UA OPTI570 量子力學18 量子諧振子基礎

• • 經典諧振子
  • 量子諧振子
  • 用創生與湮滅算符表示量子諧振子
  • • Hamiltonian的特征值
    • Hamiltonian的特征值對應的量子態

量子諧振子（quantum harmonic oscillator, Q.H.O.）是諧振子在量子力學中的延申，也是量子力學中的一個重要模型，從這一篇開始我們介紹它的一些基礎知識。

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經典諧振子

考慮一維的簡諧振子，在天花板上吊一根彈簧，彈簧下連接一個質量為$m$的質點，用$x$表示質點偏離初始位置的距離（向地板方向為正），在任意時刻，這個系統的總能量為
$$E=\frac{P^2}{2m}+\frac{m{w}^2{x}^2}{2}$$

其中$P$表示質點在該時刻的動量，$w$表示質點在該時刻的角頻率（稱之為簡諧頻率），因為
$$P=mv=m\frac{d}{dt}x$$

由此在有初始條件時，根據能量守恒可以列出關于$x$的微分方程，求解微分方程就能得到質點的運動軌跡了。比如在$t=0$時，把質點往下拉$x_0$，則$x(t)$呈現余弦波形，且周期為
$$T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi }{w}$$

其中$f$是頻率。

量子諧振子

在之前介紹Ehrenfest定理的時候，我們知道了經典力學與量子力學的對應簡單來說就是把經典力學中的物理量用量子力學中的算符表示，比如總能量用Hamiltonian表示，動量用動量算符表示，位置用位置算符表示，則
$$\hat{H}=\frac{{\hat{P}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{w}^2\hat{X}$$

按量子力學討論算符的方法，接下來我們：

定義一些常用的參數，比如harmonic oscillator length$$\sigma =\sqrt{\frac{?}{mw}}$$

用harmonic oscillator length對算符與數值做scaling$$\tilde{X}=\frac{\hat{X}}{\sigma },\tilde{P}=\frac{\sigma \hat{P}}{?},{\tilde{E}}_n=\frac{E_n}{?w},\tilde{H}=\frac{\hat{H}}{?w}$$

寫出scaling后的Hamiltonian：$$\tilde{H}=\frac{{\tilde{P}}^2+{\tilde{X}}^2}{2}$$其中$[\tilde{X},\tilde{P}]=i$

寫出Hamiltonian的特征方程：$$\tilde{H}|{\psi }_n?={\tilde{E}}_n|{\psi }_n?$$

可以用位置表象計算，也可以用動量表象計算；在這兩種表象下，各個算符的對應關系為

位置表象動量表象

$$\begin{gathered} \tilde{X}\to \tilde{x}=\frac{x}{\sigma } \\ \tilde{P}\to ?i\frac{?}{?\tilde{X}} \\ \tilde{H}\to \frac{1}{2}{\tilde{X}}^2?\frac{1}{2}\frac{{?}^2}{?{\tilde{X}}^2} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \tilde{P}\to \tilde{p}=\frac{p\sigma }{?} \\ \tilde{X}\to i\frac{?}{?\tilde{P}} \\ \tilde{H}\to \frac{1}{2}{\tilde{P}}^2?\frac{1}{2}\frac{{?}^2}{?{\tilde{P}}^2} \end{gathered}$$

在位置表象下，需要求解
$$\frac{1}{2}\left({\tilde{X}}^2?\frac{{?}^2}{?{\tilde{X}}^2}\right){\psi }_n(\tilde{X})={\tilde{E}}_n{\psi }_n(\tilde{X})$$

在動量表象下，需要求解
$$\frac{1}{2}\left({\tilde{P}}^2?\frac{{?}^2}{?{\tilde{P}}^2}\right){\bar{\psi }}_n(\tilde{P})={\tilde{E}}_n{\bar{\psi }}_n(\tilde{P})$$

也就是說在這兩種表象下，要求解的PDE是一樣的，其中
$${\bar{\psi }}_n(\tilde{P})=FT[{\psi }_n(\tilde{X})](\tilde{P})$$

也就是說以上PDE的解做Fourier變換后的函數形式與它本身一致。

用創生與湮滅算符表示量子諧振子

在Q.H.O.中，求解Hamiltonian的特征方程指的是找到${\tilde{E}}_n$的表達式，并得到${\tilde{E}}_n$對應的量子態的表達式。上一篇介紹了創生算符與湮滅算符的數學基礎，要在量子力學中應用這個工具需要在具體問題中構造創生算符，在Q.H.O.中，可以定義湮滅算符為
$$\hat{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{X}+i\tilde{P})$$

驗證：
$$[\hat{A},{\hat{A}}^{?}]=[\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{X}+i\tilde{P}),\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{X}?i\tilde{P})]=\frac{?i}{2}2[\tilde{X},\tilde{P}]=1$$

把所有的算符都用創生算符與湮滅算符表示：
$$\tilde{X}=\frac{{\hat{A}}^{?}+\hat{A}}{\sqrt{2}},\tilde{P}=\frac{{\hat{A}}^{?}?\hat{A}}{\sqrt{2}}?\tilde{H}={\hat{A}}^{?}\hat{A}+\frac{1}{2}=\hat{N}+\frac{1}{2}$$

于是1-D Q.H.O.的定義可以表示為
$$\tilde{H}\propto {\hat{A}}^{?}\hat{A},[\hat{A},{\hat{A}}^{?}]\propto \hat{1}$$

