UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學問題2 標量勢方法與向量勢方法簡介

• • 標量勢方法
  • 向量勢方法
  • Hard Ferromagnets

標量勢方法

當空間中不存在電流密度時（$J=0$），可以用標量勢方法求解靜磁學問題，根據安培定律
$$?\times H=\frac{4\pi }{c}J=0$$

于是我們可以引入${\Phi }_M$作為磁場的標量勢，使得
$$H=??{\Phi }_M$$

因為標量場散度的旋度為0，所以這個構造可以使安培定律在$J=0$時自然成立，此時（在均勻介質中）
$$??B\propto {?}^2{\Phi }_M=0$$

這樣我們就把靜磁學問題化歸為Laplace方程求解的問題了。

向量勢方法

引入向量勢$A$使得$B=?\times A$，這個構造使得$B$的散度一定為0，因此我們只需要代入安培定律中解$A$:
$$?\times (?\times A)=?(??A)?{?}^{2}A=\frac{4\pi \mu }{c}J$$

與標量勢方法不同的是，向量勢方法并不要求$J=0$；使用Coulomb gauge，我們應用使得$??A=0$的參考點，于是
$${?}^{2}A=?\frac{4\pi \mu }{c}J$$

這樣我們就可以把靜磁學問題化歸為三個Poisson方程的求解了。

Hard Ferromagnets

假設$J=0,M=0$，即$H,B$并不相等，也不一定成正比，但我們知道

$$B=H+4\pi M$$

所以
$$\begin{gathered} ??B=??(H+4\pi M)=0 \\ ??(??{\Phi }_M)+4\pi ??M=0 \\ {?}^2{\Phi }_M=4\pi ??M \end{gathered}$$

這樣就得到了一個Poisson方程，我們可以把$???M$看作是磁場的source，記為${\rho }_M$，則
$${?}^2{\Phi }_M=?4\pi {\rho }_M$$

這就與我們處理過的靜電學問題非常相似了，所以即使是一般介質中的靜磁學問題，也是可以用Green函數法、正交函數法之類的方法求解的。

另外，我們還需要根據安培定律求解$B$，
$$\begin{gathered} ?\times H=?\times (B?4\pi M) \\ =?\times ?\times A?4\pi ?\times M=0 \\ ?{?}^{2}A=?\frac{4\pi }{c}{J}_M,J_M=c?\times M \end{gathered}$$

這就是向量勢方法中得到的方程。

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總結 靜磁學的常用方程（缺的那個空也有公式的，但感覺關聯不是很大）

微分形式積分形式

$??B=0$	${\oint }_{S}B?dS=0$
$?\times B=\frac{4\pi }{c}J$	${\oint }_{C}B?dl=\frac{4\pi }{c}I$
${?}^2{\Phi }_M=0$
${?}^{2}A=?\frac{4\pi }{c}{J}_M$	$A=\frac{1}{c}{\int }_V\frac{J(r^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }}{\Vert r?r^{\prime }\Vert }$

總結

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