UA OPTI544 量子光學7 補充：Density Operator

• • Pure State
  • Statistical Mixture of States
  • • Density Matrix的物理意義
    • Mixture State的本質

在物理實踐中，系統的狀態有時并不具有完美的確定性，比如自然光的偏振態可能是任意方向，并且各方向具有同等的可能性。因此，如何對具有不完全信息的系統進行建模還是很值得討論的。而在量子力學中，Density Operator就是用來對具有不完全信息的量子態進行建模的工具。

如果系統處于量子態$|{\psi }_1?$的概率為$p_1$，處于量子態$|{\psi }_2?$的概率為$p_2$，以此類推且${\sum }_n{p}_n=1$，則稱系統狀態為$\{|{\psi }_n?\}$的statistical mixture，可以表示為${\sum }_n{p}_n|{\psi }_n?$。需要注意的是這個表示與量子態的線性表示是完全不同的概念，在線性表示$|\psi ?={\sum }_n{c}_n|{\psi }_n?$中，系數$\{c_n\}$的含義是probability amplitude而非probability。

Pure State

不存在不完全信息的量子態是pure state，考慮由標準正交基$\{|u_n?\}$線性表示的一個normalized ket，
$$|\psi ?=\sum c_n|u_n?$$

定義Density Operator為$\rho =|\psi ??\psi |$，這個算符的本質就是到量子態$|\psi ?$的投影算符，它滿足

• $\rho$為厄爾米特算符：${\rho }^{?}=|\psi ??\psi |=\rho$
• $\rho$為冪等算符：${\rho }^2=|\psi ??\psi |\psi ??\psi |=|\psi ??\psi |=\rho$

Density Operator的意義與量子態基本相同，在大部分場合下二者可以互相替換，但是Density Operator更具有一般性，在完全信息與不完全信息下都可以使用。下面我們簡單闡述一下我們熟悉的量子態的相關概念如何用Density Operator表示。

量子態的相關概念

• Normalization: ${\sum }_n|c_n{|}^2=1$
• Matrix element of observable $A$: $A_{np}=?u_n|A|u_n?$
• Expectation of observable $A$: $?A?=?\psi |A|\psi ?={\sum }_{n,p}{c}_n^{?}{c}_p{A}_{np}$
• Schroedinger equation: $i?\frac{?}{?t}|\psi ?=H|\psi ?$

用Density Operator表示量子態的相關概念

• Normalization: $tr(\rho )=1$
• Expectation of observable $A$: $?A?=tr(\rho A)$
• Schroedinger equation: $i?\frac{d}{dt}\rho =[H,\rho ]$

第一條很容易驗證，$\rho$的matrix element為
$${\rho }_{np}=?u_n|\rho |u_p?=?u_n|\psi ??\psi |u_p?=c_n^{?}{c}_p$$

所以$tr(\rho )={\sum }_n{\rho }_{nn}={\sum }_n|c_n{|}^2=1$，一般稱$[{\rho }_{np}]$為density matrix；

第二條的驗證也很容易，
$$\begin{array}{r}?A?=?\psi |A|\psi ?=\sum _{n,p}{c}_n^{?}?u_n|A|u_n?c_p=\sum _{n,p}{c}_n^{?}{c}_p{A}_{np}=tr(\rho A)\end{array}$$

第三條需要稍微推導一下，
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\rho & =\left(\frac{d}{dt}|\psi ?\right)?\psi |+|\psi ?\left(\frac{d}{dt}?\psi |\right)\\ & =\left(\frac{1}{i?}H|\psi ?\right)?\psi |+|\psi ?\left(?\frac{1}{i?}?\psi |H\right)\\ & =\frac{1}{i?}[H,\rho ]\end{array}$$

Statistical Mixture of States

假設$\{|{\psi }_k?\}$表示一系列pure state，考慮一個statistical mixture
$$|\psi ?=\sum _k{p}_k|{\psi }_k?$$

其中$0\le p_k\le 1,{\sum }_k{p}_k=1$，其中pure state $|{\psi }_k?$的density operator為${\rho }_k=|{\psi }_k??{\psi }_k|$，那么statistical mixture的density operator為
$$\rho =\sum _k{p}_k{\rho }_k$$

因為${\rho }_k$是厄爾米特的，所以$\rho$也是厄爾米特算符。但是$\rho$并不是冪等的，即${\rho }^2=\rho$，據此可以總結出pure state與statistical mixture state的density operator的主要區別：

• Pure state: ${\rho }^2=\rho ?tr({\rho }^2)=tr(\rho )=1$
• Mixture state: ${\rho }^2=\rho ?tr({\rho }^2)\le 1$

下面簡單總結一下mixture state的density operator的性質（都可以根據線性性從pure state的性質得到，比如第一條，$tr(\rho )={\sum }_k{p}_{k}tr({\rho }_k)={\sum }_k{p}_k=1$）：

• Normalization: $tr(\rho )=1$
• Expectation of observable $A$: $?A?=tr(\rho A)$
• Schroedinger equation: $i?\frac{d}{dt}\rho =[H,\rho ]$

Density Matrix的物理意義

對于pure state與mixture state，${\rho }_{nn}=|c_n{|}^2$均成立，也就是說Density matrix的對角元表示概率。

對于mixture state，$n=p$時，
$${\rho }_{np}=\sum _k{p}_k(c_n^{(k)}{)}^{?}{c}_p^{(k)}$$

其中$(c_n^{(k)}{)}^{?}{c}_p^{(k)}$代表pure state $|{\psi }_k?$中，基態$|u_n?$與$|u_p?$的干涉強度，所以${\rho }_{np}$代表在mixture state中，基態$|u_n?$與$|u_p?$的平均干涉強度。

Mixture State的本質

我們考慮這樣一個例子：假設我們有兩組數量相等的粒子，其中一組的量子態為$|{\psi }_A?$，另一組的量子態為$|{\psi }_B?$，現在我們把這兩組粒子混合起來，那么如何描述混合后的這些粒子的量子態呢？

• Pure State Description：這些粒子的量子態要么是$|{\psi }_A?$，要么是$|{\psi }_B?$，但對任一粒子，在觀察它所處的量子態前我們并不知道它處于什么量子態；
• Mixture State Description：這些粒子處于$\frac{1}{2}|{\psi }_A??{\psi }_A|+\frac{1}{2}|{\psi }_B??{\psi }_B|$這個mixture state中；

首先，這兩種描述是完全等價的；其次，只有pure state才是客觀存在的，mixture state只是一種數學工具，用來描述具有不完全信息的量子態；最后，mixture state的這種描述方式在貝葉斯統計中一般被稱為hierarchical model，因此Mixture State Description屬于Quantum Bayesianism。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI544 量子光学7 补充：Density Operator的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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