UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1
UA MATH564 概率論IV 次序統(tǒng)計量例題1
- 題目
- 次序統(tǒng)計量常用公式
- 答案
題目
例1 X1,?,Xn~iidU(0,θ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(0,\theta)X1?,?,Xn?~iid?U(0,θ),證明X(1)/X(n)X_{(1)}/X_{(n)}X(1)?/X(n)?與X(n)X_{(n)}X(n)?獨立。
例2 如果X1,?,XnX_1,\cdots,X_nX1?,?,Xn?的分布是
f(x)=aθaxa?1,x∈(0,θ)f(x) = \frac{a}{\theta^a}x^{a-1},x \in (0,\theta)f(x)=θaa?xa?1,x∈(0,θ)
證明X(1)/X(2),?,X(n?1)/X(n),X(n)X_{(1)}/X_{(2)},\cdots,X_{(n-1)}/X_{(n)},X_{(n)}X(1)?/X(2)?,?,X(n?1)?/X(n)?,X(n)?互相獨立,并計算他們的分布。
例3 如果X1,?,XnX_1,\cdots,X_nX1?,?,Xn?獨立同分布,并記其概率密度為f(x)f(x)f(x),定義R=X(n)?X(1),V=(X(n)+X(1))/2R=X_{(n)}-X_{(1)},V=(X_{(n)} + X_{(1)})/2R=X(n)??X(1)?,V=(X(n)?+X(1)?)/2,計算他們的聯(lián)合概率密度,如果總體為均勻分布U(0,θ)U(0,\theta)U(0,θ),計算條件密度V∣R=rV|R=rV∣R=r。
例4 如果X1,?,XnX_1,\cdots,X_nX1?,?,Xn?獨立同分布,假設(shè)總體的概率密度f(x)f(x)f(x)關(guān)于ξ0\xi_0ξ0?對稱,記XiX_{i}Xi?的概率密度為g(i)(y)g_{(i)}(y)g(i)?(y),證明g(i)(ξ0+y)=g(n+1?i)(ξ0?y)g_{(i)}(\xi_0+y) = g_{(n+1-i)}(\xi_0 - y)g(i)?(ξ0?+y)=g(n+1?i)?(ξ0??y)
例5 X1,?,Xn~iidU(σ,μ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(\sigma,\mu)X1?,?,Xn?~iid?U(σ,μ),證明X(1)∣X(n)=xX_{(1)}|X_{(n)}=xX(1)?∣X(n)?=x與Y(1)Y_{(1)}Y(1)?同分布,其中Y1,?,Yn?1~iidU(μ,x)Y_1,\cdots,Y_{n-1} \sim_{iid} U(\mu,x)Y1?,?,Yn?1?~iid?U(μ,x)
例6 X1,?,Xn~iidμ+Γ(1/σ,1)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} \mu + \Gamma(1/\sigma,1)X1?,?,Xn?~iid?μ+Γ(1/σ,1),求e?X1/σe^{-X_1/\sigma}e?X1?/σ,(X1?μ)/S(X_{1}-\mu)/S(X1??μ)/S的分布,并證明X1X_{1}X1?,X2?X1X_{2}-X_{1}X2??X1?,?\cdots?,X(n)?X(n?1)X_{(n)}-X_{(n-1)}X(n)??X(n?1)?互相獨立。其中S=n(Xˉ?X(1))S=n(\bar{X}-X_{(1)})S=n(Xˉ?X(1)?)
例7 X1,?,Xn~iidN(μ,σ2)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} N(\mu,\sigma^2)X1?,?,Xn?~iid?N(μ,σ2),記S=SSTS=\sqrt{SST}S=SST?,Y~tn?1Y \sim t_{n-1}Y~tn?1?,
P(n?1(X(n)?Xˉ)S>x)=nP(Y>xn(n?2)(n?1)2?nx2)P(\frac{\sqrt{n-1}(X_{(n)}-\bar{X})}{S}>x) = nP(Y>x\sqrt{\frac{n(n-2)}{(n-1)^2 - nx^2}})P(Sn?1?(X(n)??Xˉ)?>x)=nP(Y>x(n?1)2?nx2n(n?2)??)
