《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1
《基于張量網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)入門》學(xué)習(xí)筆記1
- 量子力學(xué)的三大奧義
- 什么是量子
- 量子力學(xué)的三大奧義——疊加、測(cè)量和糾纏
- 第一大奧義:量子的疊加態(tài)
- 第二大奧義:量子的測(cè)量
- 第三大奧義:量子的糾纏態(tài)
量子力學(xué)的三大奧義
什么是量子
定義 量子是“離散變化的最小單元”
“離散變化”即指量子的 變化是不能連續(xù)的,就像人一樣,只有一個(gè)人,兩個(gè)人等,不能出現(xiàn)1.5個(gè)人。因此,我們可以稱某個(gè)只能離散變化的東西叫“量子化”的。
量子力學(xué)的三大奧義——疊加、測(cè)量和糾纏
第一大奧義:量子的疊加態(tài)
為了理解疊加態(tài)這個(gè)概念,首要要定義“態(tài)矢量”
定義: 態(tài)矢量——表示量子力學(xué)狀態(tài)的矢量
在量子力學(xué)里中的態(tài),是矢量,我們用符號(hào)∣a?\mathinner{|a\rangle}∣a?表示態(tài)矢量,它由Hilbert空間中的列向量表示(相應(yīng)的?a∣用Hilbert空間中的\mathinner{\langle a|}用Hilbert空間中的?a∣用Hilbert空間中的行向量表示表示表示),其中“∣?\mathinner{|\quad\rangle}∣?”是英國(guó)物理學(xué)家狄拉克發(fā)明的,稱為“狄拉克符號(hào)”。
注: ∣a?\mathinner{|a\rangle}∣a?稱為右矢,相應(yīng)的?a∣\mathinner{\langle a|}?a∣稱為左矢,兩者互為對(duì)偶向量,統(tǒng)稱為態(tài)向量(或態(tài)矢)
定義: 經(jīng)典位比特(比特)——一個(gè)經(jīng)典位(比特)是可以處于兩個(gè)完全不同狀態(tài)的系統(tǒng),這兩個(gè)狀態(tài)可以用二進(jìn)制數(shù)000和111來表示
經(jīng)典比特對(duì)應(yīng)計(jì)算機(jī)的操作可以有“恒等”、“與”、“非”操作等,那么在量子計(jì)算機(jī)中或者量子計(jì)算領(lǐng)域,我們使用態(tài)矢量來作為“比特”。
在二維復(fù)數(shù)Hilbert空間中,經(jīng)典比特的兩個(gè)態(tài)可以用矢量的兩個(gè)分量來表示,即用一堆正交歸一的量子態(tài)來表示:
∣↑?≡(10)\mathinner{|\uparrow\rangle}\equiv \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)∣↑?≡(10?),經(jīng)典比特000 \quad\quad ∣↓?≡(01)\mathinner{|\downarrow\rangle}\equiv \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)∣↓?≡(01?),經(jīng)典比特111
通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí),我們知道,在一個(gè)線性空間中,如果給定一組線性無關(guān)的基底a1,a2,?,an,a_1,a_2,\cdots,a_n,a1?,a2?,?,an?,則向量空間中的任意向量β\betaβ都可以表示為基底的線性組合:β=λ1a1+λ2a2+?+λnan\beta=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_na_nβ=λ1?a1?+λ2?a2?+?+λn?an?
量子世界中的態(tài)可以同時(shí)是兩種態(tài)的疊加——既向上又向下。現(xiàn)在我們可以用線性組合來表示這個(gè)疊加的狀態(tài)。將∣↑?\mathinner{|\uparrow\rangle}∣↑?和∣↓?\mathinner{|\downarrow\rangle}∣↓?看成某個(gè)抽象的二維空間中的基底,那么,疊加狀態(tài)就是:∣φ?=α[10]+β[01]=[αβ]\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right] + \beta \left[ \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}\alpha \\\beta \end{array} \right]∣φ?=α[10?]+β[01?]=[αβ?]
