一，一階線性O(shè)DE的一般形式：

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二，標(biāo)準(zhǔn)形式：

• 如果或，則方程為齊次方程

三，“溫度—濃度”模型：

假設(shè)用半透膜（只能滲透鹽的膜）包裹著淡水放進(jìn)已加熱的鹽水里，淡水的溫度是，鹽水的溫度是，

建立溫度擴(kuò)散的微分方程（牛頓冷卻定律）：，t表示時(shí)間，k表示熱導(dǎo)率，k>0

初始條件：

假設(shè)淡水的濃度是，鹽水的濃度是

建立濃度擴(kuò)散的微分方程：，表示擴(kuò)散率

初始條件：

四，微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：，k可以是含x的函數(shù)

五，積分因子法求通解：

將微分方程化成標(biāo)準(zhǔn)型：

兩邊同時(shí)乘積分因子：

為了將方程左邊，設(shè)

解出：，（只取一個(gè)u，因此C=0）

方程化為，積分得出通解：

代入初始條件，解出C

將C代入通解，得特解

做題步驟：1→4→5→6和7

七，求常系數(shù)微分方程的通解：

化成標(biāo)準(zhǔn)型：，k為常數(shù)，且

解出：

方程化為

積分得出通解：

代入初始條件，，解出C：

得特解（略）

通解前半部分稱為穩(wěn)態(tài)解，后半部分稱為暫態(tài)解

因?yàn)?#xff0c;當(dāng)時(shí)，，暫態(tài)解，只留下穩(wěn)態(tài)解

假設(shè)在圖中，有多個(gè)初始條件不同（C不同）的解，當(dāng)時(shí)，解的圖像都會(huì)逼近穩(wěn)態(tài)解

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第三讲 一阶线性ODE的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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