次序統(tǒng)計量常用公式
定理1(單個次序統(tǒng)計量的分布)
FX(j)=∑k=jnCnk[F(x)]k[1?F(x)]n?kF_{X_{(j)}} = \sum_{k=j}^n C_n^k [F(x)]^k[1-F(x)]^{n-k}FX(j)??=k=j∑n?Cnk?[F(x)]k[1?F(x)]n?k
定理2(單個次序統(tǒng)計量的概率密度)
fX(j)(x)=jCnj[F(x)]j?1[1?F(x)]n?jf(x)f_{X_{(j)}}(x) = jC_n^j [F(x)]^{j-1}[1-F(x)]^{n-j}f(x)fX(j)??(x)=jCnj?[F(x)]j?1[1?F(x)]n?jf(x)
定理3(兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度)不妨假設(shè)j>ij>ij>i,則
fX(i),X(j)(xi,xj)=(n)2f(xi)f(xj)Cn?2i?1Cn?i?3j?i?1[F(xi)]i?1[F(xj)?F(xi)]j?i?1[1?F(xj)]n?jf_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=(n)_2f(x_{i})f(x_{j})C_{n-2}^{i-1}C_{n-i-3}^{j-i-1}[F(x_i)]^{i-1}[F(x_j)-F(x_i)]^{j-i-1}[1-F(x_j)]^{n-j}fX(i)?,X(j)??(xi?,xj?)=(n)2?f(xi?)f(xj?)Cn?2i?1?Cn?i?3j?i?1?[F(xi?)]i?1[F(xj?)?F(xi?)]j?i?1[1?F(xj?)]n?j
在應(yīng)用的時候,可以把(n)2Cn?2i?1Cn?i?3j?i?1(n)_2C_{n-2}^{i-1}C_{n-i-3}^{j-i-1}(n)2?Cn?2i?1?Cn?i?3j?i?1?化簡一下,
(n)2Cn?2i?1Cn?i?3j?i?1=n!(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!(n)_2C_{n-2}^{i-1}C_{n-i-3}^{j-i-1} = \frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}(n)2?Cn?2i?1?Cn?i?3j?i?1?=(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!n!?
答案
例1 X1,?,Xn~iidU(0,θ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(0,\theta)X1?,?,Xn?~iid?U(0,θ),證明X(1)/X(n)X_{(1)}/X_{(n)}X(1)?/X(n)?與X(n)X_{(n)}X(n)?獨立。
先計算X(1)X_{(1)}X(1)?和X(n)X_{(n)}X(n)?的分布,f(x)=1θ,F(x)=xθ,x∈(0,θ)f(x)=\frac{1}{\theta},\ \ F(x) = \frac{x}{\theta},x \in (0,\theta)f(x)=θ1?,??F(x)=θx?,x∈(0,θ)根據(jù)定理3(帶入j=n,i=1j=n,i=1j=n,i=1),
n!(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!=n!(n?2)!fX(i)fX(j)=1θ2,[F(xi)]i?1[F(xj)?F(xi)]j?i?1[1?F(xj)]n?j=(x(n)?x(1)θ)n?2fX(1),X(n)(x(1),x(n))=(n)2(x(n)?x(1))n?2θn\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} = \frac{n!}{(n-2)!} \\ f_{X_{(i)}}f_{X_{(j)}} = \frac{1}{\theta^2},\ \ [F(x_i)]^{i-1}[F(x_j)-F(x_i)]^{j-i-1}[1-F(x_j)]^{n-j}=\left(\frac{x_{(n)}-x_{(1)}}{\theta}\right)^{n-2} \\ f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_{(1)},x_{(n)}) = \frac{(n)_2(x_{(n)}-x_{(1)})^{n-2}}{\theta^n}(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!n!?=(n?2)!n!?fX(i)??fX(j)??=θ21?,??[F(xi?)]i?1[F(xj?)?F(xi?)]j?i?1[1?F(xj?)]n?j=(θx(n)??x(1)??)n?2fX(1)?,X(n)??(x(1)?,x(n)?)=θn(n)2?(x(n)??x(1)?)n?2?
