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UA OPTI570 量子力学33 Time-dependent Perturbation基础

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 40 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA OPTI570 量子力学33 Time-dependent Perturbation基础小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

UA OPTI570 量子力學(xué)33 Time-dependent Perturbation基礎(chǔ)

背景
上一講介紹interaction picture時(shí)提到了time-dependent perturbation，假設(shè)Hamiltonian滿足
$H(t)=H_0+W(t)$

也就是和時(shí)間無關(guān)的項(xiàng) $H_0$ 與和時(shí)間有關(guān)的項(xiàng) $W (t)$ 可以分開，稱 $W (t)$ 是time-dependent perturbation，基于 $H_0$ 的時(shí)間演化算符為
$U(t,t0)=e?iH0(t?t0)/?U(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}$

Interaction Picture的參考系滿足
$F=U?(t,t0)=eiH0(t?t0)/?\mathbb{F}=U^{\dag}(t,t_0)=e^{iH_0(t-t_0)/\hbar}$

簡(jiǎn)單起見記 $t_0=0$ ，假設(shè)某個(gè)量子態(tài)可以寫成能量特征態(tài)的疊加：
$∣ψ(t)?=∑ncn(t)∣?n?|\psi(t) \rangle = \sum_n c_n(t) |\phi_n \rangle$

則在interaction picture中，
$∣ψI(t)?=∑ncn(t)eiH0t/?∣?n?|\psi_I(t) \rangle = \sum_n c_n(t)e^{iH_0t/\hbar} |\phi_n \rangle$

可以發(fā)現(xiàn)在interaction picture中，相同能量特征態(tài)的概率不會(huì)改變，
$Pn=∣cn(t)∣2=∣cn(t)eiH0t/?∣2\mathbb{P}_n=|c_n(t)|^2=|c_n(t)e^{iH_0t/\hbar} |^2$

這一講我們介紹一點(diǎn)time-dependent perturbation theory的基礎(chǔ)，用來近似量子態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率。

問題描述
哈密頓量 $H$ 滿足 $H(t)=H_0+W(t)$ ，假設(shè) $H_0$ 的特征方程為
$H0∣?n?=En∣?n?H_0|\phi_n \rangle = E_n |\phi_n \rangle$

初始量子態(tài)為
$∣ψ(t0)?=∑ncn(t0)∣?n?|\psi(t_0) \rangle = \sum_n c_n(t_0)|\phi_n \rangle$

目標(biāo)是得到 $t$ 時(shí)間后系統(tǒng)可能的量子態(tài)（用 $∣ψf?|\psi_f \rangle$ 表示）及相應(yīng)概率（用 $Pf(t)\mathbb{P}_f(t)$ 表示）。

理想情況
理想情況是 $∣ψ(t)?|\psi(t) \rangle$ 可以根據(jù)哈密頓量 $H (t)$ 與薛定諤方程解析得到，那么 $Pf(t)\mathbb{P}_f(t)$ 就等于到 $∣ψf?|\psi_f \rangle$ 的投影算符的均值，即
$Pf(t)=?ψ(t)∣ψf??ψf∣ψ(t)?\mathbb{P}_f(t) = \langle \psi(t) | \psi_f \rangle \langle \psi_f | \psi(t) \rangle$

但是time-dependent Hamiltonian定義的量子系統(tǒng)通常很難有解析解， $∣ψ(t)?|\psi(t) \rangle$ 的解析式也就找不到。

Time-dependent Perturbation Theory
Time-dependent Perturbation Theory提供了在找不到 $∣ψ(t)?|\psi(t) \rangle$ 的解析式的情況下，近似計(jì)算 $Pf(t)\mathbb{P}_f(t)$ 的方法。記 $W(t)=λW^(t)W(t)=\lambda \hat W(t)$ ，對(duì) $bn(t)=cn(t)eiH0t/?b_n(t)=c_n(t)e^{iH_0t/\hbar}$ 做展開，
$bn(t)=bn(0)(t)+λbn(1)(t)+λ2bn(2)(t)+?b_n(t)=b_n^{(0)}(t)+\lambda b_n^{(1)}(t) +\lambda^2 b_n^{(2)}(t) +\cdots$

其中 $λrbn(r)(t)\lambda^r b_n^{(r)}(t)$ 表示 $b_n(t)$ 的展開式中的第 $r$ 階項(xiàng)，將其代入到interaction picture的Effective薛定諤方程中，
$i???t∣ψI(t)?=HI(t)∣ψI(t)?=λeiH0(t?t0)/?W^(t)e?iH0(t?t0)/?∣ψI(t)?\begin{aligned} i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t) \rangle = H_I(t)|\psi_I(t) \rangle = \lambda e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar} |\psi_I(t) \rangle\end{aligned}$