Hamiltonian的特征值

現在考慮Hamiltonian的特征方程：
$$\begin{gathered} \tilde{H}|{\psi }_n?={\tilde{E}}_n|{\psi }_n? \\ (\hat{N}+1/2)|{\psi }_n?={\tilde{E}}_n|{\psi }_n \\ \hat{N}|{\psi }_n?=({\tilde{E}}_n?1/2)|{\psi }_n? \end{gathered}$$

根據上一講的結果，
$$\begin{gathered} {\tilde{E}}_n=n+\frac{1}{2},n\in {\mathbb{R}}^{+}\cap \mathbb{Z} \\ {E}_n=?w\left(n+\frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$

Hamiltonian的特征值對應的量子態

現在考慮$|{\psi }_n?$，$N$的特征方程為
$$N|{\psi }_n?=n|{\psi }_n?$$

上一講介紹了$N$的特征態的公式，直接使用可得
$$|{\psi }_n?=\frac{1}{\sqrt{n!}}({\hat{A}}^{?}{)}^n|{\psi }_0?$$

稱$|{\psi }_0?$為ground state，它對應能量最小的量子態，即能量為$\frac{1}{2}?w$。這些特征態可以用三種表象：位置表象、動量表象、能量表象，位置表象我們比較熟悉了，這里先介紹一下能量表象。

能量表象
因為$|{\psi }_n?$就是能量對應的量子態，所以以$|{\psi }_n?$為基表示左矢、右矢、算符就是能量表象，比如算符$\hat{B}$，要計算它的能量表象可以借助closure relation
$$\begin{gathered} \hat{B}=\hat{1}\hat{B}\hat{1}=\sum _{n=0}^{+\infty }|{\psi }_n??{\psi }_n|\hat{B}\sum _{m=0}^{+\infty }|{\psi }_m??{\psi }_m| \\ =\sum _{n,m}?{\psi }_n|\hat{B}|{\psi }_m?|{\psi }_n??{\psi }_m| \end{gathered}$$

其中$(?{\psi }_n|\hat{B}|{\psi }_m?)$是$\hat{B}$的矩陣表示，括號中的元素代表矩陣的第$n$行第$m$列的元素，$|{\psi }_n??{\psi }_m|$叫connector，它也是一個矩陣，但除了第$n$行第$m$列的元素為1外，其他元素均為0；假設$\hat{B}=\hat{N}$，則
$$?{\psi }_n|\hat{B}|{\psi }_m?=?{\psi }_n|\hat{N}|{\psi }_m?=m{\delta }_{mn}$$

所以
$$\hat{N}=\sum _{n,m}?{\psi }_n|\hat{N}|{\psi }_m?|{\psi }_n??{\psi }_m|=\sum _{n,m}m{\delta }_{mn}|{\psi }_n??{\psi }_m|=\sum _{m}m|{\psi }_m??{\psi }_m|$$

這是主對角元分別為$0,1,2,?,n,?$的對角矩陣，代入到Hamiltonian中，
$$\hat{H}=?w(\hat{N}+1/2)$$

也就是說Hamiltonian是主對角元分別為$\frac{1}{2}?w,\frac{3}{2}?w,\frac{5}{2}?w,?,\frac{2n+1}{2}?w,?$的對角矩陣。同樣的也可以寫出湮滅算符的能量表象：
$$\begin{gathered} {\hat{A}}^{?}|{\psi }_m?=\sqrt{m+1}|{\psi }_{m+1}? \\ ?{\psi }_m|\hat{A}=\sqrt{m+1}?{\psi }_{m+1}| \\ ?{\psi }_m|\hat{A}|{\psi }_n?=\sqrt{m+1}?{\psi }_{m+1}|{\psi }_n?=\sqrt{m+1}{\delta }_{m+1,n} \end{gathered}$$

所以它的矩陣表示為主對角線上的第$n$個元素同一行右邊第一個的元素為$\sqrt{n}$，其他所有元素均為0的矩陣。創生算符${\hat{A}}^{?}$的矩陣表示就是主對角線上的第$n$個元素同一列下面第一個的元素為$\sqrt{n}$，其他所有元素均為0的矩陣。$\hat{X}$的矩陣表示就是主對角元全為0，主對角線兩側元素分別為$\sqrt{1}/\sqrt{2},\sqrt{2}/\sqrt{2},?,\sqrt{n}/\sqrt{2},?$的三對角矩陣。

位置表象
從ground state開始，
$$?x|\hat{A}|{\psi }_0?=\frac{1}{\sqrt{2}}?x|\frac{\hat{X}}{\sigma }+\frac{i\hat{P}}{?}|{\psi }_0?=0?\hat{A}|{\psi }_0?=0$$

代入$\hat{P}=?i?\frac{?}{?x}$，
$$\left(\frac{x}{\sigma }+\sigma \frac{?}{?x}\right){\psi }_0(x)=0?{\psi }_0(x)={\left(\frac{1}{\pi {\sigma }^2}\right)}^{1/4}{e}^{?\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$$

因此ground state中粒子的位置分布服從正態分布。接下來用上一講的公式
$${\psi }_n(x)=?x|\frac{({\hat{A}}^{?}{)}^n}{\sqrt{n!}}|{\psi }_0?=\frac{1}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}{\left(\frac{x}{\sigma }?\sigma \frac{?}{?x}\right)}^n{\psi }_0(x)$$

這個通項公式可以生成一個一維的正交函數列，屬于這個函數列的正交函數被稱為Hermit-Gaussian函數：
$${\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}{H}_n(x/\sigma ){\psi }_0(x)$$

其中$H_n$被稱為Hermit多項式。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学18 量子谐振子基础的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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