UA MATH566 統計理論7 另一個例子：二項檢驗

假設$X_1,X_2,?,X_n～Ber(p)$，想根據這組樣本做如下檢驗：
$$\begin{gathered} H_0:p=p_0 \\ {H}_a:p=p_0 \end{gathered}$$
參數空間為
$$\begin{gathered} {\Theta }_0=\{p=p_0\} \\ {\Theta }_a=\{p=p_0\} \end{gathered}$$
根據Karlin-Rubin定理，這個檢驗的UMP拒絕域為
$$C=\{X:\lambda (X)\le k_{\alpha }\}$$
先計算樣本的似然函數：
$$L(p|X)=\prod _{i=1}^n{p}^{X_i}(1?p{)}^{1?X_i}=p^{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}(1?p{)}^{n?{\sum }_{i=1}^n{X}_i}$$
根據Neyman-Fisher因子定理，定義$T(X)={\sum }_{i=1}^n{X}_i=n\bar{X}$，則$T(X)$是充分統計量。似然函數可以寫成
$$\begin{gathered} L(p|X)=\prod _{i=1}^n{p}^{X_i}(1?p{)}^{1?X_i}=p^{T(X)}(1?p{)}^{n?T(X)} \\ \frac{?\ln L(p|X)}{?p}=\frac{?}{?p}[T(X)\ln p+(n?T(X))\ln (1?p)] \\ =\frac{T(X)}{p}?\frac{n?T(X)}{1?p}=0 \end{gathered}$$
因此$\hat{p}=\bar{X}$是$p$的最大似然估計。計算似然比，
$$\frac{L(p_0|X)}{L(\hat{p}|X)}={\left(\frac{n{p}_0}{T(X)}\right)}^{T(X)}{\left(\frac{n?n{p}_0}{n?T(X)}\right)}^{n?T(X)}$$
記這個似然比的對數為$g(T(X))$，則
$$\begin{gathered} g(T(X))=T(X)(\ln n{p}_0?\ln T(X))+(n?T(X))(\ln (n?n{p}_0)?\ln (n?T(X))) \\ \frac{dg(T(X))}{dT(X)}=(\ln n{p}_0?\ln T(X))?1?(\ln (n?n{p}_0)?\ln (n?T(X)))+1 \\ =\ln \frac{n{p}_0(n?T(X))}{(n?n{p}_0)T(X)} \end{gathered}$$
考慮一個特殊情況，如果這個導數為正，則$\lambda (X)<k_{\alpha }$等價于$T(X)<c_{\alpha },?c_{\alpha }$。拒絕域為
$$C=\{X:T(X)\le c_{\alpha }\}$$
原假設下$T(X)～Binom(n,p_0)$，因此可以取$c_{\alpha }$為$Binom(n,p_0)$的左側$\alpha$分位點，這個檢驗也由此得名二項檢驗（binomial test）。（R語言中可以用binom.test）

在這個特殊情況下，如果樣本數量$n$足夠大，根據中心極限定理
$$Z=\frac{\bar{X}?p}{\sqrt{p(1?p)/n}}{\to }_{d}N(0,1)$$
$\bar{X}$是$p$的最大似然估計，也是充分統計量。可以根據$Z$構造拒絕域：
$$C=\{X:|\frac{\bar{X}?p_0}{\sqrt{p_0(1?p_0)/n}}|\ge z_{\alpha /2}\}$$
其中$z_{\alpha /2}$是標準正態分布的$\alpha /2$上分位點，這個檢驗叫做比例檢驗（proportion test），（R語言中可以用prop.test）。它的勢函數為
$$Power=P(|Z|\le z_{\alpha /2})=P(|\frac{\bar{X}?p}{\sqrt{p(1?p)/n}}|\le z_{\alpha /2})$$
考慮
$$\begin{gathered} ?z_{\alpha /2}\le \frac{\bar{X}?p_0}{\sqrt{p_0(1?p_0)/n}}\le z_{\alpha /2} \\ {p}_0?z_{\alpha /2}\sqrt{p_0(1?p_0)/n}\le \bar{X}\le p_0+\sqrt{p_0(1?p_0)/n} \\ \frac{p_0?p}{\sqrt{p_0(1?p_0)/n}}?z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p_0(1?p_0)}{p(1?p)}}\le Z\le \frac{p_0?p}{\sqrt{p_0(1?p_0)/n}}+z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p_0(1?p_0)}{p(1?p)}} \end{gathered}$$
所以
$$Power=\Phi (\frac{p_0?p}{\sqrt{p_0(1?p_0)/n}}+z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p_0(1?p_0)}{p(1?p)}})?\Phi (\frac{p_0?p}{\sqrt{p_0(1?p_0)/n}}?z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p_0(1?p_0)}{p(1?p)}})$$

總結

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