UA MATH564 概率論IV 次序統(tǒng)計量例題1

• 題目
• 次序統(tǒng)計量常用公式
• 答案

題目

例1 $X_1,?,X_n{～}_{iid}U(0,\theta )$，證明$X_{(1)}/X_{(n)}$與$X_{(n)}$獨立。

例2 如果$X_1,?,X_n$的分布是
$$f(x)=\frac{a}{{\theta }^a}{x}^{a?1},x\in (0,\theta )$$
證明$X_{(1)}/X_{(2)},?,X_{(n?1)}/X_{(n)},X_{(n)}$互相獨立，并計算他們的分布。

例3 如果$X_1,?,X_n$獨立同分布，并記其概率密度為$f(x)$，定義$R=X_{(n)}?X_{(1)},V=(X_{(n)}+X_{(1)})/2$，計算他們的聯(lián)合概率密度，如果總體為均勻分布$U(0,\theta )$，計算條件密度$V|R=r$。

例4 如果$X_1,?,X_n$獨立同分布，假設(shè)總體的概率密度$f(x)$關(guān)于${\xi }_0$對稱，記$X_i$的概率密度為$g_{(i)}(y)$，證明$g_{(i)}({\xi }_0+y)=g_{(n+1?i)}({\xi }_0?y)$

例5 $X_1,?,X_n{～}_{iid}U(\sigma ,\mu )$，證明$X_{(1)}|X_{(n)}=x$與$Y_{(1)}$同分布，其中$Y_1,?,Y_{n?1}{～}_{iid}U(\mu ,x)$

例6 $X_1,?,X_n{～}_{iid}\mu +\Gamma (1/\sigma ,1)$，求$e^{?X_1/\sigma }$，$(X_1?\mu )/S$的分布，并證明$X_1$，$X_2?X_1$，$?$，$X_{(n)}?X_{(n?1)}$互相獨立。其中$S=n(\bar{X}?X_{(1)})$

例7 $X_1,?,X_n{～}_{iid}N(\mu ,{\sigma }^2)$，記$S=\sqrt{SST}$，$Y～t_{n?1}$，

證明$$\frac{\sqrt{n?1}(X_1?\bar{X})}{S}{=}_d\frac{(n?1)Y}{\sqrt{n(Y^2+n?2)}}$$

證明$$\sup \left(\frac{X_i?\bar{X}}{S}\right)=\sqrt{\frac{i?1}{n(n?i+1)}}$$

證明當(dāng)$x\ge \sqrt{\frac{(n?1)(n?2)}{2n}}$時，
$$P(\frac{\sqrt{n?1}(X_{(n)}?\bar{X})}{S}>x)=nP(Y>x\sqrt{\frac{n(n?2)}{(n?1{)}^2?n{x}^2}})$$

次序統(tǒng)計量常用公式

定理1（單個次序統(tǒng)計量的分布）
$$F_{X_{(j)}}=\sum _{k=j}^n{C}_n^k[F(x){]}^k[1?F(x){]}^{n?k}$$
定理2（單個次序統(tǒng)計量的概率密度）
$$f_{X_{(j)}}(x)=j{C}_n^j[F(x){]}^{j?1}[1?F(x){]}^{n?j}f(x)$$
定理3（兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度）不妨假設(shè)$j>i$，則
$$f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=(n{)}_{2}f(x_i)f(x_j)C_{n?2}^{i?1}{C}_{n?i?3}^{j?i?1}[F(x_i){]}^{i?1}[F(x_j)?F(x_i){]}^{j?i?1}[1?F(x_j){]}^{n?j}$$
在應(yīng)用的時候，可以把$(n{)}_2{C}_{n?2}^{i?1}{C}_{n?i?3}^{j?i?1}$化簡一下，
$$(n{)}_2{C}_{n?2}^{i?1}{C}_{n?i?3}^{j?i?1}=\frac{n!}{(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!}$$

答案

例1 $X_1,?,X_n{～}_{iid}U(0,\theta )$，證明$X_{(1)}/X_{(n)}$與$X_{(n)}$獨立。
先計算$X_{(1)}$和$X_{(n)}$的分布，$$f(x)=\frac{1}{\theta },F(x)=\frac{x}{\theta },x\in (0,\theta )$$根據(jù)定理3（帶入$j=n,i=1$），
$$\begin{gathered} \frac{n!}{(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!}=\frac{n!}{(n?2)!} \\ {f}_{X_{(i)}}{f}_{X_{(j)}}=\frac{1}{{\theta }^2},[F(x_i){]}^{i?1}[F(x_j)?F(x_i){]}^{j?i?1}[1?F(x_j){]}^{n?j}={\left(\frac{x_{(n)}?x_{(1)}}{\theta }\right)}^{n?2} \\ {f}_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_{(1)},x_{(n)})=\frac{(n{)}_2(x_{(n)}?x_{(1)}{)}^{n?2}}{{\theta }^n} \end{gathered}$$

定義$U=X_{(1)}/X_{(n)},V=X_{(n)}$，則$U,V$是$X_{(1)}$與$X_{(n)}$的二元變換，
$$X_{(1)}=UV,X_{(n)}=V$$
計算Jacobi行列式，
$$J(U,V)=\left|\frac{?(X_{(1)},X_{(n)})}{?(U,V)}\right|=\left|\begin{array}{cc}V& 0\\ U& 1\end{array}\right|=V$$
根據(jù)隨機變量變換的密度公式，
$$\begin{gathered} f_{U,V}(u,v)=f_{X_{(1)},X_{(n)}}(uv,v)J(u,v) \\ =\frac{(n{)}_{2}v(v?uv{)}^{n?2}}{{\theta }^n}=\frac{(n{)}_2{v}^{n?1}(1?u{)}^{n?2}}{{\theta }^n} \end{gathered}$$
根據(jù)下面的引理知，$U$和$V$互相獨立。

引理1 $X,Y～f(x,y)$，$?h(x),g(y)$, $f(x,y)=h(x)g(y)$，則$X$和$Y$互相獨立。
證明
$$\begin{gathered} f_X(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(x)g(y)dy=h(x){\int }_{?\infty }^{+\infty }g(y)dy \\ {f}_Y(y)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)dx={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(x)g(y)dx=g(y){\int }_{?\infty }^{+\infty }h(x)dx \\ {f}_X(x)f_Y(y)=f(x,y){\int }_{?\infty }^{+\infty }g(y)dy{\int }_{?\infty }^{+\infty }h(x)dx \\ {=}_{Fubini}f(x,y){\int }_{?\infty }^{+\infty }h(x)g(y)dxdy=f(x,y) \end{gathered}$$

總結(jié)

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