其中,α\alphaα和β\betaβ是復(fù)數(shù),也叫做概率幅或者幾率幅,并且滿足∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1∣α∣2+∣β∣2=1這樣的一個(gè)態(tài)就被稱為量子比特。
定義: 量子比特——一個(gè)量子比特是一個(gè)可以在二維復(fù)數(shù)Hilbert空間中描述的兩級(jí)量子體系
根據(jù)疊加原理,量子比特的任何態(tài)都可以寫成如下形式:
∣φ?=α∣↑?+β∣↓?(∣α∣2+∣β∣2=1)\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)∣φ?=α∣↑?+β∣↓?(∣α∣2+∣β∣2=1)
式中的α,β,∣α∣2,∣β∣2\alpha,\beta,|\alpha|^2,|\beta|^2α,β,∣α∣2,∣β∣2分別為疊加態(tài)坍縮的000和111的概率,并且服從歸一化條件
除此之外,我們還在一個(gè)Bloch球中來便是量子比特,即
∣φ?=eiγ(cos?θ2∣0?+ei?(sin?θ2∣1?)\mathinner{|\varphi\rangle}={e^{i\gamma }}(\cos \frac{\theta }{2}\mathinner{|0\rangle}+{e^{i\phi }}(\sin \frac{\theta }{2}\mathinner{|1\rangle})∣φ?=eiγ(cos2θ?∣0?+ei?(sin2θ?∣1?)(可借助歐拉公式進(jìn)行理解:eix=cos?x+isin?x{e^{ix}} = \cos x + i\sin xeix=cosx+isinx)
下面會(huì)運(yùn)用到一系列量子態(tài)相關(guān)的運(yùn)算和性質(zhì),這里將常用的符號(hào)表附上
第二大奧義:量子的測(cè)量
回到疊加態(tài)的限制條件(∣α∣2+∣β∣2=1)(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)(∣α∣2+∣β∣2=1),我們可以把這個(gè)條件改寫為向量?jī)?nèi)積的形式
(αβ)(αβ)=1(\alpha\quad\beta)\left( \begin{array}{l}\alpha \\\beta \end{array} \right)=1(αβ)(αβ?)=1,這總內(nèi)積為1的條件,也就是前面的歸一化條件。
在量子力學(xué)中,把態(tài)矢量∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ?和它自身的內(nèi)積記為:?φ∣φ?\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}?φ∣φ?即左右矢相乘,那么歸一化條件就可以記為?φ∣φ?=1\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}=1?φ∣φ?=1。但是,因?yàn)榱孔恿W(xué)中疊加態(tài)的系數(shù)是復(fù)數(shù),所以我們?cè)趶?fù)數(shù)域重新定義內(nèi)積。
為了讓內(nèi)積的結(jié)果是實(shí)數(shù),我們將它的定義改寫為疊加系數(shù)的模平方求和:
?φ∣φ?=∣α∣2+∣β∣2=α?α+β?β\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}=|\alpha|^2+|\beta|^2=\alpha^*\alpha+\beta^*\beta?φ∣φ?=∣α∣2+∣β∣2=α?α+β?β,這里?*?表示共軛轉(zhuǎn)置。
定義: 態(tài)矢量的內(nèi)積——在態(tài)矢量空間中按照一定順序選取任意兩個(gè)態(tài)矢,總可以定義一種計(jì)算規(guī)則,得到一個(gè)數(shù)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))與之對(duì)應(yīng)
這一定義規(guī)則被稱為內(nèi)積,記做
c=?α∣β?=(∣α?,∣β?)=(∑iai??αi∣)(∑ibi∣βi?)=∑iai?bi?αi∣βi?c=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=(\mathinner{|\alpha\rangle},\mathinner{|\beta\rangle})=(\sum\limits_i {a_i^*\mathinner{\langle \alpha_i|}})(\sum\limits_i {b_i\mathinner{|\beta_i\rangle}})=\sum\limits_i {a_i^*{b_i}}\mathinner{\langle\alpha_i|\beta_i\rangle}c=?α∣β?=(∣α?,∣β?)=(i∑?ai???αi?∣)(i∑?bi?∣βi??)=i∑?ai??bi??αi?∣βi??
態(tài)矢量有如下性質(zhì):
?\bullet?反對(duì)稱性:?α∣β?=?β∣α??\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=\mathinner{\langle\beta|\alpha\rangle}^*?α∣β?=?β∣α??