其中
$∣ψI(t)?=∑nbn(t)∣?n?=∑n∑rλrbn(r)(t)∣?n?|\psi_I(t) \rangle=\sum_n b_n(t)|\phi_n \rangle = \sum_n \sum _r \lambda^r b_n^{(r)}(t) |\phi_n \rangle$

所以
$i???t∣ψI(t)?=i?∑n∣?n?∑rλr??tbn(r)(t)λeiH0(t?t0)/?W^(t)e?iH0(t?t0)/?∣ψI(t)?=λeiH0(t?t0)/?W^(t)e?iH0(t?t0)/?∑n∑rλrbn(r)(t)∣?n?i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t) \rangle = i\hbar \sum_n |\phi_n \rangle \sum _r \lambda^r \frac{\partial}{\partial t} b_n^{(r)}(t) \\ \lambda e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar} |\psi_I(t) \rangle \\ = \lambda e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar} \sum_n \sum _r \lambda^r b_n^{(r)}(t) |\phi_n \rangle$

化簡(jiǎn)可得
$??tbn(r)(t)∣?n?=bn(r?1)(t)eiH0(t?t0)/?W^(t)e?iH0(t?t0)/?∣?n?bn(r)(t)∣?n?=∫t0tbn(r?1)(t′)eiH0(t′?t0)/?W^(t′)e?iH0(t′?t0)/?∣?n?dt′??k∣bn(r)(t)∣?n?=∫t0tbn(r?1)(t′)??k∣eiH0(t′?t0)/?W^(t′)e?iH0(t′?t0)/?∣?n?dt′=1i?∫t0tbk(r?1)(t′)??k∣W^(t′)dt′∣?n?eiwnkt′dt′∑k??k∣bn(r)(t)∣?n?=bn(r)(t)=1i?∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(r?1)(t′)dt′\frac{\partial}{\partial t} b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle =b_n^{(r-1)}(t) e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}|\phi_n \rangle \\ b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle =\int_{t_0}^t b_n^{(r-1)}(t') e^{iH_0(t'-t_0)/\hbar} \hat W(t')e^{-iH_0(t'-t_0)/\hbar}|\phi_n \rangle dt' \\ \begin{aligned} \langle \phi_k |b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle & =\int_{t_0}^t b_n^{(r-1)}(t') \langle \phi_k |e^{iH_0(t'-t_0)/\hbar} \hat W(t')e^{-iH_0(t'-t_0)/\hbar}|\phi_n \rangle dt' \\ & = \frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t b_k^{(r-1)}(t') \langle \phi_k | \hat W(t')dt' | \phi_n \rangle e^{iw_{nk}t'} dt'\end{aligned} \\ \sum_k \langle \phi_k |b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle = b_n^{(r)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k^{(r-1)}(t')dt'$

所以它的解為
$bn(r)(t)=1i?∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(r?1)(t′)dt′b_n^{(r)}(t) =\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k^{(r-1)}(t')dt'$

比如，
$bn(0)=bn(t0)bn(1)(t)=1i?∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′bn(2)(t)=1i?∫t0t∑k′eiwnkt′′W^nk(t′′)bk′(1)(t′′)dt′′b_n^{(0)}=b_n(t_0) \\ b_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k(t')dt' \\ b_n^{(2)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_{k'} e^{iw_{nk}t''}\hat W_{nk}(t'')b_{k'}^{(1)}(t'')dt''$

其中 $w_{nk}$ 是Bohr frequency，可以用Einstein-Planck關(guān)系得到
$wnk=En?Ek?w_{nk}=\frac{E_n-E_k}{\hbar}$

$W^nk(t′)\hat W_{nk}(t')$ 由perturbation計(jì)算得到
$W^nk(t′)=??n∣W^(t′)∣?k?\hat W_{nk}(t') = \langle \phi_n |\hat W(t')|\phi_k \rangle$

例：假設(shè) $∣ψ(0)?=∣?i?|\psi(0) \rangle=|\phi_i \rangle$ ，則 $b_i^{(0)}=b_i(0)=1$ ，所以
$bn(1)(t)=1i?∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′=1i?∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′b_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k(t')dt'=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t e^{iw_{ni}t'}\hat W_{ni}(t')dt'$

綜上，如果用一階近似，則
$Pf(t)=∣bf(0)+λbf(1)(t)∣2\mathbb{P}_f(t)=|b_f(0)+\lambda b_f^{(1)}(t)|^2$

如果初始量子態(tài)為 $∣?i?|\phi_i \rangle$ ， $t$ 時(shí)間后的量子態(tài)為 $∣?f?|\phi_f \rangle$ ，則
$Pi→f(t)=λ2∣bf(1)∣2=λ2?2∣∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′∣2\mathbb{P}_{i \to f}(t)=\lambda^2|b_f^{(1)}|^2 = \frac{\lambda^2}{\hbar^2}|\int_{t_0}^t e^{iw_{ni}t'}\hat W_{ni}(t')dt'|^2$

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学33 Time-dependent Perturbation基础的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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