3. 表示性質(zhì)

3.1 Levy過程冪的表示

目標(biāo)：將Levy過程的冪$(X_{t+t_0}?X_{t_0}{)}^k,t_0,t\ge 0,k=1,2,3,...$寫成關(guān)于正交過程$H^{(j)},j=1,...,k$隨機(jī)積分之和。

第一步：將Levy過程的冪$(X_{t+t_0}?X_{t_0}{)}^k,t_0,t\ge 0,k=1,2,3,...$寫成關(guān)于Teugels martingale過程$Y^{(j)},j=1,...,k$隨機(jī)積分之和。

對(duì)于$k=1$，有

對(duì)于$k\ge 2$，有下式，其中第一步利用半鞅的Ito引理（Protter,2005,P82），




證明：在（2）的第一項(xiàng)中引入X的補(bǔ)償過程Y，得到

結(jié)合（2）和（4）可得

用Y替代X推導(dǎo)下去（參見以下示例），可得表達(dá)式（3）。||||

作為示例，給出$k=1;2，t_0=0，{\sigma }^2=0$下的$f_{(i_1,...,i_j)}^{(k)}$。

對(duì)于$k=1$，$X_t^1=Y_t^{(1)}+m_{1}t$, 可得$f^{(1)}(t)=m_{1}t,f_{(1)}^{(1)}(t;0;t_1)=1.$

對(duì)于$k=2$

可得：

式（3）的性質(zhì)：

對(duì)式（3）求期望

它獨(dú)立于$t_0$。（由于X是齊次的，所以與$t_0$獨(dú)立，Y是補(bǔ)償過程，期望為0）

$f_{(i_1,...,i_j)}^{(k)}$僅為小于k的實(shí)多變量多項(xiàng)式，對(duì)于$i_1+...+i_j>k$，有$f_{(i_1,...,i_j)}^{(k)}=0$

第二步：將Levy過程的冪$(X_{t+t_0}?X_{t_0}{)}^k,t_0,t\ge 0,k=1,2,3,...$寫成關(guān)于正交過程$H^{(j)},j=1,...,k$隨機(jī)積分之和。

3.2. 平方可積隨機(jī)變量的表示

定義：



對(duì)于任何給定的$?>0$，都存在一個(gè)有限集合$\{0<s_1<???<s_m\}$和一個(gè)平方可積隨機(jī)變量$Z_{?}\in L^2(\Omega ,\sigma (X_{s_1},X_{s_2},...,X_{s_m}))$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的1. 列维过程的混沌及可料表示（2）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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