?\bullet?線性性:?α∣β+γ?=?α∣β?+?α∣γ?\mathinner{\langle\alpha|\beta+\gamma\rangle}=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}+\mathinner{\langle\alpha|\gamma\rangle}?α∣β+γ?=?α∣β?+?α∣γ?
?\bullet?數(shù)乘性:?α∣bβ?=b?α∣β?=?α∣β?b\mathinner{\langle\alpha|b\beta\rangle}=b\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}b?α∣bβ?=b?α∣β?=?α∣β?b
?\bullet?半正定性:?α∣α?≥0\mathinner{\langle\alpha|\alpha\rangle}\ge0?α∣α?≥0
滿足加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算性質(zhì)的集合,被稱為矢量空間或線性空間.滿足加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運(yùn)算的空間被稱為內(nèi)積空間.完備的內(nèi)積空間則稱為希爾伯特空間.
接下來,我們了解一下本征態(tài)的概念
定義: 本征態(tài)——經(jīng)歷了矩陣乘法之后,方向保持不變(可以反向)的矢量
這就意味著M∣i?=mi∣i?M\mathinner{|i\rangle}=m_i\mathinner{|i\rangle}M∣i?=mi?∣i?,其中∣i?\mathinner{|i\rangle}∣i?是本征態(tài),mim_imi?則是相應(yīng)的本征值。以此我們可以聯(lián)想到線性代數(shù)的特征方程,本征態(tài)對(duì)應(yīng)特征向量,本征值對(duì)應(yīng)特征值。
現(xiàn)在,我們終于可以開始講量子比特的測(cè)量了
我們可以把一個(gè)量子比特的狀態(tài)以概率幅的方式變換成比特信息,也就是說,量子比特∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ?以概率∣?↑∣φ?∣2|\mathinner{\langle\uparrow|\varphi\rangle}|^2∣?↑∣φ?∣2變換成比特000,以概率∣?↓∣φ?∣2|\mathinner{\langle\downarrow|\varphi\rangle}|^2∣?↓∣φ?∣2變換成比特111,由于內(nèi)積是線性演算,且∣↑?\mathinner{|\uparrow\rangle}∣↑?和∣↓?\mathinner{|\downarrow\rangle}∣↓?是正交基底,那么前面兩式內(nèi)積的結(jié)果為:
?↑∣φ?=?↑∣(α∣↑?+β∣↓?=α\mathinner{\langle\uparrow|\varphi\rangle}=\mathinner{\langle\uparrow|(\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}=\alpha?↑∣φ?=?↑∣(α∣↑?+β∣↓?=α
?↓∣φ?=?↓∣(α∣↑?+β∣↓?=β\mathinner{\langle\downarrow|\varphi\rangle}=\mathinner{\langle\downarrow|(\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}=\beta?↓∣φ?=?↓∣(α∣↑?+β∣↓?=β
即∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ?以概率∣α∣2|\alpha|^2∣α∣2變換成比特000,以概率∣β∣2|\beta|^2∣β∣2變換成比特111
在量子力學(xué)中,測(cè)量值就是本征值也就是特征值。那么,聯(lián)系線性代數(shù),我們可以知道,特征值就是可觀測(cè)量MMM在某個(gè)地方出現(xiàn)的概率。
測(cè)量可以給出任何一個(gè)本征值mim_imi?,且每一個(gè)都有一定的概率。現(xiàn)在用MMM的本征矢量為基來擴(kuò)展任意態(tài)∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ?:∣φ?=∑iαi∣i?\mathinner{|\varphi\rangle}=\sum\limits_i {{\alpha_i}}\mathinner{|i\rangle}∣φ?=i∑?αi?∣i?,其中,αi\alpha_iαi?是復(fù)常數(shù)。
根據(jù)量子力學(xué)的知識(shí),在進(jìn)行測(cè)量后,態(tài)矢量會(huì)發(fā)生坍縮,也就是如果本征態(tài)mim_imi?被測(cè)量,那么測(cè)量后的系統(tǒng)的態(tài)矢對(duì)應(yīng)的本征矢量∣i?\mathinner{|i\rangle}∣i?,當(dāng)前的量子系統(tǒng)就會(huì)確定到這個(gè)本征態(tài)上。
∣φ??mi∣i?\mathinner{|\varphi\rangle}\stackrel{m_i}{\longrightarrow}\mathinner{|i\rangle}∣φ??mi??∣i?