定義U=X(1)/X(n),V=X(n)U=X_{(1)}/X_{(n)},V=X_{(n)}U=X(1)?/X(n)?,V=X(n)?,則U,VU,VU,V是X(1)X_{(1)}X(1)?與X(n)X_{(n)}X(n)?的二元變換,
X(1)=UV,X(n)=VX_{(1)} = UV,\ \ X_{(n)} = VX(1)?=UV,??X(n)?=V
計算Jacobi行列式,
J(U,V)=∣?(X(1),X(n))?(U,V)∣=∣V0U1∣=VJ(U,V) = \left| \frac{\partial(X_{(1)},X_{(n)})}{\partial(U,V)} \right| = \left| \begin{matrix} V & 0 \\ U & 1 \\ \end{matrix} \right| = V J(U,V)=∣∣∣∣??(U,V)?(X(1)?,X(n)?)?∣∣∣∣?=∣∣∣∣?VU?01?∣∣∣∣?=V
根據(jù)隨機變量變換的密度公式,
fU,V(u,v)=fX(1),X(n)(uv,v)J(u,v)=(n)2v(v?uv)n?2θn=(n)2vn?1(1?u)n?2θnf_{U,V}(u,v) = f_{X_{(1)},X_{(n)}}(uv,v)J(u,v) \\= \frac{(n)_2v(v-uv)^{n-2}}{\theta^n} = \frac{(n)_2v^{n-1}(1-u)^{n-2}}{\theta^n} fU,V?(u,v)=fX(1)?,X(n)??(uv,v)J(u,v)=θn(n)2?v(v?uv)n?2?=θn(n)2?vn?1(1?u)n?2?
根據(jù)下面的引理知,UUU和VVV互相獨立。
引理1 X,Y~f(x,y)X,Y\sim f(x,y)X,Y~f(x,y),?h(x),g(y)\exists h(x),g(y)?h(x),g(y), f(x,y)=h(x)g(y)f(x,y)=h(x)g(y)f(x,y)=h(x)g(y),則XXX和YYY互相獨立。
證明
fX(x)=∫?∞+∞f(x,y)dy=∫?∞+∞h(x)g(y)dy=h(x)∫?∞+∞g(y)dyfY(y)=∫?∞+∞f(x,y)dx=∫?∞+∞h(x)g(y)dx=g(y)∫?∞+∞h(x)dxfX(x)fY(y)=f(x,y)∫?∞+∞g(y)dy∫?∞+∞h(x)dx=Fubinif(x,y)∫?∞+∞h(x)g(y)dxdy=f(x,y)f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)g(y)dy = h(x) \int_{-\infty}^{+\infty}g(y)dy \\ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)g(y)dx = g(y)\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx \\ f_X(x)f_Y(y) = f(x,y) \int_{-\infty}^{+\infty}g(y)dy\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx \\ =_{Fubini} f(x,y) \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)g(y)dxdy = f(x,y)fX?(x)=∫?∞+∞?f(x,y)dy=∫?∞+∞?h(x)g(y)dy=h(x)∫?∞+∞?g(y)dyfY?(y)=∫?∞+∞?f(x,y)dx=∫?∞+∞?h(x)g(y)dx=g(y)∫?∞+∞?h(x)dxfX?(x)fY?(y)=f(x,y)∫?∞+∞?g(y)dy∫?∞+∞?h(x)dx=Fubini?f(x,y)∫?∞+∞?h(x)g(y)dxdy=f(x,y)
總結(jié)
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