    • $<2>、<3>$是$Z_{18}$的極大理想

  • $<p>$為$Z$的極大理想$?p$為素數

    • $<p>$為$Z$的極大理想$\to p$為素數

      首先，有個定理：$p$是素數$?p\mid ab$一定能得到$p\mid a$或$p\mid b$（$(p,a)=1\to p\mid b,(p,b)=1\to p\mid a$）

      設$ab\in Z,p\mid ab，$若$$\begin{gathered} p?a, \\ \to a\in /<p> \\ \to <p>?<p>+<a> \end{gathered}$$

      因為$<p>$是$Z$的極大理想，根據極大理想的定義，$<p>+<a>=<p>$或$<p>+<a>=Z$，已知$<p>+<a>=<p>$，所以$<p>+<a>=Z$

      因為$1\in Z,$$<p>、<a>$是交換環，根據主理想的組成,可得$<p>=pu,<a>=av,u,v\in Z$,所以$pu+av=1,\to pbu+abv=b,b\in Z$

      因為$p\mid ab,p\mid pb$，所以$p\mid pbu+abv\to p\mid b$。到此處，我們得$p\mid ab$一定能得到$p\mid a$或$p\mid b$，即$p$是素數。

    • $p$為素數$?<p>$為$Z$的極大理想

      設$I$是$Z$的理想，$<p>?I$，則$?a\in I,a\in /<p>,$又因為$p$為素數，則$(a,p)=1\to ?u,v\in Z,$使得$$\begin{gathered} au+pv=1, \\ \to ?z\in Z,z=z?1=zau+zpv, \end{gathered}$$

      因為$a,p\in I,z,u,v\in Z,$根據理想的定義，
      $$\begin{gathered} au\in I,av\in I \\ \to zau\in I,zpv\in I \\ \to ?z\in Z,z\in I \end{gathered}$$，所以$$\begin{gathered} I=Z \\ \to <p> \end{gathered}$$是$Z$的極大理想

• 極大理想$?$域：如果$R$是一個交換環，有單位元$e=0$，$I$是$R$的理想，則$I$是$R$的極大理想的充分必要條件是$R/I$是域。

  證明：
  這里是域的基本概念：加法交換群+乘法交換群

  首先，我認為有一個很重要的性質理想的吸收性需要先說一下，$I$是$R$的理想，如果$e\in I$，那么由于理想的定義
  $$\begin{gathered} ?r\in R,s\in I,rs,sr\in I \\ \to e\in I,re,er\in I \\ \to ?r\in R,re=er=r\in I \\ \to I=R \end{gathered}$$
  也就是說：環$R$的理想$I$包含單位元$?$理想$I=R$

  • $I$是$R$的極大理想$\to R/I$是域

    要證$R/I$是域，即證$R/I$：

    • $R/I=\{\bar{0}\}$，易證：$I$是$R$的極大理想$\to I$是$R$的真理想$\to R/I=I\to R/I=\{\bar{0}\}$

    • (乘法)可交換的，易證：$R$是可交換的$\to R/I$是可交換的

    • 有單位元，易證：$R$有單位元$\to R/I$有單位元

    • 非零元全體構成乘法群：

      $$\begin{gathered} ?\bar{a}\in R/I,\bar{a}=\bar{0}, \\ \to a\in /I \\ \to I?<a>+I?R \\ \to <a>+I=R \\ \to e\in <a>+I \\ \to ?r\in R,b\in I, \end{gathered}$$使得$$\begin{gathered} e=ar+b \\ \to \overline{e}=\overline{ar+b} \end{gathered}$$，因為$$\begin{gathered} (ar+b)?ar=b\in I, \\ \to \overline{ar+b}=\overline{ar} \\ \to \overline{e}=\overline{ar+b}=\overline{ar}=\overline{a}?\overline{r} \end{gathered}$$
      即$\bar{a}$可逆，得證。

  • $R/I$是域$\to I$是$R$的極大理想

    • $I$是$R$的真理想：

      $R/I$是域$$\begin{gathered} \to R/I=\{\bar{0}\} \\ \to R/I=I \\ \to R=I \\ \to I \end{gathered}$$是$R$的真理想

    • $J?R,I?J\to J=R$：

      設$$\begin{gathered} J?R,I?J, \\ \to ?a\in J,a\in /I, \\ \to \bar{a}=\bar{0} \end{gathered}$$

      $R/I$是域$\to ?\bar{b}\in R/I,$使得$$\begin{gathered} \bar{a}?\bar{b}=\bar{e} \\ \to e+I=ab+I \\ \to e\in ab+I,a\in J,b\in R, \\ \to ab\in J \\ \to e\in ab+I?J \\ \to J=R \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--极大理想--I是R的极大理想↔R/I是域的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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