注:測(cè)量是量子態(tài)上唯一不可逆的操作,其他操作都是可逆的
(此部分可以去看看薛定諤的貓加深理解)
第三大奧義:量子的糾纏態(tài)
根據(jù)糾纏的定義,肯定不是單一的系統(tǒng)能觀測(cè)到的。所以,現(xiàn)在我們需要將視線放到不同的系統(tǒng)之間的結(jié)合。
我們首先來學(xué)習(xí)下張量積
定義:張量積——對(duì)每一對(duì)矢量∣φ1?∈H1,∣φ2?∈H2\mathinner{|\varphi_1\rangle}\in H_1,\mathinner{|\varphi_2\rangle}\in H_2∣φ1??∈H1?,∣φ2??∈H2?,Hilbert空間HHH都有一個(gè)矢量∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ?與他們聯(lián)系,∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ?被稱為∣φ1?,∣φ2?\mathinner{|\varphi_1\rangle},\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ1??,∣φ2??的張量積,記為∣φ?=∣φ1??∣φ2?\mathinner{|\varphi_\rangle}=\mathinner{|\varphi_1\rangle}\otimes\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ??=∣φ1???∣φ2??,常記為∣φ1?∣φ2?\mathinner{|\varphi_1\rangle}\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ1??∣φ2??或∣φ1φ2?\mathinner{|\varphi_1\varphi_2\rangle}∣φ1?φ2??,HHH中的矢量是∣φ1??∣φ2?\mathinner{|\varphi_1\rangle}\otimes\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ1???∣φ2??的線性疊加。
例如,A,BA,BA,B分別是m×mm\times mm×m和n×nn\times nn×n的方陣,則:
好,下面可以開始講量子糾纏態(tài)了
定義:量子糾纏態(tài)——當(dāng)量子比特的疊加狀態(tài)無法用各量子比特的張量積乘積表示時(shí),這種疊加態(tài)就稱為量子糾纏態(tài)
現(xiàn)在,給定兩個(gè)電子,AAA處于向上的態(tài)∣↑?A\mathinner{|\uparrow\rangle}_A∣↑?A?,BBB處于向下的態(tài)∣↓?B\mathinner{|\downarrow\rangle}_B∣↓?B?,根據(jù)排列組合,總共有四種結(jié)合態(tài)∣↑↑?、∣↑↓?、∣↓↑?、∣↓↓?\mathinner{|\uparrow\uparrow\rangle}、\mathinner{|\uparrow\downarrow\rangle}、\mathinner{|\downarrow\uparrow\rangle}、\mathinner{|\downarrow\downarrow\rangle}∣↑↑?、∣↑↓?、∣↓↑?、∣↓↓?.態(tài)矢量∣ψ?\mathinner{|\psi\rangle}∣ψ?可以是這四種態(tài)的疊加。如果,一個(gè)系統(tǒng)的態(tài)為:∣ψ?=12∣↑↓?+12∣↓↑?\mathinner{|\psi\rangle}=\frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathinner{|\uparrow\downarrow\rangle}+\frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathinner{|\downarrow\uparrow\rangle}∣ψ?=2?1?∣↑↓?+2?1?∣↓↑?,由于它不能被分厘為單個(gè)電子的態(tài)的乘積,所以這個(gè)系統(tǒng)的態(tài)被稱為糾纏態(tài)。
現(xiàn)在例舉一個(gè)不是糾纏態(tài)的例子,我們看看和糾纏態(tài)的區(qū)別
我們可以發(fā)現(xiàn),不是糾纏態(tài)的,有個(gè)類似于提取公因式的操作,而上面的糾纏態(tài)式子明顯無法完成這個(gè)操作。這種能提取“公因式” 式子又被叫做直積態(tài),即能夠直接寫成張量積的態(tài)。
直觀的說,糾纏態(tài)的量子是會(huì)相互影響的,而非糾纏態(tài)的量子不會(huì)。
好了,這部分內(nèi)容到一段落,希望感興趣的朋友能關(guān)注收藏。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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